【正文】 過渡可能借助于圖像語言，函數(shù)圖象可以不畫，但是不能不想。解決函數(shù)教學(xué)的重點和難點，都在于語言的掌握。為什么產(chǎn)生了特值法，產(chǎn)生了特殊函數(shù)法，往往就是回避函數(shù)的符號語言，但是其實這樣的教學(xué)實際上是回避了教學(xué)的本質(zhì)。到了高中階段，如果學(xué)生還沒有一種抽象的函數(shù)概念的話，到了大學(xué)怎么去學(xué)習(xí)？所以我覺得呢，這點是不能回避的。 從研究方法來看，我認(rèn)為可以從兩個途徑來研究函數(shù)。一個是從解析式研究，一個是從圖象研究。從解析式研 究，不是拿解析式去畫圖，有的解析式是畫不了圖的，而是要研究函數(shù)的性質(zhì)。這個性質(zhì)一開始要研究什么？要研究對稱性。因為首先要看函數(shù)整體，如果明明是個偶函數(shù)，還從負(fù)無窮到正無窮去研究它的單調(diào)性，那就顯得復(fù)雜了。所以一定要先研究對稱性，特別是研究奇偶性。如果具備，那再研究單調(diào)性，那就縮小了研究的范圍。還要研究函數(shù)的周期性，研究函數(shù)值的分布。最后畫示意圖，把這些性質(zhì)直觀地呈現(xiàn)出來。比如說 siny x x?? ，和 1yxx?? 這種 兩個初等函數(shù)相加而成的 函數(shù)，老師其實有的時候就教給學(xué)生圖象 組合的那種方法，當(dāng)然本質(zhì)是就是描點法， 但這 實際上是增加教學(xué)難度。研究函數(shù)的性質(zhì)，利用性質(zhì)的一些特征，去畫示意圖，就完全可以解決問題了，所以沒必要讓學(xué)生用描點法來畫復(fù)雜的函數(shù)圖象。 例題 1 已知函數(shù) 2 224 , 0( ) , ( 2 ) ( ) ,4 , 0x x xf x f a f a ax x x? ???? ? ? ?? ???? 則 的 取 值 范 圍 . 很多學(xué)生奮不顧身的就要往里代，討論一下 22 a? 方和 a 是正還是負(fù)，思維靈活 一點的呢，討論四次，要是不管不顧的呢， 可能就瞎代一個，上頭一個，下頭一個就完了。當(dāng)然那個也能做對，因為他實際上是對任何情況都是這樣的。這反映了學(xué)生 怎樣的思維呢？學(xué)生 缺乏研究函數(shù)性質(zhì)的意識。 學(xué)生還是以計算作為解決 數(shù)學(xué)問題的主要方法。其實如果學(xué)生有這種傾向，其實我們甚至可以就不提問題， 我們可以僅給出解析式， 問問學(xué)生，你能從這個解析式 得到 函數(shù) 的 什么性質(zhì)？有一學(xué)生說那我畫圖，可以。畫圖本身，給解析式畫圖，也是一種訓(xùn)練，畫出一個圖象，一看是單調(diào)遞增，那我們也可以問學(xué)生，如果不畫圖，你能不能研究出它的性質(zhì)。單調(diào)性你知道，有沒有奇偶性呢 ？學(xué)生會發(fā)現(xiàn)自變量相反時 ，函數(shù)值相反 ， 這個時候可能更比單純的解這道題有價值。那我們看一下這道題，從這個問題來看，首先，要用性質(zhì)來解決，所以要探索這個函數(shù)，特別是是跟單調(diào)性有關(guān)的性質(zhì)，畫圖是一種辦法。我們稍微改一下這個問題，就能逼著學(xué)生去分析它的奇偶性， 2(2 ) ( ) 0f a f a? ? ?怎么辦？要讓學(xué)生看到，我首先把這個式子變成 2(2 ) ( )f a f a? ? ? ，那這個負(fù)號如果能進(jìn)去，那當(dāng)然就可以用剛才的辦法。這個時候就需要研究它是不是奇函數(shù)。所以我覺得在函數(shù)解析式的教學(xué)中 ，老師的這個教學(xué)的思維的焦點，一定要明確。 例題 2 畫出函數(shù) xxeey ???? ? 的 示意圖。 這個函數(shù)解析式 源自 山東的 09 年左右的一道高考 選擇題，是給了一個解析式，給了四個圖。 學(xué)生首先要想到定義域、自變量的范圍、奇偶性。這是一個奇函數(shù)，但是單調(diào)性是個難點。如果學(xué)生上來就求導(dǎo)，那 必然要走向 很復(fù)雜的計算。所以我們也說這個化簡意識的可貴 ， 我們必須要要求學(xué)生能夠有這種化簡的意識，到處都是自變量，那為什么 不減少它，這是分式，完全可以做變形 ，所以上下同乘 xe ，然后再利用這個把分母湊出來，配出來，這樣的話， 只有 一個位置上有 x 。