高中數(shù)學(xué) 42 直線、圓的位置關(guān)系 直線與圓的方程素材 新人教a版必修2-文庫吧
2024-11-18 02:40 本頁面
【正文】 在直線為 x軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)點 B， C坐標(biāo)分別為（ 0,2a） ,(2a,0)，則點 D 坐標(biāo)為（ a, 0）。直線 BD 方程為 12 ?? ayax ， ①直線 BC方程為 x+y=2a， ②設(shè)直線 BD 和 AE 的斜率分別為 k1, k2，則 k1=2。因為 BD? AE，所以k1k2= 212 ?k，所以直線 AE 方程為 xy 21? ，由????????ayxxy2,21 解得點 E 坐標(biāo)為?????? aa 32,34 。 所以直線 DE斜率為 .234323 ???aaak 因為 k1+k3=0. 所以∠ BDC+∠ EDC=1800，即∠ BDA=∠ EDC。 例 2 半徑等于某個正三角形高的圓在這個三角形的一條邊上滾動。證明：三角形另兩條邊截圓所得的弧所對的圓心角為 600。 [證明 ] 以 A為原點，平行于正三角形 ABC的邊 BC的直線為 x軸，建立直角坐標(biāo)系見圖 102，設(shè)⊙ D的半徑等于 BC邊上的高，并且在 B能上能下滾動到某位置時與 AB， AC的交點分別為E， F，設(shè) 半徑為 r，則直線 AB， AC 的方程分別為 xy 3? , xy 3?? .設(shè)⊙ D 的方程為(xm)2+y2=r2.①設(shè)點 E， F的坐標(biāo)分別為 (x1,y1),(x2,y2)，則 ,3 11 xy ? 22 3xy ?? ，分別 代入①并消去 y得 .03).(03)( 2222222121 ???????? rxmxrxmx 所以 x1, x2是方程 4x22mx+m2r2=0的兩根。 由韋達(dá)定理???????????4,2222121?rmxxmxx，所以 |EF|2=(x1x2)2+(y1y2)2=(x1x2)2+3(x1x2)2 =4(x1+x2)24x1x2=m2(m2r2)=r2. 所以 |EF|=r。所以∠ EDF=600。 2．到角公式的使用。 例 3 設(shè)雙曲線 xy=1的兩支為 C1， C2，正Δ PQR三頂點在此雙曲線上，求證： P， Q， R不可能在雙曲線的同一支上。 [證明 ] 假設(shè) P， Q， R 在同一支上，不妨設(shè)在右側(cè)一支 C1上，并設(shè) P， Q， R 三點的坐標(biāo)分別為 ,1,1,1,332211 ???????????????????????? xxxxxx 且 0x1x2x3. 記∠ RQP=θ，它是直線 QR到 PQ的角，由假設(shè)知直線 QR， PQ的斜率分別為3223231 111xxxxxxk ????? ， .1112121212 xxxx xxk ????? 由到角公式 .01 )(11111t a n 3221312322132212112 ????????? ?? xxx xxxxxxxxxxkkkk? 所以θ為鈍角，與Δ PQR為等邊三角形矛盾。所以命題成立。 3．代數(shù)形式的幾何意義。 例 4 求函數(shù) 11363)( 2424 ??????? xxxxxxf 的最大值。 [解 ] 因為 222222 )0()1()3()2()( ???????? xxxxxf 表示動點 P(x, x2)到兩定點 A(3, 2), B(0, 1)的距離之差，見圖 103， 當(dāng) AB 延長線與拋物線 y=x2的交點 C 與點 P重合時， f(x)取最大值 |AB|= .10 4．最值問題。 例 5 已知三條直線 l1: mxy+m=0, l2: x+mym(m+1)=0, l3: (m+1)xy+m+1=0圍成Δ ABC，求 m為何值時，Δ ABC的面積有最大值、最小值。 [解 ]記 l1, l2, l3的方程分別為①，②，③。在①，③中取 x=1, y=0，知等式成立，所以A(1, 0)為 l1與 l3的交點；在②，③中取 x=0, y=m+1，等式也成立，所以 B(0, m+1)為 l2與 l3 的交點。設(shè) l1, l2 斜率分別為 k1, k2, 若 m? 0，則 k1?k2= 11 ?????????mm, SΔ ABC= ||||21 BCAC ? ，由點到直線距離公式 |AC|=1 |1|1 |1| 2222????? ??? m mmm mm，|BC|=22 111 |1| mm mm ??? ??? 。 所以 SΔ ABC= ?????? ???? ??? 11211 121 222m mm mm。因為 2m≤ m2+1，所以 SΔ ABC≤43。又因為 m21≤ 2m，所以121 2 ??? mm，所以 SΔ ABC≥ .
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