全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽簡(jiǎn)介5篇范文-文庫(kù)吧
2024-11-04 17:20 本頁(yè)面
【正文】 43by根據(jù)曲率半徑公式有 r=(1+y162。)(11) 162。162。y122 將(8)、(10)、(11)式聯(lián)立并將A點(diǎn)坐標(biāo)A(0，a)代入可得A點(diǎn)的曲率半徑為b2RA= (12)a根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性,遠(yuǎn)日點(diǎn)B的曲率半徑為b2RB=RA= (13)a 由于在A、B兩點(diǎn)行星運(yùn)行速度方向與萬(wàn)有引力方向垂直,萬(wàn)有引力只改變速度方向,并不改變速度大小,故分別根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得GMmmvA (14) =(ac)2RAGMmmvB (15) =2(a+c)RB將(13)至(15)式聯(lián)立可得 22vA=bGMbGM，vB= acaa+ca 模型一：動(dòng)力學(xué)模型典型的月球軟著陸任務(wù)中,探測(cè)器一般首先發(fā)射到100km的環(huán)月停泊軌道,然后根據(jù)所選定的著陸位置,在合適的時(shí)間給著陸器一個(gè)有限脈沖,使得著陸器轉(zhuǎn)入近月點(diǎn)(在著落位置附近)為15km,遠(yuǎn)月點(diǎn)為100km的月球橢圓軌道,這一階段稱(chēng)為霍曼轉(zhuǎn)移段。當(dāng)著陸器運(yùn)行到近月點(diǎn)時(shí),制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)始工作,其主要任務(wù)是抵消著陸器的初始動(dòng)能和勢(shì)能,使著陸器接觸地面時(shí),相對(duì)月面速度為零,即實(shí)現(xiàn)所謂的軟著陸,這一階段稱(chēng)為動(dòng)力下降段。著陸器的大部分燃料都是消耗在此階段,所以月球軟著陸軌跡優(yōu)化主要是針對(duì)動(dòng)力下降段這一階段。由于月球表面附近沒(méi)有大氣,所以在飛行器的動(dòng)力學(xué)模型中沒(méi)有大氣阻力項(xiàng)。而且從15km左右的軌道高度軟著陸到月球表面的時(shí)間比較短,一般在幾百秒的范圍內(nèi),所以諸如月球引力非球項(xiàng)、日月引力攝動(dòng)等影響因素均可忽略不計(jì),所以這一過(guò)程可以在二體模型下描述。其示意圖如圖1所示,其中o為月球質(zhì)心,x軸方向?yàn)橛稍滦闹赶蛑懫鞯某跏嘉恢?y軸方向?yàn)槌跏嘉恢弥懫魉俣确较?。圖 1 月球軟著陸極坐標(biāo)系其動(dòng)力學(xué)方程如下: r=v q=wv=(F/m)sinym/r+r2w2 w=((F/m)cosy+2vw)/rm=F/ISP在上式中r為著陸器與月心距離,v為著陸器徑向速度,q為著陸器極角,w為著陸器極角角速度,m為月球引力常數(shù),F著陸器制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力,m為著陸器質(zhì)量,y為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向角,其定義為F與當(dāng)?shù)厮椒较驃A角,ISP為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)比沖。根據(jù)動(dòng)力下降段的起點(diǎn)位置可以確定動(dòng)力學(xué)方程初始條件,由于起點(diǎn)處于霍曼轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn),故其初始條件為: r0=rpq0=0v0=0 w0=1rpmrp(2ra)ra+rp其中rp和ra分別為霍曼轉(zhuǎn)移段的近地點(diǎn)半徑和遠(yuǎn)地點(diǎn)半徑。終端條件為實(shí)現(xiàn)軟著陸, 即rf=Rvf=0wf=0其中R為月球半徑,終端條件中對(duì)終端極角qf及終端時(shí)間tf無(wú)約束。優(yōu)化變量為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向角y(t)。優(yōu)化的性能指標(biāo)為在滿足上述初始條件和終端條件的前提下, 使著陸過(guò)程中燃料消耗最少,即J=242。m(t)dtt0f設(shè)計(jì)主減速段制導(dǎo)控制律 2動(dòng)力下降段燃料最優(yōu)精確著陸問(wèn)題描述 燃料最優(yōu)精確著陸問(wèn)題著陸器運(yùn)動(dòng)方程：考慮采用變推力發(fā)動(dòng)機(jī)情況，有r=v.v=g+a(1)a=Tmm=aT..其中r=[rhrxry]T，v=[vhvxvy]T分別表示著陸器相對(duì)期望著陸點(diǎn)的位置和速度矢量；T為推力器提供的推力矢量，幅值為 T，對(duì)應(yīng)控制加速度矢量 a；g為火星的重力加速度矢量，此處認(rèn)為是常值；m為著陸器質(zhì)量，對(duì)應(yīng)推力器質(zhì)量排除系數(shù)a。指標(biāo)函數(shù)：考慮燃料消耗min(m0mf)172。190。174。min242。0fTdt(2)邊界條件：即初始條件和終端條件r(0)=r0,v(0)=v0,m(0)=m0,r(tf)=v(tf)=[000](3)控制約束：考慮發(fā)動(dòng)機(jī)一旦啟動(dòng)不能關(guān)閉，存在最大和最小推力約束0T1TT2(4)狀態(tài)約束：為避免在著陸前撞擊到火星地表，需確保整個(gè)下降段位于火星地平面以上，即rh179。0（5）進(jìn)一步地，若著陸區(qū)域附近表面崎嶇不平，僅僅確保地表約束不能滿足需求時(shí)，可以考慮下降傾角約束，即將著陸器下降軌線約束到以著陸點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓錐體內(nèi) 等效后燃料最優(yōu)精確著陸問(wèn)題 定義等效變換變量Ttrx2+ry2rh163。