【正文】 9。平面上的下半虛軸。根據(jù)在保形映射下區(qū)域及其邊界之間的對應(yīng)關(guān)系，已給半圓盤映射到w39。平面上的的區(qū)域，應(yīng)當(dāng)在周界ABC的左方，因此它是第三象限p最后作映射argw39。p2。w=w39。2，當(dāng)w39。在第三象限中變化時，argw39。在2p及3p之間變化。因此w39。平面上的第三象限就映照成w平面上的上半平面。因此，所求單葉函數(shù)為：例求作一個單葉函數(shù)，把z平面上的帶形0Imzp保形映射成w平面上的單位圓|w|z+12w=w39。=()。z12w39。=ez，把z平面上的已給帶形保形映射成w39。平面上的上半平面。y取ipiw39。1xOOi平面上Oz平面w39。平面w平面關(guān)于實軸的對稱點i及i，那么函數(shù)w39。i, w=w39。+i把的w39。平面上的上半平面保形映射成w平面上的單位圓|w|因此，我們得到eziw=+i例求作一個單葉函數(shù)，把擴充z平面上單位圓的外部|z|1保形映射成擴充w平面上去掉割線1163。Rew163。1,Imw=0而得的區(qū)域。解：容易驗證，分式線性函數(shù)w+1，w39。=w1把割線1163。Rew163。1,Imw=0保形映射成yw39。平面上的負(fù)實軸，把擴充w平面上已給區(qū)域保形映射成w39。平面上除去負(fù)實軸（包括0）而得的區(qū)域。Ow39。平面xOO11Cz平面z平面w平面另一方面，分式線性函數(shù)z+1，z=z1把圓|z|=1保形映射成z平面上的 虛軸。由于它把z=2映射成z=3，可見它z平面上的右半平面。顯然w39。=z2，把擴充z平面上單位圓的外部|z|1保形映射成把z平面上的這一部分保形映射成w39。平面上除去負(fù)實軸而得的區(qū)域。因此我們得到w+1230。z+1246。=231。247。w1232。z1248。由此可得函數(shù) w=(z+)2z即為所求函數(shù)。例求作一個單葉函數(shù)，把z平面上半帶域p射成w平面上的上半平面，并且使得/2xp/2,y0保形映f(177。p/2)=177。1,f(0)=0。解：把坐標(biāo)系按反時針方向旋轉(zhuǎn)一個直角，并且應(yīng)用指數(shù)函數(shù)做映射，我們求得函數(shù)w39。=eiz，把上述半帶域映射成w39。平面上的半圓盤。yyDDA(165。)CB(1)C(0)ABCxODBxw1平面OA(1)AB(0)C(1)z平面w39。平面w平面把坐標(biāo)系按反時針方向旋轉(zhuǎn)一個直角，并且應(yīng)用例1中的映射，得到函數(shù)230。iw39。+1246。w1=231。247。232。iw39。1248。這時z把w12，因此，我們得到把以給半帶域保形映射成w1平面的上半平面的單葉函數(shù)，不過=p/2,0,p/2分別被映射成w1=165。,1,0。作分式線性函數(shù)，=165。,1,0映射成w=1,0,+1：w1+1w=，w11最后得到所求的單葉函數(shù)：(iw39。+1)2+(iw39。1)2w39。211izizw===(ee)=sinz。22(iw39。+1)(iw39。1)2iw39。2i例在z平面的上半平面上，沿虛軸作一長h為的割線。求作一個單葉函數(shù)，把上述半平面去掉割線而得的區(qū)域保形映射成w平面上的上半平面。解：首先作映射，把割線去掉，使已給區(qū)域的全部邊界都變到w39。平面的實軸上。為此，用在上述區(qū)域內(nèi)的單葉解析函數(shù)w39。=z2，把z平面的第一及第二象限分別映射成w39。平面的上半平面及下半平面。這時射線AD被映射成w39。平面上正實軸的上沿，DC被映射成從0到h2的線段的上沿，CB被映射成這條線段的下沿，BA被映射成正實軸的下沿，于是z平面上已給區(qū)域yC(hi)C(h2)D(0)A(165。)B(0)ABDA(165。)xAB(h)w39。平面A(165。)C(0)D(h)OD(h2)C(0)A(165。)w平面A(165。)B(h2)z平面A(165。)w1平面被保形影射成w39。平面除去射線Imw39。=0,Rew39。179。h2而得的區(qū)域。顯然，函數(shù)w1=w39。+h2，把w39。平面的上述區(qū)域映射成w1平面上除去正實軸所得的區(qū)域；而函數(shù)w=w1，又把這一區(qū)域映射成w平面上的上半平面，其中取正值的一個解析分支。結(jié)合以上討論，我們得到所求的單葉函數(shù)是：w1應(yīng)理解為在正實軸的上沿w=w1=w39。+h2=z2+h2。第四篇：復(fù)變函數(shù)教案(雙語)復(fù)變函數(shù)論課程教學(xué)實施方案章節(jié)、名稱：第一章，第3節(jié)，I Complex number field, Sums and products, Operation, Modulus and arguments 課時安排：2 教學(xué)方式：理論講授 教學(xué)目的和要求：重溫熟悉復(fù)數(shù)的概念，熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運算及共軛運算，了解復(fù)平面，理解復(fù)數(shù)的幾何表示及其應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容及重點、難點：介紹課程理論框架： Chapter I Complex number field Chapter II Analytic Functions Chapter III Elementary Functions Chapter IV Integrals Chapter V Series Chapter VI Residues Chapter VII Applications of Residues 第一章 Complex number field 介紹復(fù)數(shù)的背景知識，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示、代數(shù)運算、幾何表示。1．Complex numbers 。Grip the operations, representations and the triangle inequality of plex numbers。3．Complex plane, moduli and arguments of plex numbers。授課實施方案：啟發(fā)式教學(xué)法，以講授為主，講練結(jié)合。注重知識背景的闡述，適當(dāng)增加課外知識、實例分析。討論、思考題、作業(yè)：思考：（1）復(fù)數(shù)為什么不能比較大?。浚?）復(fù)數(shù)可以用向量表示，則可以認(rèn)為與向量運算相同？ 作業(yè)：P7 Exercises 1(a)參考資料： HuaiXin, Zhang JiangHua, Chen ZhengLi, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi39。an:Shaanxi Normal University Press, ., Functions of one Comp1ex Variable,SpringerVerlag, New York Inc., 1978 JiaRong, Theory of plex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 、名稱：第一章，第6節(jié)，I Complex number field, Conjugate, Exponential form, Regions in plex plane 課時安排：2 教學(xué)方式：理論講授 教學(xué)目的和要求：掌握復(fù)數(shù)的共軛、乘冪與方根的運算，了解復(fù)平面中的區(qū)域概念。