【正文】 2 第一章 知識(shí)準(zhǔn)備 微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中非常重要的基本定理 .微分中值定理是指羅爾中值定理 ,拉格朗日中值定理 ,柯西中值定理以及泰勒中值定理 .微分中值定理在數(shù)學(xué)分析及高等數(shù)學(xué)中的地位是不容置疑的 ,且在解題中的應(yīng)用也是 十分廣泛的 .在這里我們就利用微分中值定理證明不等式的方法作一簡(jiǎn)述 . 首先我們要先介紹一下微分中值定理 : 定理 1 羅爾中值定理 :如果函數(shù) ()fx在閉區(qū)間 ? ?,ab 上連續(xù) ,在開區(qū)間 ? ?,ab 內(nèi)可導(dǎo) ,且滿足 ( ) ( )f a f b? ,那么在 ? ?,ab 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ,使 得 ( ) 0f ?? ? . 定理 2 拉格朗日中值定理 :如果函數(shù) ()fx在閉區(qū)間 ? ?,ab 上連續(xù) ,在開區(qū)間? ?,ab 內(nèi)可導(dǎo) , 那么在 ? ?,ab 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ,使得 ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a??? ? ?. 當(dāng)函數(shù) ()fx在 ? ?,ab 內(nèi)的變化范圍已知時(shí) ,有 ()m f x M???,于是可以利用拉格朗日定理來(lái)證明 ( ) ( ) ( ) ( )m b a f b f a M b a? ? ? ? ?一類的不等式 . 定理 3 柯西中值定理 :如果函數(shù) ( ), ( )f x g x 在閉區(qū)間 ? ?,ab 上連續(xù) ,在開區(qū)間 ? ?,ab 內(nèi)可導(dǎo) ,且 ()gx? 在 ? ?,ab 內(nèi)每一點(diǎn)均不為零 ,那么在 ? ?,ab 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ,使得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f b f a fg b g a g ???? ? ?? . 定理 4 泰勒中值定理 :如果函數(shù) ()fx在含有點(diǎn) 0x 的區(qū)間 D 上有直到 ( 1)n? 階的導(dǎo)數(shù) ,則函數(shù) ()fx在 D 內(nèi)可表示成一個(gè)多項(xiàng)式 ()nPx與一個(gè)余項(xiàng)式 ()nRx的和 : 2022 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( ) ( )2 ! !n n nf x f xf x f x f x x x x x x x R xn???? ? ? ? ? ? ? ? ?. 其中 1 1()( ) ( )( 1) !n nn fR x xn ? ?? ????, 0( , )xx?? . 注 :當(dāng) 0n? 時(shí) ,即為拉格朗日中值定理 ,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣 .這個(gè)公式又稱為帶有朗格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式 . 3 在微分學(xué)中 ,微分中值定理在證明不等式中起著很大的作用 ,我們可以根據(jù)不等式的兩邊的代數(shù)式選取不同的函數(shù) ()fx,應(yīng)用微分中值定理得出一個(gè)等式之后 ,對(duì)這個(gè)等式根據(jù) x 取值范圍的不同進(jìn)行討論 ,得到不等式 ,以下通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明微分中值定理在證明不等式的應(yīng)用 . 因此給出利用微分中值定理證明不等式的步驟 （ 1） 構(gòu)造輔助函數(shù) ()fx （ 2）構(gòu)造微分中值定理需要的區(qū)間 ? ?ba, （ 2） 利用 ? ?ba,?? ，對(duì) f,?進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s 4 第二章 利用羅爾中值定理證明不等式 羅爾中值定理的幾何意義 :在滿足定理?xiàng)l件下 ,在曲線 ()y f x? 上必有一點(diǎn) ,使得過(guò)該點(diǎn) ( , ( ))Pf??的切線平行于 x 軸 . 在一般情況下 ,利用羅爾中值定理很容易證明關(guān)于方程的根的問(wèn)題 ,但是僅用羅爾中值定理卻很難證明不等式 ,所以在利用羅爾中值定理證明時(shí)要綜合利用其他的微分中值定理 . 羅爾中值定理的應(yīng)用 例 1 設(shè)函數(shù) ()fx在 ? ?ba, 上連續(xù)，在 ? ?1,0 內(nèi)可導(dǎo)，且 ? ? ? ? 010 ?? ff .證明： ? ?1,0內(nèi)必存在一點(diǎn) ? ，使得??? ????? 1 )(2)( ff. 分析：由結(jié)論令 )(2)()1()( xfxfxxF ???????? → ? ???? dxxFF )()( ?? ? ?? ? )()()1()(2)(1 xfxfxdxxfxfx ????????? → ? ?? ? )()1()()(1)()( xfxdxxfxfxdxxFxF ???????? ? ?. 