【正文】 。這時(shí)相應(yīng)的傳染病模型稱為 SIS模型。模型一般適用于由細(xì)菌引起的傳染病。當(dāng)引入隔離后，總種群（ N）分為由易感個(gè)體組成的子種群（ S），由已經(jīng)染病但未被隔離的個(gè)體組成的子種群（ I）和由已經(jīng)染病并且被隔離的個(gè)體組成的子總?cè)海?Q）。 設(shè)被隔離者恢復(fù)后也不具有免疫力，即恢復(fù)后又成為易感者，這時(shí)相應(yīng)的傳染病模型被稱為 SIQS模型。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 3 2 穩(wěn)定性理論 矩陣的范數(shù) 我們開始本節(jié)引入的概念， 向量和矩陣的范數(shù)。 定義 。實(shí)值函數(shù)的向量空間 V 被稱為范數(shù)， 用 表示，如果下面的性質(zhì)成立： ??10x ? 和 0x? 當(dāng)且僅當(dāng) 0x? ? ?2 xx??? 對于所有的 xV? 和標(biāo)量 ? ? ?3 x y x y? ? ?對于所有的 ,xy V? . 最常用的三個(gè)范數(shù) k 如圖 21 所示。 在這里，我們要注意，所有范數(shù) k 在這個(gè)意義上是等價(jià)的，如果 ， ? 是任何兩個(gè)范數(shù)，那么存在常數(shù) ,0??? ，使得 x x x????? 因此，如果 ??nx 是在 k 中的數(shù)列 ，然后 0x? 當(dāng) n?? 當(dāng)且僅當(dāng) 0x?? ，當(dāng) n ??對應(yīng)每個(gè)向量范 數(shù) 在 k 。 一個(gè)可以 用 K K 矩陣 A 定義這個(gè) 范數(shù) 為 0maxxAxA x?? ? ?2 1 1?? 它可以容易 11m a x m a xxxA A x A x???? 使用這個(gè)定義，可以很容易地計(jì)算 A 相對上述三種范數(shù)如表 21 所示。 ? ?2 1 1?? ，我們可以推斷，任何范數(shù) ? ?AA? ? ? ?213?? 其中 ? ? ? ?m a x :AA? ? ?? 是 的 特 征 值譜半徑的特征值 A。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 4 表 21 全局的穩(wěn)定性 讓我 們考慮向量差分方程 ? ? ? ?? ?1,x n f n x n?? ? ?00x n x? ? ?2 2 1?? 其中 ? ? ,:k k kx n f ?? ? ?。我們假設(shè)有 ? ?,f nx 在 x 中是連續(xù)的。回想一下 ，? ?2 2 1?? 被說成是自主或時(shí) 間 不變的，如果變量 n 不顯式出現(xiàn)在右邊 的方程 ? ?? ? ? ?? ?,f n x n f x n? 。 則可以 被說成是周期性的，如果 所有 正整數(shù) N 有 A 點(diǎn) *x 對? ?? ? ? ?? ?,f n x n f x n? 被稱為在 k 的平衡點(diǎn) ? ?2 2 1?? ，如果 ? ?,f n x x??? 對所有 0nn?時(shí)。在大多數(shù)的文獻(xiàn)中 x? 被假定為原點(diǎn) O，被稱為零解。這個(gè)假設(shè)的理由如下：設(shè)? ? ? ?y n x n x???則 ? ?2 2 1?? 成為 ? ? ? ?? ? ? ?? ?1 , ,y n f n y n x x g n y n??? ? ? ? ? ? ?222?? 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 5 請注意， 0y? 的對應(yīng)于 xx?? 。由于在許多情況下，也不是很方便，使這個(gè)坐標(biāo)變換，我們將假設(shè) 0x?? ，除非它是這樣做的更方便?；叵胍幌?，在以前，我們處理的 存在性和唯一線性系統(tǒng)解決方案，這個(gè)情況下 解 的存在性和唯一 性 。? ?? ? ? ? ? ?,f n x n A n x n? ，其中 ??An 是一個(gè) kk? 矩陣。 我們現(xiàn)在準(zhǔn)備推出 的各種穩(wěn)定的平衡點(diǎn) x? ? ?2 2 1?? 的概念。 定義 平衡點(diǎn) x? 在 ? ?2 2 1?? 被說成是： （一） 穩(wěn)定性，如果給定的 0?? 和 0 0n? ，存在 ? ?0,n? ? ?? ，0xx????意味著 ? ?00,x n n x x ????對所有 0nn? 都是均勻穩(wěn)定的。如果 ? 會獨(dú)立選擇 0n 時(shí)，則他不是穩(wěn)定的。 （二） 漸近 性，如果存在 ? ?0= n?? 當(dāng)0xx????意味著 ? ?00lim , , =n x n n x x??? ， 一致漸近 。如果 0n 是選擇 ? 是獨(dú)立的。 一致漸近 的條件可能會轉(zhuǎn)述成，存在 0?? ，使得每個(gè) ? 和 0n 存在 ? ?NN?? 獨(dú)立 0n ，當(dāng) ? ?00,x n n x x ????對所有 0n n N??，每當(dāng)0xx????。 （三） 漸近穩(wěn)定性，如果它是穩(wěn)定和漸近的，且均勻漸近穩(wěn)定，如果是均勻穩(wěn)定和均勻漸近 。 （四） 指 數(shù) 穩(wěn) 定 性 ， 如 果 存 在 0, 0M? ??