32 第4課時(shí)-文庫吧
2024-11-18 10:28 本頁面
【正文】 |2＋ |AB→ |2＋ |BD→ |2＋ 2|CA→ ||BD→ |cos(180176。－ θ)． ∴ (2 17)2＝ 62＋ 42＋ 82＋ 2 6 8 (－ cosθ)， ∴ cosθ＝ 12， ∴ θ＝ 60176。. 因此，所求二面角的度數(shù)為 60176。. 6． 如圖 ， 在正三棱柱 ABC－ A1B1C1中 ， 已知 AB＝ 1， 點(diǎn) D 在棱 BB1上 ， 且 BD＝ 1， 則AD 與平面 AA1C1C 所成角的正弦值為 __________________． [答案 ] 64 [解析 ] 解法一：取 AC、 A1C1的中點(diǎn) M、 M1，連接 MM D作 DN∥ BM，則容易證明 DN⊥ 平面 AN，則 ∠ DAN就是 AD與平面 AA1C1C所成的角 ． 在 Rt△ DAN中， sin∠ DAN＝ NDAD＝322＝64 . 解法二：取 AC、 A1C1中點(diǎn) O、 E，則 OB⊥ AC， OE⊥ 平面 ABC，以 O為原點(diǎn) OA、 OB、OE為 x軸、 y軸、 z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 在正三角形 ABC中， BM＝ 32 AB＝ 32 ， ∴ A?? ??12， 0， 0 ， B??? ???0， 32 ， 0 ， D??? ???0， 32 ， 1 ， ∴ AD→ ＝ ??? ???－ 12， 32 ， 1 ， 又平面 AA1C1C的法向 量為 e＝ (0,1,0)， 設(shè)直線 AD與平面 AA1C1C所成角為 θ，則 sinθ＝ |cos〈 AD→ ， e〉 |＝ |AD→ e||AD→ ||e|＝ 64 . 解法三：設(shè) BA→ ＝ b， BC→ ＝ a， BD→ ＝ c， 由條件知 ab＝ 12， ac＝ 0， bc＝ 0， 又 AD→ ＝ BD→ － BA→ ＝ c－ b， 平面 AA1C1C的法向量 BM→ ＝ 12(a＋ b)． 設(shè)直線 AD與平面 AA1C1C成角為 θ，則 sinθ＝ |cos〈 AD→ ， BM→ 〉 |＝ |AD→ BM→ ||AD→ ||BM→ |， ∵ AD→ BM→ ＝ (c－ b)12(a＋ b) ＝ 12ac－ 12ab＋ 12bc－ 12|b|2＝－ 34. |AD→ |2＝ (c－ b)2＝ |c|2＋ |b|2－ 2bc＝ 2， ∴ |AD→ |＝ 2， |BM→ |2＝ 14(a＋ b)2＝ 14(|a|2＋ |b|2＋ 2ab)＝ 34， ∴ |BM→ |＝ 32 ， ∴ sinθ＝ 64 . 三、解答題 7． 如圖 ， 在長方體 ABCD－ A1B1C1D1中 ， AA1＝ AD＝ 1， E 為 CD 中點(diǎn) ． (1)求證 ： B1E⊥ AD1； (2)在 棱 AA1上是否存在一點(diǎn) P， 使得 DP∥ 平面 B1AE？ 若存在 ， 求 AP的長 ； 若不存在 ，說明理由 ； (3)若二面角 A－ B1E－ A1的大小為 30176。， 求 AB 的長 ． [解析 ] (1)以 A為原點(diǎn)， AB→ ， AD→ ， AA1→ 的方向分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 (如圖 )． 設(shè) AB＝ a，則 A(0,0,0)、 D(0,1,0)、 D1(0,1,1)、 E(a2， 1,0)、 B1(a,0,1)，故 AD1→ ＝ (0,1,1)， B1E→ ＝ (－ a2， 1，－ 1)， AB1→ ＝ (a,0,1)， AE→ ＝ (a2， 1,0)． ∵ AD1→ B1E→ ＝－ a2 0＋ 1 1＋ (－ 1) 1＝ 0， ∴ B1E⊥ AD1. (2)假設(shè)在棱 AA1上存在一點(diǎn) P(0,0， z0)， 使得 DP∥ 平面 DP→ ＝ (0，－ 1， z0)． 又設(shè)平面 B1AE的法向量 n＝ (x， y， z)． ∵ n⊥ 平面 B1AE， ∴ n⊥ AB1→ ， n⊥ AE→ ，得????? ax＋ z＝ 0ax2＋ y＝ 0， 取 x＝ 1，得平面 B1AE 的一個(gè)法向量 n＝ (1，－ a2，－ a)． 要使 DP∥ 平面 B1AE，只要 n⊥ DP→ ，有 a2－ az0＝ 0，解得 z0＝ 12. 又 DP?平面 B1AE， ∴ 存在點(diǎn) P，滿足 DP∥ 平面 B1AE，此時(shí) AP＝ 12. (3)連接 A1D、 B1C，由長方體 ABCD－ A1B1C1D1及 AA1＝ AD＝ 1，得 AD1⊥ A1D. ∵ B1C∥ A1D， ∴ AD1⊥ (1)知 B1E⊥ AD1，且 B1C∩ B1E＝ B1， ∴ AD1⊥ 平面 DCB1A1， ∴ AD1→ 是平面 A1B1E的一個(gè)法向量，此時(shí) AD1→ ＝ (0,1,1)． 設(shè) AD1→ 與 n所成的角為 θ，則 cosθ＝ nAD1→|n||AD1→ |＝－ a2－ a2 1＋ a24＋ a2 . ∵ 二面角 A－ B1E－ A1的大小為 30176。， ∴ |cosθ|＝ cos30176。，即3
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