【正文】 的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)。可以說(shuō)：數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為全國(guó)高校規(guī)模最大課外科技活動(dòng)。180。180。180。180。101S3=180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。第三步： 將第二步運(yùn)行的系統(tǒng)輸出和標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)行的系統(tǒng)輸出進(jìn)行比較即可確定各誤差源的影響。217。YZUVWA]Tq=(8)那么，單個(gè)測(cè)量量的估計(jì)誤差模型可用誤差向量 q的第j(j =1，2?7)個(gè)元素qj 來(lái)表示。表 1 初始軌道位置和速度誤差對(duì)軌道終點(diǎn)誤差的影響圖 1 軌道位置總誤差時(shí)間歷程（3σ）圖 2 速度總誤差時(shí)間歷程（3σ）基于敏感系數(shù)矩陣的制導(dǎo)誤差分析在月球軟著陸主制動(dòng)段，影響制導(dǎo)精度的誤差源主要有偏離標(biāo)準(zhǔn)飛行軌跡的初始條件誤差和導(dǎo)航與控制傳感器誤差。248。Fi.()i!i=0FDt取前 6 階截?cái)?，即：eFDt230。（16）(13)32rr3u197。234。02234。ryrz247。231。rx246。235。r248。231。230。230。r248。r=rvT231。vv182。230。Dv247。Dr246。232。231。231。式中 g(r)=197。182。協(xié)方差矩陣中對(duì)角線元素是方差，非對(duì)角線元素為協(xié)方差。fDx1+L+Dxn+O(x1Lxn)（2）182。一種方法是將終端高度從到達(dá)月面時(shí)實(shí)現(xiàn)軟著陸設(shè)置為離月面還有幾米時(shí)實(shí)現(xiàn)軟著陸。由性質(zhì)3）知，為常數(shù)。下面再分三種情況進(jìn)行分析。定理一。令軟著陸初始條件探測(cè)器到達(dá)月面時(shí)速度減小到給定的值，故終端條件自由。2)取決于探測(cè)器初始位置和速度的關(guān)系，燃料最優(yōu)軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對(duì)應(yīng)于期望著陸點(diǎn)位置水平距離較大情況。本文選用 SDPT3 進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)執(zhí)行線性搜索確定燃料最優(yōu)下降時(shí)間tf為 43s，圖 1 給出了相應(yīng)的最優(yōu)著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測(cè)器質(zhì)量變化曲線。v182。235。OOO0234。AB+B1234。L0249。n1234。Y3234。7233。4(n+1)180。234。F21pp0249。R7180。0100000249。u+g249。z+234。tanqalt（6）u=a=TDm（7）d=Tmz=lnmDD等效著陸器運(yùn)動(dòng)方程： y=234。優(yōu)化的性能指標(biāo)為在滿足上述初始條件和終端條件的前提下, 使著陸過(guò)程中燃料消耗最少,即J=242。著陸器的大部分燃料都是消耗在此階段,所以月球軟著陸軌跡優(yōu)化主要是針對(duì)動(dòng)力下降段這一階段。162。解法2:軌跡方程法。231。248。R0+R1248。二、問(wèn)題分析對(duì)于問(wèn)題一：嫦娥三號(hào)從15公里左右的高度下降到月球表面，在這一過(guò)程中不考慮月球表面太陽(yáng)風(fēng)的影響，忽略月球的自轉(zhuǎn)速度引起的科氏力的影響，由于下降時(shí)間比較短也不考慮太陽(yáng)、地球?qū)︽隙鹑?hào)的攝動(dòng)影響，所以此時(shí)假設(shè)在3000m處的速度只存在豎直向下的速度而不存在水平分速度，因?yàn)榻德錅p速時(shí)間比較短只有垂直于月面的方向運(yùn)動(dòng)才能實(shí)現(xiàn)，所以在確定著陸點(diǎn)位置和著陸軌跡時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮燃料最優(yōu)情況下推力最大，方向自由的方法即取F=7500N建立主減速段動(dòng)力學(xué)模型。在距月面100米處時(shí)，嫦娥三號(hào)要進(jìn)行短暫的懸停，掃描月面地形，避開(kāi)障礙物，尋找著陸點(diǎn)。根據(jù)計(jì)劃，嫦娥三號(hào)將在北京時(shí)間12月14號(hào)在月球表面實(shí)施軟著陸。為了消除測(cè)量噪聲帶來(lái)的干擾，利用擴(kuò)展Kalman濾波理論設(shè)計(jì)了導(dǎo)航濾波器。3．全國(guó)與各賽區(qū)的一、二、三等獎(jiǎng)均頒發(fā)獲獎(jiǎng)證書(shū)。競(jìng)賽分本科、專(zhuān)科兩組進(jìn)行，本科生參加本科組競(jìng)賽，專(zhuān)科生參加專(zhuān)科組競(jìng)賽（也可參加本科組競(jìng)賽），研究生不得參加。