【正文】 再根據(jù)定義判定 。 (2)有時(shí)判定 f(x)=177。 f(x)比較困難，可考慮根據(jù)是否有 f(x)177。 f(x)=0或 f(x)/f(x)=177。 1來判定 。 (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 . 函數(shù)的解析表達(dá)式 （ 1） .函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方 法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域 . （ 2） .求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法；已知復(fù)合函數(shù) f[g(x)]的表達(dá)式時(shí)，可用換元法，這時(shí)要注意元的取值范圍；當(dāng)已知表達(dá)式較簡(jiǎn)單時(shí)，也可用湊配法；若已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組消參的方法求出 f(x) 8．函數(shù)最大（小）值 ○1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲? ○2 利 用圖象求函數(shù)的最大（小）值 ○3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù) y=f(x)在區(qū)間 [a， b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間 [b， c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在 x=b處有最大值 f(b)；如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 [a， b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間 [b， c]上單調(diào)遞增則函數(shù) y=f(x)在 x=b處有最小值 f(b) 第二章 基本初等函數(shù) 一、指數(shù)函數(shù) 一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算 1．根式的概念： 一般地，如果 axn? ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根（ n th root），其中 n 1，且 n ∈ N *． 當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的 n 次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的 n 次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)．此時(shí)， a 的 n 次方根用符號(hào) na表示．式子 na 叫做根式（ radical），這里 n 叫做根指數(shù)（ radical exponent）， a 叫做被開方數(shù)（ radicand）． 當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的 n 次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．此時(shí)，正數(shù) a 的正的 n 次方根用符號(hào) na 表示，負(fù)的 n 次方根用符號(hào)－ na 表示．正的 n 次方根與負(fù)的 n 次方根可以合并成177。 na （ a 0）．由 此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根； 0的任何次方根都是 0，記作 00?n 。 注意： 當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)， aan n? ，當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)， 2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定： 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0， 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 指出 ：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪． 3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) （ 1） ra 178。 srr aa ?? （ 2） )1,0( * ???? nNnmaaa n mnm )1,0(11 * ?????? nNnmaaaa n mnmm??? ????? )0( )0(|| aaaaaan n),0( Rsra ??),0( Rsra ??rssr aa ?)(Page 6 of 30 （ 3）． 二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 指數(shù)函數(shù)的概念： 一般地，函數(shù) )1,0( ??? aaay x 且 叫做指數(shù)函數(shù)（ exponential function），其中 x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?R． 注意： 指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和 1． 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) a1 0a1 圖象特征 函數(shù)性質(zhì) 1a? 1a0 ?? 1a? 1a0 ?? 向 x、 y軸正負(fù)方向無限延伸 函數(shù)的定義域?yàn)?R 圖象關(guān)于原點(diǎn)和 y軸不對(duì)稱 非奇非偶函數(shù) 函數(shù)圖象都在 x軸上方 函數(shù)的值域?yàn)?R+ 函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（ 0， 1） 1a0? 自左向右看，圖象逐漸上升 自左向右看，圖象逐漸下降 增函數(shù) 減函數(shù) 在第一象 限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于 1 在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于 1 1a,0x x ?? 1a,0x x ?? 在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于 1 在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于 1 1a,0x x ?? 1a,0x x ?? 圖象上升趨勢(shì)是越來越陡 圖象上升趨勢(shì)是越來越緩 函數(shù)值開始增長(zhǎng)較慢，到了某一值后增長(zhǎng)速度極快； 函數(shù)值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢； 注意 ：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出 ： （ 1）在 [a， b]上， )1a0a(a)x(f x ??? 且值域是 )]b(f),a(f[ 或 )]a(f),b(f[ ； （ 2）若 0x? ，則 1)x(f ? ； )x(f 取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) Rx? ； （ 3）對(duì)于指數(shù)函數(shù) )1a0a(a)x(f x ??? 且，總有 a)1(f ? ； （ 4）當(dāng) 1a? 時(shí)，若 21 xx? ，則 )x(f)x(f 21 ? ； 二、對(duì)數(shù)函數(shù) 一）對(duì)數(shù) 1．對(duì)數(shù)的概念： 一般地，如果 Nax? )1,0( ?? aa ，那么數(shù) x 叫做 以． a 為底 ． ． N 的對(duì)數(shù)，記作： （ a — 底數(shù)， N — 真數(shù)， — 對(duì)數(shù)式） 說明： ○1 注意底數(shù)的限制 0?a ，且 1?a ； ○2 ； ○3 注意對(duì)數(shù)的書寫格式 ． 65432114 2 2 4 60165432114 2 2 4 601),0( Rsra ??srr aaab ?)(NalogNx alog?xNNa ax ??? logPage 7 of 30 321 1 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8011321 1 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8011兩個(gè)重要對(duì)數(shù)： ○1 常用對(duì)數(shù)： 以 10為底的對(duì)數(shù) Nlg ； ○2 自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù) ??e 為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù) Nln ． 對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化 xNa ?log ? Nax? 對(duì)數(shù)式 ? 指數(shù)式 對(duì)數(shù)底數(shù)← a → 冪 底數(shù) 對(duì)數(shù)← x →指數(shù) 真數(shù)← N →冪 二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 如果 0?a ，且 1?a ， 0?M ， 0?N ，那么： ○1 ＋ ○2 Malog － Nalog ； ○3 naMlog n? Malog )( Rn? ． 