【正文】 [1]。 在信號(hào)分析處理領(lǐng)域中，傅氏變換有著重要的地位。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 ： 1( ) ( )2 jxF f x e dx?? ? ?? ???? ? 11 逆 變換為 ： 1( ) ( )2 jxf x F e d???? ????? ? 12 f (x)與 F(? )之間的相互轉(zhuǎn)換具有完美的對(duì)稱(chēng)形式。傅氏變換的特點(diǎn)在于 ： (1)該變換是線(xiàn)性變換。如果信號(hào)是經(jīng)過(guò)線(xiàn)性變換復(fù)合而成的復(fù)雜信號(hào)，則其傅氏變換可以方便地通過(guò)原信號(hào)的傅氏變換經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單代數(shù)運(yùn)算得到 ； 反之，復(fù)雜的傅氏變換如果是經(jīng)過(guò)線(xiàn)性變換，則要獲得其對(duì)應(yīng)的時(shí) 域信號(hào)，也可以通過(guò)原信號(hào)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單代數(shù)運(yùn)算得到 ； (2)該變換把時(shí)域卷積 (頻域卷積 )變換為頻域卷積 (時(shí)域卷積 )，這使得分析信號(hào)的傳遞過(guò)程變得十分簡(jiǎn)單。 從傅氏變換的表達(dá)式可以看出 ： 因 si n( ) ( ) / 2j x j xx e e??? ???，所以傅氏變換是把信號(hào)展開(kāi)成為一組正弦函數(shù)的組合，而 sin(? x)無(wú)論在時(shí)域或頻域時(shí)域或頻域均是周期函數(shù)。因此決定了傅氏變換不可能在時(shí)域和頻域同時(shí)獲得良好的局域特性。當(dāng)信號(hào)在時(shí)域內(nèi)為局域信號(hào)時(shí)，其頻域表達(dá)一定是貫穿整個(gè)頻率軸的。 例如時(shí)域 3 沖擊函數(shù)，僅在 t=0 時(shí)有非零值，而其傅氏變換為 1，在頻域范圍內(nèi)是貫穿整個(gè)頻率軸的。反之亦然。 傅氏變換的這一不足給信號(hào)分析帶來(lái)諸多不便。 1946 年， Garbor 提出用窗函數(shù) g (x? )限制傅氏變換的范圍，得到短時(shí)傅氏變換 ： 1( , ) ( ) ( )2 jxS TF T f x g x e d x?? ? ?? ?? ?????? 13 其反變換為 ： 21( ) ( , ) ( )2 jxRf x S TF T g x e d d?? ? ? ? ????? 14 短時(shí)傅氏變換把時(shí)域信號(hào)變換為時(shí)頻域信號(hào)，是一種時(shí)頻分析方法，適當(dāng)選擇 g(x ? )可以把時(shí)頻平面均勻地劃分為柵格，獲得較好的時(shí)域或頻域局域特性。如圖 1 所示，時(shí)頻平面被窗函數(shù)均勻地分割成小的窗口，無(wú)論在時(shí)域還是頻域，窗口的大小都是均勻的。由于短時(shí)傅氏變換在全時(shí)頻平面內(nèi)的分辨率始終不變，所以根據(jù)不確定性原理 [29]： 14tf?? 15 不確定性原理限制了時(shí)頻能量的同時(shí)集中，短時(shí)傅氏變換只能或在時(shí)域或在頻域內(nèi)獲得局域特性，而不可能同時(shí)在時(shí)頻兩域內(nèi)均獲得好的局域特性。例如在分析奇異信號(hào) (一般為信號(hào)的高頻部分 )時(shí)，要求柵格的頻率間隔較小，根據(jù)不確定性原理，相應(yīng)的時(shí)間間隔則應(yīng)較大，即在時(shí)域內(nèi)應(yīng)有較多采樣點(diǎn)，這必然帶來(lái)樣本獲取難度、分析計(jì)算量大等問(wèn)題。由于信號(hào)處理領(lǐng)域經(jīng)常要分析信號(hào)的奇異性，因此 Garbor 變換仍不能很好地滿(mǎn)足要求 [27]。 