第一條 總則全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（以下簡(jiǎn)稱(chēng)競(jìng)賽）是教育部高等教育司和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同主辦的面向全國(guó)大學(xué)生的群眾性科技活動(dòng)，目的在于激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型和運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力，鼓勵(lì)廣大學(xué)生踴躍參加課外科技活動(dòng)，開(kāi)拓知識(shí)面，培養(yǎng)創(chuàng)造精神及合作意識(shí)，推動(dòng)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容和方法的改革。參賽者應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解、計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗(yàn)、模型的改進(jìn)等方面的論文（即答卷）。5．競(jìng)賽開(kāi)始后，賽題將公布在指定的網(wǎng)址供參賽隊(duì)下載，參賽隊(duì)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成答卷，并準(zhǔn)時(shí)交卷。為了能夠安全地在這些遍布巖石、的區(qū)域內(nèi)完成高精度軟著陸，這就要求導(dǎo)航和控制系統(tǒng)具有較強(qiáng)的自主性和實(shí)時(shí)性。最后，針對(duì)采用變推力主發(fā)動(dòng)機(jī)的月球著陸器，提出一種垂直軟著陸控制方法。其比沖（即單位質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。嫦娥三號(hào)在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問(wèn)題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。m231。231。49012（）=（沿切線方向）v2=，徑向速度vk=0。0232。如圖1所示,橢圓的軌跡方程為x2y2+2=1 (5) 2ba將(5)式變形為a2x2+b2y2=a2b2 (6)根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則將(6)式對(duì)x求導(dǎo)有2a2x+2b2yy162。=43by根據(jù)曲率半徑公式有 r=(1+y162。其示意圖如圖1所示,其中o為月球質(zhì)心,x軸方向?yàn)橛稍滦闹赶蛑懫鞯某跏嘉恢?y軸方向?yàn)槌跏嘉恢弥懫魉俣确较颉?90。233。234。235。234?？刂萍s束：由文獻(xiàn)[10]可知，控制約束(4)可等效表示為u163。0010000235。e(Dts)AcBcds=242。233。234。234。 Y=234。234。234。0234。234。M234。A+AB+B234。b+dinTiTi（k=1,L，n）n*pp其中x206。0T1vr)p+1vTz(Φky0+Akg4)+z0,z179。此外，通過(guò)利用如 TOMLAB 等商業(yè)最優(yōu)控制軟件進(jìn)行復(fù)核計(jì)算，也驗(yàn)證了此計(jì)算結(jié)果的燃料最優(yōu)性能。上述結(jié)論對(duì)上注探測(cè)器關(guān)鍵點(diǎn)的選取有著較強(qiáng)的指導(dǎo)意義，比如基于最優(yōu)軌線的斜率對(duì)路徑點(diǎn)合并、基于最優(yōu)軌線簇的對(duì)稱(chēng)性對(duì)上注軌線進(jìn)行等效延伸、或者嘗試僅將 S 型和 C 型的轉(zhuǎn)折點(diǎn)作為路徑點(diǎn)等，這樣可以大大降低探測(cè)器自主存儲(chǔ)與計(jì)算需求，進(jìn)而有效提升任務(wù)的可靠性。根據(jù)pontryagin極大值原理，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)及其對(duì)u的偏導(dǎo)數(shù)為使哈密頓函數(shù)（5）式達(dá)到極大地控制輸入u就是最優(yōu)控制，科表示為。用反證法，假設(shè)存在奇異條件，則在某個(gè)閉區(qū)間設(shè)，并由（5）式得。3），與反證假設(shè)矛又因?yàn)橐虼擞谐闪?，這與此時(shí)（10）式在上根據(jù)定理一，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸的最優(yōu)制導(dǎo)律是一種開(kāi)關(guān)（BangBang）控制，只須控制發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)關(guān)，不需要調(diào)節(jié)推力的大小。對(duì)于最優(yōu)推力控制程序（7），其切換函數(shù)中含有共軛變量，它是一個(gè)關(guān)于狀態(tài)變量的穩(wěn)式表達(dá)式。