【正文】 20202021全國中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)的綜合中考模擬和真題匯總含詳細(xì)答案一、二次函數(shù)1．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P的坐標(biāo)； （3）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當(dāng)點M到達(dá)點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）點P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，3）或（0，0）；（3）當(dāng)點M出發(fā)1秒到達(dá)D點時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程組，解方程組即可得二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）先求出點B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求得BC的長，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分別根據(jù)這三種情況求出點P的坐標(biāo)；（3）設(shè)AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=（2﹣t）2t=﹣t2+2t，把解析式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得△MNB最大面積；此時點M在D點，點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【詳解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進(jìn)行討論：如圖1，①當(dāng)CP=CB時，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當(dāng)PB=PC時，OP=OB=3，∴P3（0，3）；③當(dāng)BP=BC時，∵OC=OB=3∴此時P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如圖2，設(shè)AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=（2﹣t）2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，當(dāng)點M出發(fā)1秒到達(dá)D點時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．2．如圖，拋物線y＝x2+bx﹣2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；（3）點M是拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)MC+MA的值最小時，求點M的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為y＝x﹣2，頂點D的坐標(biāo)為 （，﹣）；（2）△ABC是直角三角形，證明見解析；（3）點M的坐標(biāo)為（，﹣）．【解析】【分析】（1）因為點A在拋物線上，所以將點A代入函數(shù)解析式即可求得答案；（2）由函數(shù)解析式可以求得其與x軸、y軸的交點坐標(biāo)，即可求得AB、BC、AC的長，由勾股定理的逆定理可得三角形的形狀；（3）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得點A與點B關(guān)于對稱軸x對稱，求出點B，C的坐標(biāo)，根據(jù)軸對稱性，可得MA＝MB，兩點之間線段最短可知，MC+MB的值最?。畡tBC與直線x交點即為M點，利用得到系數(shù)法求出直線BC的解析式，即可得到點M的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵點A（﹣1，0）在拋物線ybx﹣2上，∴b（﹣1）﹣2＝0，解得：b，∴拋物線的解析式為yx﹣2．yx﹣2（x2﹣3x﹣4 ），∴頂點D的坐標(biāo)為 （）．（2）當(dāng)x＝0時y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．當(dāng)y＝0時，x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）∵頂點D的坐標(biāo)為 （），∴拋物線的對稱軸為x．∵拋物線yx2+bx﹣2與x軸交于A，B兩點，∴點A與點B關(guān)于對稱軸x對稱．∵A（﹣1，0），∴點B的坐標(biāo)為（4，0），當(dāng)x＝0時，yx﹣2＝﹣2，則點C的坐標(biāo)為（0，﹣2），則BC與直線x交點即為M點，如圖，根據(jù)軸對稱性，可得：MA＝MB，兩點之間線段最短可知，MC+MB的值最?。O(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：，解得：，∴yx﹣2．當(dāng)x時，y，∴點M的坐標(biāo)為（）．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的解析式、直角三角形的性質(zhì)及判定、軸對稱性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，0），且經(jīng)過點（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；（2）在l上是否存在一點P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點，M（m，n）為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+1．（2）點P的坐標(biāo)為（，﹣1）．（3）定點F的坐標(biāo)為（2，1）．【解析】分析：（1）由拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，0），可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2）2，由拋物線過點（4，1），利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點A、B的坐標(biāo)，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值，根據(jù)點B的坐標(biāo)可得出點B′的坐標(biāo)，根據(jù)點A、B′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB′的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出點P的坐標(biāo)；（3）由點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，即可得出（1y0）m2+（22x0+2y0）m+x02+y022y03=0，由m的任意性可得出關(guān)于x0、y0的方程組，解之即可求出頂點F的坐標(biāo)．詳解：（1）∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2）2．∵該拋