當(dāng)一個函數(shù)的解析式 化 到這個程度2 21 1xy e?? ?，就一個位置有自變量，其實也不用求了，對吧，因為 2xye? 也算是一個初等函數(shù)。利用 2xye? 的單調(diào)性 我們馬上就可以逐步的畫出 函數(shù)的圖象， 由于你已經(jīng)知道是奇函數(shù)了，你就只要看 y 軸右側(cè)了。 這里 也可以先問問學(xué)生，這個函數(shù)圖象分布在哪里，是依次向前都有，還是跟 x 軸有交點，還是僅在某一 象限， 這些都是很好的思維的素材。 例題 3 設(shè)函數(shù) 122 , 1() 1 lo g , 1x xfx xx?? ?? ? ???，則滿足 ( ) 2fx? 的 x 的取值范圍是 A． [ 1,2]? B． [0,2] C． [1, )?? D． [ , )x?? 像這道去年全國地方的高考題，是一個分段函數(shù)，其實這題誰都會做，也做不錯啊，但是我覺得這里面呢，就是老師的那種思維的導(dǎo)向要清楚 。 學(xué)生 會 怎么做呢？當(dāng) 1x? 的時候， 1( ) 2 2xfx ???，算出 x 的范圍 ， 然后呢 ， 2( ) 1 logf x x?? ，1x? 算出 x 的范圍，然后取并集。這樣的做法其實是把這個分段函數(shù)看成了兩個函數(shù)。沒有從 ()fx這個函數(shù)的整體去認(rèn)識這個函數(shù)的圖象，要研究的是 什么 呢？是 ()fx的性質(zhì)，而并不是算一個不等式。需要一個什么樣的性質(zhì)呢？單調(diào)性。對吧，而這個 2 是什么呢？顯然是 (0)f 。 我這個圖 是比較標(biāo)準(zhǔn)的一個圖形。其實如果你要從性質(zhì)的角度來看，上面是減，下面是減函數(shù)，然后由于 x=1 的時候是連續(xù)的，所以他就是一個 減 函數(shù)，一筆下來就完了，根本不用那個連接點跟段。而 2 是誰呢？是 (0)f ， 圖都不用畫。如果 這 是一個減函數(shù)， ( ) (0)f x f? 的話，那就是 0x? ，這題就 做完了 。 所以要讓我 們的學(xué)生 學(xué)會 分 析函數(shù)性 質(zhì) 。比 如 這個題 ：函數(shù)212l og , 0()log ( ), 0xxfxxx???? ????? ，這也 是一道高考題。 學(xué)生 會 把兩個圖象都畫出來，費了半天勁。 其實呢，他完全可以把這個解析式先 化簡， 22lo g , 0() lo g ( ), 0xxfx xx??? ?? ? ??。其實就馬上能發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)其實是一個奇函數(shù)。既然是奇函數(shù)的話 ，就可以利用對稱性幫助我們畫圖， 讓學(xué)生體會到研究函數(shù)性質(zhì)的價值在哪里。 當(dāng)問題是( ) ( )f a f a??，求 a 的范圍 時， 學(xué)生 總是 這邊 a ，那邊 a? 一起來想這個問題 ，那就很吃力了。如果知道這個是一個奇函數(shù)的話，馬上就化簡成一個符號了，( ) ( ), 2 ( ) 0f a f a f a? ? ?。 如果前面算一種解法的話，那我覺得 教師對 那種解法實際上是要持批判態(tài)度的 。我們應(yīng)該讓 學(xué)生感受到分析一個函數(shù)性質(zhì)，把一個分段函數(shù)看成一個整體函數(shù)的價值所在 。 所以我覺得老師有的時候一定要堅定自己的一些教師的想法。 那么如果拿到函數(shù)圖象怎么想？咱們不能講的天花亂墜，一個函數(shù) 題 講了那么種做法， 我們 就是 要 研究函數(shù)解析式， 與之前說的 完全一樣，為什么一樣？ 我們還是要研究，而不是算。所以 看到圖象 ， 肯定知道對稱性了，這是能看 出來的。你看到單調(diào)性，你不是看熱鬧，你是要看極值，看極值點，看 內(nèi)部的東西?？粗芷诟陕锸?的，是為了化簡用，不是為了算。 比如三次函數(shù) 32()f x ax bx cx d? ? ? ?， 有 兩種狀態(tài)，我們就可以問問學(xué)生。當(dāng)你看到這樣兩個圖象的時候，你對這個函數(shù)解析式的比如某些系數(shù)是不是就有認(rèn)識。讓學(xué)生知道，其實 ， 增減增，那是 0a? ； 減增減， 0a? 。