【正文】 活，背景生動(dòng)并且容易理解，表達(dá)方式單間，并且效率高而被許多數(shù)學(xué)家所喜愛(ài)。但是要熟練掌握這種證明方法，需要掌握知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系，而且必須了解知識(shí)的客觀背景，弄清楚知識(shí)的來(lái)龍去脈，編制知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，抓住問(wèn)題的主要特征。如果在教學(xué)中利用好這類綜合性解題的良好教材，則可以沖發(fā)揮這種類型題材的應(yīng)用。 在學(xué)習(xí)概率論 中，我們首先接觸到得的是古典概型，這些概率模型的特點(diǎn)是所研究的樣本容量中樣本的個(gè)數(shù)是有限的，常利用排列組合方法去解決古典概型中的問(wèn)題，如分配問(wèn)題，伯努利概型等。對(duì)于一些離散型隨機(jī)變量，也可用排列組合方法進(jìn)行討論，如超幾何分布等。反過(guò)來(lái)，可以通過(guò)構(gòu)造這些特殊的概率模型，利用概率模型的性質(zhì)，如概率函數(shù)的規(guī)范性，可以求解一些用常規(guī)方法難證齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 3 明的恒等式。有些恒等式用常用的分析方法證明是很不易的，如中學(xué)中的排列組合恒等式、或者更復(fù)雜的恒等式的證明，建立了概率模型后，通過(guò)求概率的思想，能很方便地把恒等式證明出來(lái)。 本文主要的研究?jī)?nèi)容 本課題研究的內(nèi)容是利用概率論的知識(shí)，巧妙地將其與組合恒等式有關(guān)的概率構(gòu)造出來(lái)并對(duì)其計(jì)算，分析，同時(shí)對(duì)組合恒等式加以證明，并由此給出了組合恒等式概率論的方法證明的方法和思路。 用概率論的方法證明組合恒等式的主要思想是在證明組恒等式的時(shí)候，如果我們從概率論的角度去分析它們可以使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，也就是說(shuō)對(duì)于需要被證明的組合恒等式，在構(gòu)造構(gòu)造好概率模型之后，從不同角度的角度考慮其概率或隨機(jī)變量的數(shù)字特征，在運(yùn)用概率論的公式，有關(guān)性質(zhì)，結(jié)論等，將所構(gòu)造的模型相關(guān)事件的概率計(jì)算出來(lái)，從而可以推導(dǎo)出需要 證明的結(jié)論，從而對(duì)于組合恒等式的證明更加即便容易掌握。 相關(guān)工作 用概率論的方法證明一些關(guān)系式或者解決其他一些分析學(xué)中的問(wèn)題，是概率論的研究方向之一 ，本篇論文就是這方面應(yīng)用的結(jié)果。關(guān)于組合恒等式的證明我們通常采用的是分析學(xué)的方法，但是用概率論的方法證明一些組合恒等式卻更加的簡(jiǎn)便。對(duì)于如何使用概率論的方法證明組合恒等式，經(jīng)過(guò)本人得仔細(xì)思考，大致總結(jié)了以下幾個(gè)方法： （ 1）運(yùn)用完備事件組證明組合恒等式 （ 2）運(yùn)用全概率公式證明組合恒等式 （ 3）運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)字特征證明組合恒等式 （ 4）運(yùn)用構(gòu)造概率模型證 明組合恒等式 （ 5）運(yùn)用等概率法證明組合恒等式 （ 6）運(yùn)用概率性質(zhì)證明組合恒等式 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 4 第 2 章 用概率論的 基本理論 證明組合恒等式 運(yùn)用完備事件組證明組合恒等式 這種方法的基本思想是：我們對(duì)于一些組合恒等式，可以構(gòu)造出適當(dāng)?shù)哪Ｐ停⑶疫x擇出與組合恒等式相關(guān)的隨機(jī)變量，并求出它的分布列 ),2,1(}{ niPiP i ????? 接著我們?cè)倮猛陚涫录M的性質(zhì) 11 ????i iP，于是我們便達(dá)到了證明組合和恒等式的目的。 引理 設(shè) { nAAA , 21 ? }構(gòu)成一個(gè)完備事件組，即 nAAA , 21 ? 互斥，????ni iA1 ，則 1)(1 ???ni iAP 。 ]1[ 例 1 證明組合恒等式： ????? ?nkmnkmknkmkn CCC022)(2)(22 證明 我們可以利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造成如下概率模型： 假設(shè)盒子里有 n 副大小不同的手套， 現(xiàn)在我們從中隨機(jī)抽取 2m只（ 2mn），那么正好有 k 副手套配對(duì)的概率為： ),2,1,0()(22221222 mkC CCCp mnkmkm kmkpk ?????? 根據(jù)完備事件組的性質(zhì)知道： ?? ?mk kP0 1 于是可以得到 ????? ?nkmnkmknkmkn CCC022)(2)(22 例 2 證明組合恒等式 11 ?? ?? knknkn CCC 證明 首先我們將公式變形為 1111 ?? ??? knknknknCCCC 現(xiàn)在我們利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造如下概率模型：一批貨物共 1?n 個(gè)，準(zhǔn)備批發(fā)出廠 .若已知其中有一個(gè)是廢品，現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽取 k 個(gè)貨物出來(lái)? ?11 ??? nk ，問(wèn)廢品被抽到的概率是多少？抽出 k 個(gè)貨物中沒(méi)有廢品的概率又齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 5 是多少？ 若記事件 1A 為“抽出 k 個(gè)貨物 中沒(méi)有廢品”的事件，那么事件 12 AA? 就是“抽到 k 個(gè)貨物中有廢品 ”的事件，即 1A 和 2A 為兩個(gè)對(duì)立事件 . 有 ? ? .11 knknCCAP ?? ? ? ? ? .1 11112 kn knCCCAPAP ? ??? 由于 21,AA 構(gòu)成完備事件組，所以， 有 ? ? ? ? 121 ?? APAP . 從而有 1111 ?? ??? knknknknCCCC 成立， 即有 11 ?? ?? knknkn CCC 成立 . 例 3 證明組合恒等式 ),(011110 nkmkNknmCCCCCCCCC k nmmkmnkmknmknm ???????? ??? 其中? 證明 現(xiàn)在我們利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造如下概率模型： 設(shè)盒子中有 m張紅色卡片和 n 張白色卡片，每次取出 k )( nmk ?? 張卡片，求得到 i )( mi? 張卡片的概率。 ),2,1,0( ki ??? 記事件 iA 為“取得 i張紅色卡片和 ki張白色卡片” ),2,1,0( ki ??? 則 ????? kAAA ?10 ，且 kAAAA , 210 ? 互不相容， 于是 ??? ????ki iki i APAPP 00 )()()(1 ? 又因?yàn)閗 nm iknimCCCiAP ? ??)(這樣得出 ?? ?? ?kik nmikmim CCC0 所以 k nmmkmnkmknmknm CCCCCCCCC ??? ????? 011110 ? 例 4 證明組合恒等式 1321 232 ?????? nnnnnn nnCCCC ? 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 6 證明 現(xiàn)在我們利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造如下概率模型： 將 n 個(gè)箱子排成一列，從紅黑白三種顏色的 M 張卡片中任取 n )( Mn? 張卡片放到這 n個(gè)箱子里，如果 n張卡片中恰有一張紅色卡片，則包含的基本事件 為 n 12?n 。 記事件 iA 為“恰有 ni張白色卡片”（ 1??ni ），則這 in? 張白色卡片放在 n個(gè)箱子里共有 1?nnC 種放法，而對(duì)于其他 i個(gè)箱子只能放 1 張紅色卡片和 1?i 張黑色卡片，又有 i種方法。所以，事件 iA 包含的基本事件數(shù)為 i 1?nnC 于是 112)(???nnni niCAP 顯然， nAAAA , 210 ? 互不相容，并且 ????? nAAA ?10 所以 ??? ???? ?????ni nnnni ini i niCAPAPP1 1111 2)()()(1 ? 又由于 ininn CC ?? 于是 1321 232 ?????? nnnnnn nnCCCC ? 例 5 證明范德蒙（ Vendermonde）恒等式 k mnmknkmnkmn CCCCCCC ?? ??? 