注意 ：換底公式 （ 0?a ，且 1?a ； 0?c ，且 1?c ； 0?b ）． 利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（ 1） ；（ 2）． 三）對(duì)數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 ：函數(shù) 0(log ?? axy a ，且 )1?a 叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域是（ 0， +∞）． 注意 ： ○1 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。 如： xy 2log2? ， 都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)． ○2 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制： 0( ?a ，且 )1?a ． 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) ： a1 0a1 圖象特征 函數(shù)性質(zhì) 1a? 1a0 ?? 1a? 1a0 ?? 函數(shù)圖象都在 y軸右側(cè) 函數(shù)的定義域?yàn)椋?0，＋∞） 圖象關(guān)于原點(diǎn)和 y軸不對(duì)稱 非奇非偶函數(shù) 向 y軸正負(fù)方向無限延伸 函數(shù)的值域?yàn)?R 函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（ 1， 0） 01log ?a 自左向右看，圖象逐漸上升 自左向右看，圖象逐漸下降 增函數(shù) 減函數(shù) 第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于 0 第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于 0 0log,1 ?? xx a 0log,10 ??? xx a 第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于 0 第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于 0 0log,10 ??? xx a 0log,1 ?? xx a 四）冪函數(shù) 冪函數(shù)定義： 一般地，形如 ?xy? )( Ra? 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 ? 為常數(shù)． 冪函數(shù)性質(zhì)歸納 ． （ 1）所有的冪函數(shù)在（ 0， +∞）都有定義，并且圖象都過點(diǎn)（ 1， 1）； （ 2） 0?? 時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間 ),0[?? 上是增函數(shù)．特別地，當(dāng) 1?? 時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；abb cca logloglog ??NMalogMa(log NalogMalog?)Nbmnb anam loglog ? ab ba log1log ?5log5xy?Page 8 of 30 當(dāng) 10 ??? 時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸； （ 3） 0?? 時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 ),0( ?? 上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng) x 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在 y 軸右方無限地逼近 y 軸正半軸，當(dāng) x 趨于 ?? 時(shí)，圖象在 x 軸上方無限地逼近 x 軸正半軸． 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 函數(shù)零點(diǎn)的概念： 對(duì)于函數(shù) ))(( Dxxfy ?? ，把使 0)( ?xf 成立的 實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù) ))(( Dxxfy ?? 的零點(diǎn)。 函數(shù)零點(diǎn)的意義 ：函數(shù) )(xfy? 的零點(diǎn)就是方程 0)( ?xf 實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù) )(xfy? 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程 0)( ?xf 有實(shí)數(shù)根 ? 函數(shù) )(xfy? 的圖象與 x 軸有交點(diǎn) ? 函數(shù) )(xfy? 有零點(diǎn)． 函數(shù)零點(diǎn)的求法 ： 求函數(shù) )(xfy? 的零點(diǎn)： ○1 （代數(shù)法）求方程 0)( ?xf 的實(shí)數(shù)根； ○2 （幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) )(xfy? 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)． 二次函數(shù)的零點(diǎn)： 二次函數(shù) )0(2 ???? acbxaxy ． １）△＞０，方程 02 ??? cbxax 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)． ２）△＝０，方程 02 ??? cbxax 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)． ３）△＜０，方程 02 ??? cbxax 無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)． 高中數(shù)學(xué)必修 2知識(shí)點(diǎn) 一、直線與方程 （ 1）直線的傾斜角 定義 ： x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與 x軸平行或重合時(shí) ,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是 0176?！堞粒?180176。 （ 2）直線的斜率 ①定義 ： 傾斜角不是 90176。的直線 ， 它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用 k表示。即 tank ?? 。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng) ? ??? 90,0?? 時(shí)， 0?k 。 當(dāng) ? ??? 180,90?? 時(shí)， 0?k ； 當(dāng) ?90?? 時(shí)， k 不存在。 ②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式 ： 注意下面四點(diǎn) ： (1)當(dāng) 21 xx? 時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在， 傾斜角為 90176。； (2)k與 P P2的順序無關(guān)； (3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得； (4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。 （ 3）直線方程 ①點(diǎn)斜式 ： )( 11 xxkyy ??? 直線斜率 k，且過點(diǎn) ? ?11,yx 注意： 當(dāng)直線的斜率為 0176。時(shí)， k=0，直線的方程是 y=y1。當(dāng)直線的斜率為 90176。時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因 l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式 ： bkxy ?? ， 直線斜率為 k，直線在 y軸上的截距為 b ③兩點(diǎn)式 ： （ 1 2 1 2,x x y y??）直線兩點(diǎn) ? ?11,yx ， ? ?22,yx )( 2112 12 xxxx yyk ????Page 9 of 30 ④截矩式 ： 其中直線 l 與 x 軸交于點(diǎn) (,0)a ,與 y 軸交于點(diǎn) (0,)b ,即 l 與 x 軸、 y 軸的 截距 分別為 ,ab。 ⑤一般式 ： 0??? CByAx （ A， B不全為 0） 注意 ： ○1各式的適用范圍 ○2特殊的方程如：平行于 x軸的直線： by? （ b為常數(shù)）； 平行于 y軸的直線： ax? （ a為常數(shù)）； （ 4）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線 （一）平行直線系 平行于已知直線 0000 ??? CyBxA （ 00,BA 是不全為 0的常數(shù)）的直線系： 000 ??? CyBxA （ C為常數(shù)） （二）過定點(diǎn)的直線系 （?。┬甭蕿?k的直線系： ? ?00 xxkyy ??? ，直線過定點(diǎn) ? ?00,yx ； （ⅱ） 過 兩 條 直 線 0: 1111 ??? CyBxAl ， 0: 2222 ??? CyBxAl 的 交 點(diǎn) 的 直 線 系 方 程 為? ? ? ? 0222111 ????