這 其實是 源于導(dǎo)函數(shù)，第一個導(dǎo)函數(shù) 是 開 口 朝上拋物線，第二個開 口 朝下拋物線。有的時候我們就會發(fā)現(xiàn)，明明這個圖象是增減增，學(xué)生算出來的待定系數(shù) a 反而是負(fù)的，一點感覺都沒有。這就是學(xué)生沒有完全是一種處于計算，他對數(shù)學(xué)問題的理解，僅僅是那些數(shù)值而已，沒有 其它 的含義。 例題 4 32()f x ax bx cx d? ? ? ?的 圖象 如圖所示，則 b 的值一定（ ） A．等于 0 B．大于 0 C．小于 0 D．小于或等于 0 像類似這樣的問題吧， 學(xué)生還是可能會算 ，算的做法是什么呢？ (0) 0f ? ，(2) 0f ? ， ( 2) 0f ??， 然后 就開始算，其實這樣做是不科學(xué)的，因為 (2)f 和 ( 2)f ?的符號 并不能刻畫這個函數(shù)的單調(diào)性， 函數(shù) 極值不一定受它影響 ， 可能 (2)f 甚至是正的，極值根本沒改變 。 要看到什么呢？其實應(yīng)該看到這個函數(shù) 的兩個極值點，一個是負(fù)的一個是正的，一個 絕對值大，負(fù)的絕對值大，正的絕對值小 ， 甚至可以把導(dǎo)函數(shù)圖象畫出來。因為 a 是正的，導(dǎo)函數(shù) 是 開口朝上的拋物線 ， 所以只需要 找 b 和 a 的關(guān)系就行了，而要找 b 和 a 的關(guān)系，只要讓導(dǎo)函數(shù) 取 0 就行，那么可以用兩個根的關(guān)系就找到了，兩個和一個是負(fù)，一負(fù)根一正和，負(fù)根絕對值大嘛。 例題 5 已知函數(shù) ( ) cos ( )f x A x????的圖像如圖所示， 2()23f ? ??，則(0)f ? A． 23? B． 23 C． 12? D． 12 這道 高 考題非常好 ， 但是后來發(fā)現(xiàn)有的省市模仿這道題，就顯得不夠創(chuàng)新了，這個已經(jīng)很好的例子了。學(xué)生有一部分的同學(xué)是怎樣呢？他一看這個圖就想到，我 應(yīng)該 要算 ? ，算 ? ，算 A ，最后再算 (0)f 。這么去做這道題消耗的時間很大，很不合算，而實際上 即使 你平時做也不應(yīng)該這么想，還是應(yīng)該想什么呢？這個圖象的性質(zhì)是什么？他的性質(zhì)一方面從圖來看，一方面從解析式來看， 余弦型函數(shù)與 x 軸的 交點都是函數(shù)的零點 ， 說錯了，說零點沒意義，都是對稱中心。都是這個函數(shù)的對稱中心，而甚至 可以看出 ， 912x ?? 就是對稱軸。 還 可以算周期，周期 23? ，然后呢，我可以把 (0)f 這個自變量 0 移到圖象那邊去，移到 23? 。那么，既然已經(jīng)知道 2()23f ? ?? ，也就知道一個自變量等于函數(shù)值已經(jīng)知道了，那我就要知道 23? 和 2? ，這倆自變量是什么關(guān)系。因為中心對稱都設(shè)計到兩個自變量是否關(guān)于那個點橫坐標(biāo)對稱的問題，顯然，是以 712x ?? 為對稱。因為這個 23? 就是 812? ， 2? 不就是 612? ， 中間 正好就是 712? ， 從而得到 答案 23 。 總的來說， 函數(shù)的教學(xué)要突出函數(shù)的學(xué)科觀點，讓學(xué)生在我們的函數(shù)的教學(xué)過程中，能夠始終感受到兩個相互依賴的變量，其中一個變量的變化引起另外一個變量的變化 。 我們要引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)問題中的自變量的確定及如何影響函數(shù)的因變量的變化的，讓學(xué)生明確函數(shù)的性質(zhì)都是由函數(shù)的自變量的變化引起的，也可以說函數(shù)的性質(zhì)都是針對函數(shù)的自變量的 。 3. 解析幾何 部分知識的思維特征 我覺得解析幾何 部分知識 挺好的，我感觸挺深的，所以 一定要跟老師們分享 。 我先從橢圓的幾何性質(zhì) 這節(jié)課談起 。 你看這個老師很年輕，大概是四年前做的一節(jié)課，這是他 的學(xué)案 ，彩色字是我當(dāng)時筆記的。他說，首先拿出預(yù)習(xí)中用描點法畫出橢圓 22125 16xy??所示的圖形，同時呢，計算機給出作圖