0110 ? 證明 我們首先來(lái)構(gòu)造一個(gè)如下的概率模型： 設(shè)一個(gè)盒子中有 mn? 張不同的卡片，其中 n張紅色卡片 m張白色卡片，我們隨機(jī)的從中取出 k 張卡片并 且不放回作為一組。 記隨機(jī)變量 ? 為取出的 n張卡片所包含的紅色卡片數(shù)，我們可以容易的計(jì)算出 ? 的分布列為 ),m in(,2,1,0}{ kniC CCiP k mn ikmin ???? ? ?? 并且由分布列的性質(zhì)我們可以得出 1}{),m in(0 ????kni iP ?即 ?? ?? ?),m in(0knik mnikbin CCC 但是當(dāng) nm? 時(shí) 0?mnC 所以 k mnmknkmnkmn CCCCCCC ?? ??? 0110 ? 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 7 運(yùn)用全概率公式證明組合恒等式 引理 設(shè) { nB }為 ? 的一個(gè)有限劃分，即 ??ikBB （ ik? ）， （ nik ,2,1, ?? .） 11 ???nk kB 且 ),2,1(0)( nkBP k ??? ，則 FA?? ， ??? nk ii BAPBPAP 1 )()()( 成立。 ]1[ 例 證明組合恒等式 knknknkn CCCC 11111 ???? ??? 證明 首先我們將公式變形為 11111111 ??????????knknknknknknCCCCCC 接著我們利用全概率公式，構(gòu)造如下概率模型： 設(shè)箱子中有 mn? 張卡片，但是其中有一張黑色卡片，一張白色卡片，現(xiàn)在隨機(jī)從中抽取 k 張卡片（ 11 ??? nk ） 記事件 A 為“抽取的 k 張卡片中含有黑色卡片” 事件 A 為“抽取的 k 張卡片中 含有 白色卡片 ” 則knknCCCAP 101)(??,由全概率公式 ： knknknknknknknknknknknknCCCCCCCC CCC CCC CCBAPBPBAPBPAP 1111211111101121111111)()()()()(?????????????? ????????由于 ? ? ? ? 1?? APAP 從而得出 11111111 ??????????knknknknknknCCCCCC 即 knknknkn CCCC 11111 ???? ??? 如果將上述 摸卡片模型稍微需做一下改變，設(shè)箱子中有 1?n 張卡片，其中僅有一張黑色卡片，其余均為白色卡片，就可以證得組合加法公式： 11 ?? ?? knknkn CCC 如果我們建立如下摸卡片模型：設(shè)箱子里有 m張黑色卡片和 n 張白色卡片，現(xiàn)在從中隨機(jī)抽取 k（ nmk ???0 ）張卡片，仿照此例子， 利用伯努利概率公式 knkknk qpCP ?? 我們可以證明組合公式 k nmmkmnkmknmknm CCCCCCCCC ??? ????? 011110 ? 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 8 運(yùn)用概率性質(zhì)證明組合恒等式 我們利用概率的性質(zhì)來(lái)證明組合恒等式，這是一種方便的證明方法 ，而且簡(jiǎn)單易懂，通常用“必然事件的概率等于 1”和“不可能事件的概率等于 0”來(lái)證明。 例 1 證明 組合 恒等式 nnk kk knC 22110 ????? ? 證明 我們構(gòu)造如下 概率模型： 設(shè) 一個(gè)人有兩瓶牙簽 ，每 瓶 n根，每次用牙簽時(shí)，他在兩瓶中任取一 瓶 ．然后抽出一根，使用若干次后，發(fā)現(xiàn)一瓶牙簽 已經(jīng)用完，求另 一盒中還有 r 根 牙簽的概率 . 如果用 1A ， 2A 分別表示甲瓶或者乙瓶 中余下 r 根 牙簽 . 用 rA 表示一瓶 用完， 而另一 瓶 中有 r 根的事件，則 21 AAAr ?? . 注意到，當(dāng)發(fā)現(xiàn)一 瓶 已空時(shí)．這一 瓶 必定在前面已用過(guò) n 次， 另一 瓶 余下r 根， 從而另一 瓶 已用過(guò) rn? 次 ， 故共用了 12 ??rn 次 .每次取到甲 (乙 ) 瓶 的概率是 21 .所以 ? ? ? ? ? ? ? ?2121 APAPAAPAP r ??? ? = rnnnrnrnnnrn CC???? ??????????????????????????? 212121212121 22 = rnnrnC?? ??????22 21 由于 r 的取值必定是 n,2