為實(shí)現(xiàn)著陸的最優(yōu)性，減速度取為其中T如（12）式中所示，m0為探測(cè)器的初始質(zhì)量。從而得到線性化方程dy=S182。計(jì)算向月飛行軌道誤差的協(xié)方差迭代方程考慮到軌道參數(shù)的誤差之相對(duì)于軌道參數(shù)的標(biāo)稱(chēng)值是小量，因此可以將軌道運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行線性化，從而得到能夠反映軌道參數(shù)偏差量的傳播關(guān)系的誤差方程。=vDr239。230。247。Dv247。v182。231。232。3r247。246。3247。182。182。=r234。231。z232。232。247。rzrxrzry232。248。r3r234。r5235。10F231。其 中 ： 位 置 誤 差 ：Dr=Drx,Dry,Drz,Drx,Dry,Drz分別為在地心慣性坐標(biāo)系中 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。 誤差模型建立 初始狀態(tài)誤差模型記著陸器的實(shí)際初始狀態(tài)為Xi，標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)為Xn,則定義初始狀態(tài)偏差xi為xi=XiXn(7)對(duì)于主制動(dòng)段這一特定的飛行過(guò)程，這些偏差都是確定的；而針對(duì)整個(gè)月球探測(cè)任務(wù)，這些偏差就變得具有隨機(jī)性。~qjbsqjn(st)()()()qt=q+Qt+qt+Qj(t)(9)jjbcjncj100100~~~~~針對(duì)主制動(dòng)這一特定操作階段，上述四部分誤差具有如下特性：qjbc—第 j 個(gè)觀測(cè)量的測(cè)量誤差，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjbs—第 j 個(gè)觀測(cè)量的刻度因素誤差系數(shù)，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjnc—第 j 個(gè)觀測(cè)量的隨機(jī)誤差，其為一高斯白噪聲；qjns—第 j 個(gè)觀測(cè)量的刻度因素隨機(jī)誤差系數(shù)，其為一高斯白噪聲。由誤差分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖可以看出，其輸入量主要包括：標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)向量、初始狀態(tài)偏差、傳感器測(cè)量誤差、傳感器刻度因素誤差系數(shù)、傳感器時(shí)間常數(shù)、期望終端狀態(tài)；輸出量為加入誤差前后的仿真終端狀態(tài)向量。由參考文獻(xiàn)[6]可知，其相互關(guān)系可表示為vv~~pf=S1pi+S2qbc+S3qbs（11）其中，SS2和S3分別表示相對(duì)于pi、qbc和qbs的誤差敏感系數(shù)矩陣。180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。由于數(shù)值仿真的起始點(diǎn)選為(1，0，1)，靠近平衡點(diǎn)(，0，)，仿真實(shí)驗(yàn)中混沌系統(tǒng)的基頻w0=，基周期為為T(mén)0=2pw0=。顧名思義，modelling一詞在英文中有“塑造藝術(shù)”的意思，從而可以理解從不同的側(cè)面，角度去考察問(wèn)題就會(huì)有不盡的數(shù)學(xué)模型，從而數(shù)學(xué)建模 的創(chuàng)造又帶有一定的藝術(shù)的特點(diǎn)。注意要盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具。黑箱模型：指一些其內(nèi)部規(guī)律還很少為人們所知的現(xiàn)象。建立大系統(tǒng)控制與優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，是迫切需要和十分棘手的課題。競(jìng)賽題目一般來(lái)源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過(guò)適當(dāng)簡(jiǎn)化加工的實(shí)際問(wèn)題，不要求參賽者預(yù)先掌握深入的專(zhuān)門(mén)知識(shí)，只需要學(xué)過(guò)普通高校的數(shù)學(xué)課程。自從參加了數(shù)學(xué)建模集訓(xùn)競(jìng)賽的整個(gè)流程后，才真正踏進(jìn)數(shù)學(xué)的殿堂，原來(lái)利用數(shù)學(xué)的知識(shí)還可以解決工業(yè)、商業(yè)和農(nóng)業(yè)等生活中的問(wèn)題。遇到問(wèn)題時(shí)，大家需要共同討論，發(fā)表自己的見(jiàn)解并理解同伴的想法，最后將意見(jiàn)統(tǒng)一起來(lái)。數(shù)模，我們永遠(yuǎn)的老師！數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)