20xx高中數(shù)學(xué)人教b版必修二231《圓的標準方程》word學(xué)案一-文庫吧
2024-11-19 03:13 本頁面
【正文】 (1)圓心 (0,0)，半徑為 2 ； (2)圓心 (3,0)，半徑為 ||a ； [來源 :學(xué) |科 |網(wǎng) ][來源 :學(xué) .科 .網(wǎng) ] (3)圓心 ( 1,2?? )，半徑為 ||b . 點撥： (2)、 (3)兩題 22,ba 僅為半徑的平方，沒有給定 0,0 ?? ba ，所以半徑|||| bar 或? . 探究二 如何確定點 與圓的位置關(guān)系？ 在平面直角坐標系中，圓一旦確定，該平面內(nèi)的任何一點與圓的位置關(guān)系都確定下來．那么該如何確定呢？ 想一想：初中學(xué)習(xí)圓的內(nèi)容時，點與圓的位置關(guān)系有哪些？ 點與圓的位置關(guān)系有三種情形：點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外。 議一議：如何通過距離進行比較呢？ 其判斷方法 是看點到圓心的距離 d 與圓半徑 r 的關(guān)系． dr 時點在圓內(nèi)； d=r 時點在圓上； dr 時點在圓外． 議一議：如何通過方程進行比較呢？ 探究：以圓 2 2 21xy??為例，在圓上的點 00( , )xy 都滿足 2 2 2021xy??． 數(shù) 形 結(jié) 合 易 知 點 1 1 1 1 1 1( 0 , 0 ) ( , ) ( , ) ( , )2 2 2 2 3 2??、 、 、都 在 圓 的 內(nèi) 部 ， 它 們 都 滿 足2 2 2 2 2 2110 0 1 ( ) ( ) 122? ? ? ?、 、 2 2 211( ) ( ) 122? ? ? ?、 2 2 211( ) ( ) 132??．事實上若點 00( , )xy 在圓的內(nèi)部，過點 00( , )xy 作 x 軸的垂線，交圓于 01( , )xy ，顯然有 01| | | |yy? 且 2 2 2021xy??，從而有2 2 2 2 20 0 0 1 1x y x y? ? ? ?．也就是說圓的內(nèi)部的點 00( , )xy 都滿足 2 2 2021xy??． 數(shù)形結(jié)合易知點 1 1 1( 1 , ) ( , 2 ) ( ,1 ) ( 6 , 5 )2 2 2?、 、 、都在圓的外部，它們都滿足2 2 2 2 2 2111 ( ) 1 ( ) 2 122? ? ? ?、 、 2 21( ) 12? ? ? 、 2 2 26 5 1??．事實上若點 00( , )xy 在圓的外部，過點 00( , )xy 作 x 軸或 y 軸的垂線， (1)若與圓有交點，則同理可得 2 2 2021xy??， (2)若均與圓無交點，則 00| | 1,| | 1x r y r? ? ? ?，從而也有 2 2 2021xy??．也就是說圓的外部的點 00( , )xy 都滿足 2 2 2021xy??． 將圓替換為 2 2 2( ) ( ) ( 0)x a y b r r? ? ? ? ?，結(jié)論同樣成立． 提升總結(jié)： 點 00( , )xy 在圓 2 2 2( ) ( ) ( 0)x a y b r r? ? ? ? ?上等價于 2 2 200) ( ) ( 0)x a y b r r? ? ? ? ?； 點 00( , )xy 在圓 2 2 2( ) ( ) ( 0)x a y b r r? ? ? ? ?內(nèi)部等價于 2 2 200( ) ( ) ( 0)x a y b r r? ? ? ? ?； 點 00( , )xy 在圓 2 2 2( ) ( ) ( 0)x a y b r r? ? ? ? ?外部等價于 2 2 200( ) ( ) ( 0)x a y b r r? ? ? ? ?． 溫馨提示：點與圓的位置關(guān)系的比較有以上兩種方法，幾何法與代數(shù)法。 例 3 寫出以點 A(2, 3? )為圓心， 5 為半徑的圓的標準方程，并判斷點 M(5, 7? )，N(2, 1? )， P(10, 9? )與該圓的位置關(guān)系． 