圖 1 短時(shí)傅利葉變換 的時(shí)頻分辨率 4 Garbor 變換的不足在于其窗函數(shù)在變換過(guò)程中始終保持不變。小波變換克服了 Garbor 變換的不足，其基本思想是按一個(gè)確定函數(shù) ? (x)的伸縮平移系 ： , 1{ ( ) ( ) | , , 0 }||ab xbx a b R aaa?? ?? ? ? 16 把信號(hào)展開(kāi)。 1986 年， Meyer 構(gòu)造出了具有一定衰減性的光滑函數(shù) ψ(x)， 其二進(jìn)制伸縮平移系為 ： /2,{ ( ) 2 ( 2 ) | , }jjjk x x k j k Z????? ? ? 17 它構(gòu)成平方可積函數(shù)空間的規(guī)范正交基。圖 2 給出了小波變換對(duì)于時(shí)頻平面的分割情況?？梢钥闯?： 當(dāng)頻率的分辨率較高時(shí)，時(shí)域的分辨率較低 ； 而隨著頻率分辨率的降低，時(shí)域的分辨率則逐步提高。與短時(shí)傅氏變換時(shí)頻分辨率變化示意相對(duì)比明顯可以看出小波變換相對(duì)于短時(shí)傅氏變換的優(yōu)點(diǎn)，即隨頻率變化而改變自身的支撐域和中心頻率。 圖 2 小波變換的時(shí)頻分辨率 1988 年和 1989 年， Daubechies 和 Mallat 等人的工作使小波變換在理論上和實(shí)際應(yīng)用方面有了突破性進(jìn)展，并使之逐漸成為現(xiàn)代信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)熱門(mén)課題 [25]。1998 年 Sweldens 提出了單依托時(shí)間域構(gòu)造小波的 Lifting 方法并同 Daubechies 等一起用之于小波變換。 經(jīng)過(guò)近十年的發(fā)展，小波變換已逐漸成為信號(hào)分析領(lǐng)域的一個(gè)重要工具。小 波變換的基本特點(diǎn)是能進(jìn)行多尺度下的時(shí)頻分析，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)在不同尺度下分解，從分解結(jié)果中提取數(shù)據(jù)的特征，或通過(guò)對(duì)時(shí)頻分解結(jié)果處理并進(jìn)行重構(gòu)從而達(dá)到信號(hào)處理的目的。相對(duì)于傳統(tǒng)的傅氏變換，它具有以下特點(diǎn) ： 5 (1)可以 同時(shí)在多尺度下進(jìn)行信號(hào)分析 (2)在時(shí)、頻域可以同時(shí)具有較好的局域性 (3)對(duì)信號(hào)的局部突變較敏感 小波分析在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用情況 [14] 小波理論在電力 系統(tǒng)中的應(yīng)用研究主要分為以下倆個(gè)階段 第一階段： 1994 年 —— 1997 年 第二階段： 1998 年 —— 至今 在第一階段，主要是小波理論在電力系統(tǒng)領(lǐng)域中應(yīng)用的提出及其基于小波理論的電力系統(tǒng)中應(yīng)用的小規(guī)模研究。這一階段，國(guó)外有關(guān)小波的專(zhuān)著不斷的介紹到中國(guó)來(lái)，國(guó)際國(guó)內(nèi)的許多期刊和學(xué)報(bào)都陸續(xù)刊登了不少有關(guān)小波分析及其應(yīng)用的文章。 第二階段是小波理論在電力系統(tǒng) 領(lǐng)域中應(yīng)用的廣泛研究，在這一階段，在進(jìn)行理論研究的同時(shí)，也出現(xiàn)了很多應(yīng)用研究。 近年來(lái)，小波理論在電力系統(tǒng)中得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，其特點(diǎn)是理論與應(yīng)用同時(shí)進(jìn)行。