tanqalt（6）u=a=TDm（7）d=Tmz=lnmDD等效著陸器運(yùn)動(dòng)方程： y=234。v==[uDT0249。233。r249。233。0234。v+234。I0234。234。30235。z234。235。07*7234。0249。233。u+g249。0234。=Acy+Bc(p+g4)（8）d235。ad],g4=[gTTD0]Tt指標(biāo)函數(shù)：min242。0fd(t)dt（9）邊界條件：同式(3)?？刂萍s束：由文獻(xiàn)[10]可知，控制約束(4)可等效表示為u163。d1T1ez0[1(zz0)+(zz0)2]163。d163。T2ez0[1(zz0)]（10）（11）2狀態(tài)約束：地表約束同式(5)，傾角約束(6)可等效表示為T(mén)Sy+cy163。0（12）其中233。0100000249。S=234。0010000235。c=[tanqaltT000000] 等效燃料最優(yōu)精確著陸問(wèn)題的離散化首先將整個(gè)飛行時(shí)間均分成 n 段（對(duì)應(yīng) n +1 個(gè)點(diǎn)），每段步長(zhǎng)為Dt，離散化后的著陸器運(yùn)動(dòng)方程為：yk+1=Ayk+B(pk+g4)其中A206。R7180。7,B206。R7180。4分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣12A=eDtAc187。I3+DtAc+DtAc+L2DtDt112B=242。e(Dts)AcBcds=242。esAcdsBc=DtBc+DtBc+Dt2Bc+L0026其中I3為三階單位陣。有系統(tǒng)性質(zhì)可知，整個(gè)控制時(shí)域內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)滿足 y3=Ay2+B(p2+g4)=A3y0+A2B(p0+g4)+AB(p1+g4)+B(p2+g4)Myn=Ayn1+B(pn1+g4)=Any0+An1B(p0+g4)+L+AB(pn2+g4)+B(pn1+g4)y1=Ay0+B(p0+g4)y2=Ay1+B(p1+g4)=A2y0+AB(p0+g4)+B(pn2+g4)+B(p1+g4)為表達(dá)方便，令233。y0249。233。p0249。233。F0249。233。A0249。234。y234。p234。F234。1234。1234。1234。1234。A ,p=234。p2，F(xiàn)=234。F2=234。A2 Y=234。y2234。234。234。234。MM234。234。234。M234。Mn234。234。234。235。yn7(n+1)180。1235。pn4(n+1)180。1235。Fn234。235。A7(n+1)180。7233。Y0249。233。0234。Y234。B234。1234。234。Y234。ABY=234。2=234。2234。Y3234。AB234。M234。M234。234。n1234。A234。Yn235。235。則(15)可等價(jià)于0249。233。L0249。233。0249。234。L234。B01234。234。234。L2234。AB+BB000L==234。234。2 ABB00234。L3234。A+AB+B234。M234。MOOO0234。234。n1LA+L+AB+BLA2BABB234。234。n235。7(n+1)180。4(n+1)235。000000Y=Fy0+Yp+Lg4分別定義如下常值矩陣：最終可得離散化后的燃料最優(yōu)化問(wèn)題如下： 指標(biāo)函數(shù)：式(9)可表示為邊界條件：式(3)可表示為控制約束：式(10)和式(11)分別可表示為狀態(tài)約束：式(5)和式(12)分別可表示為含有 p個(gè)線性約束和 q個(gè)二階錐約束的最優(yōu)化問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為 指標(biāo)函數(shù)min(lTx)滿足約束DTx+f179。0Ax+ci163。b+dinTiTi（k=1,L，n）n*pp其中x206。R為待優(yōu)化向量，l206。R，線性約束參數(shù)D206。R,f206。R，二階錐約束參數(shù)維數(shù)n(Ai,bi,ci,di)由相應(yīng)約束確定則式(17)～式(23)可最終轉(zhuǎn)換為如下最優(yōu)化問(wèn)題： 指標(biāo)函數(shù)：min(vpp)滿足：初值約束:MxΨ0p+Mx(Ψ0y0)+A0g4r0末值約束:MxΨ0p+Mx(Ψ0y0)+A0g4控制約束:Murkp163。v182。rkp 控制上限:(vzΨk+TT[TTv0]T163。0163。0T1vr)p+1vTz(Φky0+Akg4)+z0,z179。0 z0dkT2e 控制下限：4數(shù)值仿真結(jié)果與分析本節(jié)以某火星著陸器為例，計(jì)算了典型初始條件下滿足各種約束的燃料最優(yōu)精確著陸軌跡。其中探測(cè)器各參數(shù)分別取為：m0=2000kg,g=[]ms2,c=2kms,T1=,T2=13kN.。著陸器初始位置矢量r0= [1500,600, 800] m，初始速度矢量v0= [30, 10, 40]m/s，傾角qalt=86176。二階錐優(yōu)化問(wèn)題可以通過(guò)大量免費(fèi)的優(yōu)化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。本文選用 SDPT3 進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)執(zhí)行線性搜索確定燃料最優(yōu)下降時(shí)間tf為 43s，圖 1 給出了相應(yīng)的最優(yōu)著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測(cè)器質(zhì)量變化曲線。由優(yōu)化結(jié)果可以看出，探測(cè)器在給定時(shí)間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個(gè)下降過(guò)程始終與火星地表保持一
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