分析： 先求出 圓的標準方程，然后再判斷。 解： 圓的標準方程為 25)3()2( 22 ???? yx . 方法一：因為 rMA ??????? 5)73()52(|| 22，所以點 M 在圓上． 因為 rNA ??????? 2)13()22(|| 22，所以點 N 在圓內(nèi)． 因為 rPA ??????? 10)93()102(|| 22，所以點 P 在圓外． 方法二：因為 25)37()25( 22 ????? ，所以點 M 在圓上． 因為 254)31()22( 22 ?????? ，所以點 N 在圓內(nèi)． 因為 25100)39()210( 22 ?????? ，所以點 P 在圓外． 點撥： 求點與圓心之間的距離或?qū)Ⅻc的坐標代入方程是關(guān)鍵． 探究三 如何 確定圓的標準方程的方法和步驟 ？ 想一想：圓的標準方程中有幾個參變數(shù)？使用什么方法求解？ 議一議：圓的標準方程中含有三個參變數(shù)，必須具備三個獨立的條件，才能定出一個圓的方程。 當(dāng)已知曲線為圓時，一般采用待定系數(shù)法求圓的方程． 提升總結(jié)：求圓的標準方程的一般步驟為： (1)根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標準方程為 222 )()( rbyax ???? ． (2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于 a， b， r 的方程組； (3)解此方程組，求 出 a， b， r 的值； . (4)將所得的 a， b， r 的值代回所設(shè)的圓的方程中，就得到所求的圓的標準方程． 例 4 在平面直角坐標系中，求與 x 軸相交于 A(1,0)和 B(5,0)兩點且半徑為 5 的圓的標準方程 . 分析： 設(shè)出標準方程進行求解或利用平面幾何的知識求解。 [來源 :學(xué)科網(wǎng) ] 解： 方法一：設(shè)圓的標準方程為 5)()( 22 ???? byax . 因為點 A， B 在圓上，所以可得到方程組：?????????????,5)0()5(,5)0()1(2222baba 解得 a=3， b= 1? . 所以圓的標準方程是 5)1()3( 22 ???? yx 或 5)1()3( 22 ???? yx . 方法二：由 A、 B 兩點在圓上，那么線段 AB 是圓的一條弦，根據(jù)平面幾何知識：這個圓的圓心在線段 AB 的垂直平分線 3?x 上，于是可以設(shè)圓心為 C(3,b)，又 AC= 5 得：5)13( 22 ??? b . 解得 b=1 或 b= 1? ． 因此，所求圓的標準方程為 5)1()3( 22 ???? yx 或 5)1()3( 22 ???? yx . 點撥： 本題求解的核心就是求出圓心的坐標，待定系數(shù)法是最容易想到的辦法；但用待定系數(shù)法計算有時會比較麻煩．如果在求解有關(guān)這類問題時能夠結(jié)合圓的有關(guān)幾何性質(zhì)來考慮（如垂徑定理等），可以使思路比較直觀而且計算會簡潔些． 探究四 圓的標準方程的求解與應(yīng)用 例 5 已知一個圓 C 經(jīng)過兩個點 (2, 3) ( 2, 5)AB? ? ?、 ，且圓 心在直線 : 2 3 0l x y? ? ? 上，求此圓的方程． 分析： 已知三個條件，直接利用待定系數(shù)求出圓心坐標和半徑即可．可以直接代入、利用圓的性質(zhì)、圓的定義進行等價轉(zhuǎn)化． 解： 方法一：設(shè)所求圓的方程為 2 2 2( ) ( ) ( 0)x a y b r r? ? ? ? ?． 由已知條件得： 2 2 22 2 2( 2 ) ( 3 ) ,( 2 ) ( 5 ) .a b ra b r? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? (*) 兩式相減得： 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) (
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