在理論方面，主要是尋求最優(yōu)小波函數(shù)與快速算法；在應(yīng)用方面，則集中在電力系統(tǒng)故障信號(hào)分析與處理上，包括突變信號(hào)和故障診斷。 下面從幾個(gè)方面來(lái)敘述小波理論在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用情況。 (1)小波理論在電力設(shè)備狀態(tài)監(jiān)視中的應(yīng)用 在電力系統(tǒng)中，相當(dāng)一部分電氣故障都是由于不同原因所導(dǎo)致的絕緣劣化和損壞而引起的，而絕緣劣化和損壞，往往首先表現(xiàn)為絕緣內(nèi)部和表明局部放電 ，因此，通過(guò)監(jiān)視局部放電的性質(zhì)和強(qiáng)弱，可以了解絕緣損壞程度，從而判斷電力設(shè)備進(jìn)一步故障的可能性，做好預(yù)防和解決措施，大大減少電力設(shè)備的故障率。 (2)小波理論在微機(jī)保護(hù)中的應(yīng)用 小波理論在電力系統(tǒng)應(yīng)用的一個(gè)突出的領(lǐng)域，就是微機(jī)保護(hù)中的應(yīng)用，這主要是因?yàn)槲C(jī)保護(hù)集成了數(shù)字濾波、快速算法以及故障檢測(cè)與診斷等各個(gè)方面。因此小波理論在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用研究，在微機(jī)全面提高中得到了最完美的體現(xiàn)。 (3)小波理論在電能質(zhì)量中的應(yīng)用 小波理論在電能質(zhì)量方面的應(yīng)用包括檢測(cè)電網(wǎng)的電壓、電流、頻率是否超出規(guī)定的范圍、檢測(cè)電能質(zhì)量 擾動(dòng)以及對(duì)電能質(zhì)量數(shù)據(jù)壓縮等幾個(gè)方面。本文正是 6 研究小波理論 在 壓縮電力系統(tǒng)諧波引起的畸變信號(hào)數(shù)據(jù) 中的應(yīng)用 。 (4)小波理論在電力設(shè)備故障診斷中的應(yīng)用 在電力設(shè)備發(fā)生故障時(shí)，一般會(huì)伴有高次諧波、突變分量或是頻率的變化，應(yīng)用小波變換基本原理，對(duì)這些暫態(tài)信號(hào)進(jìn)行分析，可以做到對(duì)電力系統(tǒng)中主要設(shè)備包括發(fā)電機(jī)、電動(dòng)機(jī)、變壓器等的故障在線(xiàn)診斷。 (5)小波理論在負(fù)荷預(yù)測(cè)中的應(yīng)用 將小波變換與人工智能及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，可在電力系統(tǒng)負(fù)荷預(yù)測(cè)中得到很好的應(yīng)用。 7 第 2 章 濾 波器組及 小波分析理論基礎(chǔ) 濾波器組基礎(chǔ) 及雙通道數(shù)字信號(hào)處理 從時(shí)間上來(lái)考慮，濾波器組理論出現(xiàn)的要比連續(xù)小波變換來(lái)得晚，濾波器組理論與小波變換的聯(lián)系主要應(yīng)歸功與 Mallat 在八十年代后期所做的工作。數(shù)字信號(hào)及數(shù)字濾波器是較為人熟知的。數(shù)字濾波器在時(shí)域上是通過(guò)使用卷積的方法實(shí)現(xiàn)的，如一下式所 示： 10Nn n i iiy x h???? ? 21 其中 :x 為輸入信號(hào)， y為輸出信 號(hào)， h 為濾波器系數(shù)， N為濾波器系數(shù)的個(gè)數(shù)。卷積也可以用矩陣來(lái)描述，此時(shí)信號(hào)寫(xiě)為向量的形式，如式 22 所示 1 0 110121 0 1[]nnn n nnh h xh h xy y yh h x????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 22 上式中只表示了濾波器長(zhǎng)度為 2 的情況，矩陣中空白處表示 0。