證明：令 )()1()( xfxxF ?? ，由于 )(xF 在 ??1,0 上連續(xù)，在 ? ?1,0 內(nèi)可導(dǎo)，且 )()()1()( xfxfxxF ????? ，又 0)1()0( ?? FF ,則由羅爾定理知：存在 ? ?1,0?c ， 使得 0)()()1()( ?????? cfcfccF ，又 0)1()1( ???? fF ，從而 )(xF? 在 ? ?1,c 上 .再由羅爾定理知：必存在一點(diǎn) ? ? ? ?1,01, ?? c? ，使得 0)(2)()1()( ????????? ???? ffF 即??? ????? 1 )(2)( ff 5 第三章 利用拉格朗日中值定理證明不等式 拉格朗日中值定理的幾何意義 :在滿足定理?xiàng)l件下 ,在曲線 ()y f x? 上必有一點(diǎn)( , ( ))Pf??,使得過(guò)該點(diǎn)的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線 ( , ( ))a f a ,( , ( ))b f b 兩點(diǎn)的弦 .我們?cè)谧C明中引入的輔助函數(shù) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f b f aF x f x f a x aba?? ? ? ??,正是曲線()y f x? 與弦線之差 . 拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣 ,當(dāng) ( ) ( )f a f b? 時(shí) ,本定理即為羅爾中值定理的結(jié)論 ,這表明羅爾中值定理是朗格朗日定理的一個(gè)特殊情形 ()y f x? . 拉格朗日中值定理的其它表示形式 : (1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a??? ? ?,ab???。 (2) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( 0 1 )f b f a f a b a b a???? ? ? ? ? ? ?。 (3) .0,)()()( hhhafafhaf ??????? ?? 值得注意的是 :拉格朗日中值定理無(wú)論對(duì)于 ab? ,還是 ab? 都成立 .而 ? 則是介于 a 與 b 之間的某一定數(shù) ,而 (2),(3)兩式的特點(diǎn) ,在于把中值點(diǎn) ? 表示成了()a b a???,使得不論 a ,b 為何值 ,? 總可為小于 1的 某一整數(shù) . 例 2 (1)如果 0x? ,試證 ln(1 )1 x xxx ? ? ?? 。 (2)求證 : arc tg arc tg? ? ? ?? ? ?. 證明 (1)令 ( ) ln(1 )f x x??, ()fx在區(qū)間 ? ?0, ( 0)xx? 上連續(xù) ,在 ? ?0, ( 0)xx? 內(nèi)可導(dǎo) ,應(yīng)用拉 格朗日中值定理 ,則有 ln (1 ) ln (1)1 xx ?? ? ? ?, (0, )x?? . 由于在閉區(qū)間 ? ?0,x 上 ,有11xxxx ?????,所以 ln(1 )1 x xxx ? ? ?? ( 0)x? . 6 (2)當(dāng) ??? 時(shí) ,顯然等號(hào)成立 . 當(dāng) ??? 時(shí) ,不妨設(shè) ??? .設(shè) ? ?( ) , ,f x ar ctgx x ????, 由拉格朗日中值定理得 ,211a rctg a rctg??? ? ?? ??? , ( , )? ??? . 則有 21 ()1a r c tg a r c tg? ? ? ??? ? ?? 所以 21 ()1a r c tg a r c tg? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??. 以上兩個(gè)例子都是利用拉格朗日中值定理來(lái)證明不等式 ,有些不等式利用此定理時(shí) ,方法要靈活些 . 例 3 當(dāng) 0x? 時(shí) ,函數(shù) ()fx在其定義域上可導(dǎo) ,且 ()fx? 為不增函數(shù) ,又 ( ) 0fx? , 0, 1, 2,..., ,ix i n?? 求證 11( ) ( )nniiiif x f x?????. 證明 用數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng) 1n? 時(shí) ,顯然不等式成立 . 當(dāng) 2n? 時(shí) ,若 12,xx均為 0 ,或者一個(gè)為 0 時(shí) ,當(dāng)一個(gè)為 0 時(shí) , 顯然有 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x? ? ?. 設(shè) 12,xx均大于 0 ,不妨設(shè) 12xx? ,在 ? ?10,x 應(yīng)用拉格朗日中值定理可得 : ? ?11 1 1 1( ) ( ) ( 0 ) ( ) , 0 ,0f x f x f fxx ? ? ?? ?? ? ??. 在 ? ?2 1 2,x x x? 上再次利用拉格朗日中值定理可得 : ? ?1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,f x x f x f x x f x f x x xx x x x ??? ? ? ? ?? ? ? ??? 顯然 12??? ,由題設(shè)知 , 12( ) ( )ff????? . 所以 1 2 2 111( ) ( ) ( )f x x f x f xxx?? ?,