教學(xué)內(nèi)容及重點、難點：回顧總結(jié)上一節(jié)知識要點，解答思考題。1．Roots of plex numbers and applications。Use masterly the root formulas of plex ．Point sets and regions on the plex the concepts of point sets, regions。授課實施方案：啟發(fā)式教學(xué)法，以講授為主，講練結(jié)合。注重知識背景的闡述，適當(dāng)增加課外知識、實例分析。討論、思考題、作業(yè)：思考：復(fù)數(shù)的方根與實數(shù)的方根有何區(qū)別？ 作業(yè)：P26 Exercises 1 參考資料： HuaiXin, Zhang JiangHua, Chen ZhengLi, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi39。an:Shaanxi Normal University Press, ., Functions of one Comp1ex Variable,SpringerVerlag, New York Inc., 1978 JiaRong, Theory of plex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 、名稱：第二章，第3節(jié)，II Analytic functions, Functions of a plex variable, Limits, Continuous functions 課時安排：2 教學(xué)方式：理論講授 教學(xué)目的和要求：了解復(fù)變函數(shù)的定義，極限以及連續(xù)性的定義。教學(xué)內(nèi)容及重點、難點：回顧總結(jié)上一節(jié)知識要點，解答思考題。1．Definitions of plex variable functions and their mapping properties。Grip the definitions of functions with plex variables。 , continuity of plex variable functions。Understand the definitions of limits, continuity of functions with plex variables。授課實施方案：啟發(fā)式教學(xué)法，以講授為主，講練結(jié)合。注重知識背景的闡述，適當(dāng)增加課外知識、實例分析。討論、思考題、作業(yè)：思考：復(fù)變函數(shù)的極限定義與實變函數(shù)的極限定義有何區(qū)別？ 參考資料： HuaiXin, Zhang JiangHua, Chen ZhengLi, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi39。an:Shaanxi Normal University Press, ., Functions of one Comp1ex Variable,SpringerVerlag, New York Inc., 1978 JiaRong, Theory of plex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 、名稱：第二章，第5節(jié)，II Analytic functions, Derivatives, Analytic functions 課時安排：2教學(xué)方式：理論講授 教學(xué)目的和要求：熟悉導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的定義，掌握解析函數(shù)的判定，掌握柯西黎曼條件。教學(xué)內(nèi)容及重點、難點：回顧總結(jié)上一節(jié)知識要點，解答思考題。 of plex variable functions。Understand the definitions of derivative of functions with plex variables。2．CauchyRiemann equations(CR conditions)。Grip how to determine the analytics of functions by using CR ．Concepts and basic properties of analytic ：啟發(fā)式教學(xué)法，以講授為主，講練結(jié)合。注重知識背景的闡述，適當(dāng)增加課外知識、實例分析。討論、思考題、作業(yè)：思考：復(fù)變函數(shù)解析與可導(dǎo)的區(qū)別？ 作業(yè)：P74 Exercises 1(a),2(c)參考資料： HuaiXin, Zhang JiangHua, Chen ZhengLi, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi39。an:Shaanxi Normal University Press, ., Functions of one Comp1ex Variable,SpringerVerlag, New York Inc., 1978 JiaRong, Theory of plex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 、名稱：第三章，第2節(jié)，III Elementary functions, Exponential functions, Logarithm 課時安排：2 教學(xué)方式：理論講授 教學(xué)目的和要求：掌握基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義，理解基本初等函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)內(nèi)容及重點、難點：回顧總結(jié)上一節(jié)知識要點，解答思考題。1．Definitions of Exponential functions and their basic properties。Grip the definitions, basic properties and related identities of exponential =ex+iy=exeiy=ex(cosy+isiny).2．Concepts and basic properties and related identities of logarithmic functions。Logz=ln|z|+iArgz授課實施方案：啟發(fā)式教學(xué)法，以講授為主，講練結(jié)合。注重知識背景的闡述，適當(dāng)增加課外知識、實例分析。討論、思考題、作業(yè)：思考：指數(shù)函數(shù)為什么那樣定義？ 作業(yè)：P88 Exercises 1,2(c)參考資料： HuaiXin, Zhang JiangHua, Chen ZhengLi, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi39。an:Shaanxi Normal University Press, ., Functions of one Comp1ex Variable,SpringerVerlag, New York Inc., 1978 JiaRong, Theory of plex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 、名稱：第三章，第4節(jié)，III Elementary functions, Power function, Trigonometric