卷積矩陣是一個(gè)右循環(huán)矩陣，每一行均為前一行的右移。濾波器系數(shù)可由各種設(shè)計(jì)方法得到，不同的濾波器因而具有不同的性質(zhì)。對(duì)于低通和高通濾波器，過(guò)渡帶的陡度、通帶和阻帶的平直度是非常重要的設(shè)計(jì)要求和限制。 數(shù)字濾波器組是一 系列數(shù)字濾波器的組合，它把組成信號(hào)的各個(gè)頻率分量分 解成不同的子信號(hào)，每個(gè)子信號(hào)占有信號(hào)全部頻率范圍的一個(gè)子帶。這一系列濾波器的通帶合在一起覆蓋整個(gè)頻率軸，因而這些濾波器是互補(bǔ)的。一個(gè)低通濾波器和一個(gè)高通濾波器可以簡(jiǎn)單地構(gòu)成一個(gè)濾波器組，低通濾波器和高通濾波器的截止頻率均為頻帶寬度的一半。一個(gè)信號(hào)通過(guò)該濾波器組可以得到兩個(gè)新的信號(hào)，其一占有低半頻率范圍，其一占有高半頻率范圍。本文中只考慮兩帶濾波器組的情況，即濾波器組只具有一個(gè)低通濾波器和一個(gè)高通濾波器。濾波器組中低通和高通濾波器按不同條件設(shè)計(jì)可以獲得不同的 性質(zhì)，其中，兩通道正交鏡像濾波器組在數(shù)字信號(hào)處理中有著普遍應(yīng)用。 在實(shí)際應(yīng)用中，現(xiàn)實(shí)生活中模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)模數(shù)轉(zhuǎn)換后得到數(shù)字信號(hào)，這些數(shù) 字信號(hào)或存儲(chǔ)在一個(gè)容量有限的存儲(chǔ)介質(zhì)中以供日后使用或經(jīng)過(guò)一個(gè)有限帶寬的通道傳輸出去。數(shù)字信號(hào)壓縮處理方法漸漸被用于提高存儲(chǔ)或傳輸?shù)男?。基? 8 正交鏡像濾波器組的子帶編碼策略是一個(gè)常用的數(shù)字信號(hào)壓縮法，該方法利用信號(hào)能量在頻帶上的不規(guī)則分布通過(guò)在各頻率子帶上分解信號(hào)并按某種編碼策略處理子帶信號(hào)來(lái)有效實(shí)現(xiàn)對(duì)該信號(hào)的壓縮編碼。 圖 3 基本 L 帶子帶濾波策略 子帶編碼 的一個(gè)簡(jiǎn)化框圖如圖 3 所示。在該編碼策略中，從圖 3 中可以看出，輸人信號(hào) X[n]通過(guò)一個(gè) L帶分析濾波器組被分解成一系列相鄰頻帶上的窄帶信號(hào)，這些窄帶信號(hào)通過(guò)減采樣獲得子帶信號(hào)。接下來(lái)，對(duì)子帶信號(hào)可以進(jìn)行某種處理，以取得信號(hào)處理的某種效果。逆過(guò)程是 ： 每個(gè)經(jīng)過(guò)處理的子帶信號(hào)通過(guò)增采樣，再通過(guò)一個(gè) L 帶合成濾波器組，輸出結(jié)果為生成一個(gè)最初輸 入 信號(hào) X [n]的逼近信號(hào)。子帶編碼的目的是在分解與重構(gòu)之間做必要的壓縮處理操作。經(jīng)過(guò)子帶濾波器濾波后的信號(hào)較未做子帶濾波器濾波的信號(hào)更易于壓 縮編碼。 雙通道正交鏡像濾波器組的典型結(jié) 構(gòu)框圖如圖 4 所示，輸人信號(hào) X[n]首先通過(guò)一個(gè)兩帶分析濾波器組得到窄帶信號(hào) V0[n]及 V1[n]。該兩帶分析濾波器組由具有典型低通和高通頻率響應(yīng)的濾波器 H0(Z)和 H1(Z)組成。窄帶信號(hào) V0[n]及 V1[n]再按系數(shù) 2 減采樣得到子帶信號(hào) U0[n]及 U1[n]。上述過(guò)程為分解過(guò)程。逆過(guò)程即重構(gòu)過(guò)程則首先是子帶信號(hào) U0[n]及 U1[n]按系數(shù) 2 增采樣得到窄帶信號(hào)01[ ] [ ]V n V n及 ，再通過(guò)一個(gè)由具有低通和高通頻率響應(yīng)的濾波器 G0(Z)和 G1(Z)組成兩帶合成濾波器組并相加得到 重構(gòu)