，和 ??0,1?? 。? ? 00 0 0, nnx n n x x M x x ? ???? ? ?，當(dāng) 0xx?????, 0xx???? （五） 解 ? ?00,x nnx 是有界的，如果一 非負(fù) 的常數(shù) M， ? ?00,x n n x M?為所有 0nn? ，其中 M 可能取決于每個(gè)解 。 如果在部分（ 二 ），（ 三 ） ??? 或部分（ 四 ） ??? 時(shí)，相應(yīng)的穩(wěn)定是被認(rèn)為是全局性的。在圖 22 中，我們 壓制 （時(shí)間） n 和只顯示運(yùn)動的一個(gè)解，δ為球內(nèi)的半徑。下圖所示，未來所有狀態(tài) ? ?00,x nnx 中， 0nn? 時(shí)。會留在 ? 球內(nèi)。此圖被稱為相空間畫像，并且將在后面的章節(jié)中廣泛使用。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 6 圖 22 在相空間中的穩(wěn)定平衡 圖 43 穩(wěn)定平衡 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 7 圖 24 一致漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn) 圖 穩(wěn)定性概念層次 在圖 23 中， 表示時(shí)間 n 是一個(gè)三維坐標(biāo)系統(tǒng)的一部分，并且提供了另一種視角的穩(wěn)定 。 圖 24 描述了一致漸近穩(wěn)定的零解。請注意，在 上面的定義中，一些穩(wěn)定點(diǎn) 意味著一個(gè)或多個(gè)。 圖 25 顯示了層次結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性的概念。 重要說明：在一般情況下，圖 45 中的箭頭 不 可能逆轉(zhuǎn)。然而，對于特殊類別的方程，這些圖 45 中的箭頭可能逆轉(zhuǎn)。在本節(jié)中，將顯示的線性系統(tǒng) ? ? ? ? ? ?1x n A n x n?? ? ?2 2 3?? 其中， ??An 是一個(gè) K K 矩陣 Z 上定義的一 致漸近穩(wěn)定性 意味著指數(shù)的穩(wěn)定性（ UAS? ES）。 對于自治系統(tǒng) ? ? ? ?? ?1x n f x n?? ? ?224?? 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 8 我們有下面的結(jié)果。 定理 。對于自治系統(tǒng) ? ?224?? ，下面的語句 是關(guān)于 平衡點(diǎn) x? ： ? ?? ?? ?123S USAS UASA UA??? 證明。 設(shè) ? ?00,x nn x 和 ? ?00,y n m x 對于 ? ?224?? 的兩 個(gè) 解 ， 0 0 0m n r??， 0 0r? 。請注意，? ?000,x n r n x? 和 ? ?00,y n m x 在 0nm? 時(shí) 相 交 。 通 過 獨(dú) 特 的 方 案 解 決? ? ? ?0 0 0 0 0, , , ,y n m x x n r n x??。這意味著，在穩(wěn)定的定義中的 ? 是 相對于 初始時(shí)間 0n 獨(dú)立的 。這樣就 確立了我們的結(jié)果。證明 ??2 和 ??3 跟證明 ??1 的時(shí)候類似。 下面的例子是對定義的說明。 1． 該 標(biāo)量方程 ? ? ? ?1x n x n?? 的 解 由下式給出 的 ? ?0 0 0,x n n x x? ，因此零解是均勻穩(wěn)定，但不 是 漸近穩(wěn)定的。 2． 標(biāo) 量 方程 ? ? ? ? ? ?1x n a n x n?? 的解是 ? ? ? ?010 0 0, ninx n n x a i x?????????? 因此， 可以得出以下結(jié)論： （一） 零解是穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng) ? ? ? ?01 0nin a i M n M??? ? ? 其中 M 是一個(gè)取決于 0n 的正的常數(shù)。此條件成立的情況下，如果 ? ? ? ?1 iai ??? 其中01???。 為了說明這一點(diǎn)，我們寫出 ? ? ? ?0 0 0,x n n x n x??的解，當(dāng) ? ? ? ?01 1niinn ???? ? ? ?。因?yàn)? ?1 expii???? ， 它遵循 ? ? ? ?00010e xp e xp e xp 1nn iii n i nn M n M??? ?????? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ??? 由于 0?? 和 0 0n? ， 如 果 我 們 讓 ? ?2M??? ， 然 后 0x ?? 意味著? ? ? ?0 0 0,x n n x n x ?? ? ?。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 9 （二） 零解是一致穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng) ? ?01nina i M???? ? ?