等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明及數(shù)列求和5篇-文庫(kù)吧
2024-10-12 01:48 本頁(yè)面
【正文】 ..+n（n+1）=？設(shè)n為奇數(shù),1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)==(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)=2(2^2+4^2+6^2+...(n1)^2)+n(n+1)=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n1)/2]^2)+n(n+1)=8*[(n1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3設(shè)n為偶數(shù),請(qǐng)你自己證明一下！所以，1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3設(shè)an=n（n+1）=n^2+nSn=12+23+34+...+n（n+1）=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/3數(shù)列求和的幾種方法：等差數(shù)列求和公式:Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n1)d/2等比數(shù)列求和公式：Sn=na1(q=1)Sn=a1(1q^n)/(1q)=(a1anq)/(1q)(q≠1)適用題型：適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式{ an }、{ bn }=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn例如：an=a1+(n1)dbn=a1q^(n1)Cn=anbnTn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbnqTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n1)bn+anb(n+1)TnqTn= a1b1+b2(a2a1)+b3(a3a2)+...bn[ana(n1)]anb(n+1)Tn(1q)=a1b1anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)=a1b1anb1q^n+db2[1q^(n1)]/(1q)Tn=上述式子/(1q)這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(a1+an)Sn =a1+ a2+ a3+......+anSn =an+ a(n1)+a(n3)......+a1上下相加 得到2Sn 即 Sn=（a1+an)n/有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，：an=2^n+n1適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng)。常用公式：（1）1/n(n+1)=1/n1/(n+1)（2）1/(2n1)(2n+1)=1/2[1/(2n1)1/(2n+1)]（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)1/(n+1)(n+2)]（4）1/(√a+√b)=[1/(ab)](√a√b)（5）nn!=(n+1)!n![例] 求數(shù)列an=1/n(n+1)：an=1/n(n+1)=1/n1/(n+1)（裂項(xiàng)）則Sn =11/2+1/21/3+1/4…+1/n1/(n+1)（裂項(xiàng)求和）＝ 11/(n+1)＝ n/(n+1)小結(jié)：此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。注意： 余下的項(xiàng)具有如下的特點(diǎn)1余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的。2余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟：（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n的第一個(gè)值，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。例：求證：1234 + 2345 + 3456 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3)=[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5證明： 當(dāng)n=1時(shí)，有：1234 + 2345 = 2345(1/5 +1)= 23456/5假設(shè)命題在n=k時(shí)成立，于是：1234 + 2345 + 3456 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3
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