【正文】 叉（異面） 同名投影互相平行。 同名投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，且符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。 同名投影可能相交，但 “交點(diǎn) ”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。 “交點(diǎn) ”是兩直線上一對(duì)重影點(diǎn)的投影。返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)五、相互垂直的兩直線的投影特性⒈ 兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，在該 投影面上的投影反映直角。⒉ 兩直線中有一條平行于某一投影面時(shí)， 在該投影面上的投影反映直角。⒊ 兩直線均為一般位置直線時(shí)， 在三個(gè)投影面上的投影都不 反映直角。直角定理返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè) 平面的投影一、 平面的表示法●●●●●●abca?b?c?不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)●●●●●●abca?b?c?直線及線外一點(diǎn)abca?b?c?●●●●●●d●d?●兩平行直線abca?b?c?●●●●●●兩相交直線●●●●●●abca?b?c?平面圖形返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)二、平面的投影特性平行 垂直 傾斜投 影 特 性★ 平面平行投影面 投影就把實(shí)形現(xiàn)★ 平面垂直投影面 投影積聚成直線　★ 平面傾斜投影面 投影類似原平面實(shí)形性類似性積聚性⒈ 平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)⒉ 平面在三投影面體系中的投影特性 平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面 投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜 正垂面 側(cè)垂面 鉛垂面 正平面 側(cè)平面 水平面返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)abca? c?b?c?b?a?⒈ 投影面垂直面類似性 類似性積聚性鉛垂面投影特性： 在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。 另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。為什么？γβ是什么位置的平面？返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)a? b? c? a? b?c?abc⒉ 投影面平行面積聚性 積聚性實(shí)形性 水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。 另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)a?b?c?a?c?b?abc⒊ 一般位置平面三個(gè)投影都類似。投影特性：返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)三、平面上的直線和點(diǎn)判斷直線在平面內(nèi)的方法 定 理 一若一直線過(guò)平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。定 理 二若一直線過(guò)平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。⒈ 平面上取任意直線返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)abcb?c?a?abcb?c?a?d?mnn?m?d例 1：已知平面由直線 AB、 AC所確定，試 在平面內(nèi)任作一條直線。解法一 解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一有多少解？有無(wú)數(shù)解。返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)例 2：在平面 ABC內(nèi)作一條水平線，使其到 H面的距 離為 10mm。n?m?nm10 c?a?b?cab 唯一解！有多少解？返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)⒉ 平面上取點(diǎn) 先找出過(guò)此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例 1：已知 K點(diǎn)在平面 ABC上，求 K點(diǎn)的水平投影。b①acc?a?k?b?●k● 面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線②●abca?b?k?c?d?k● d利用平面的積聚性求解 通過(guò)在面內(nèi)作輔助線求解返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)bckada?d?b?c?ada?d?b?c?k?bc例 2：已知 AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形 ABCD的水平投影。解法一 解法二返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè) 幾何元素的相對(duì)位置相對(duì)位置包括 平行 、 相交 和 垂直。一、平行問(wèn)題 直線與平面平行 平面與平面平行包括⒈ 直線與平面平行定理： 若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)n?●●a?c?b?m?abc mn例 1：過(guò) M點(diǎn)作直線 MN平行于平面 ABC。有無(wú)數(shù)解有多少解？返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)正平線例 2：過(guò) M點(diǎn)作直線 MN平行于 V面和平面 ABC。c?●●b?a? m?abcm n唯一解n?返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)⒉ 兩平面平行① 若一平面上的 兩相交直線 對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的 兩相交直線 ，則這兩平面相互平行。② 若兩 投影面垂直面相互平行，則它們 具有積聚性 的那組投影必相互平行。f?h?a bcdef ha?b?c?d?e?c?f?b?d?e?a?abcd ef返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)二、相交問(wèn)題直線與平面相交平面與平面相交⒈ 直線與平面相交 直線與平面相交，其 交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。要討論的問(wèn)題：● 求 直線與平面的 交點(diǎn)。 ● 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即 判別可 見(jiàn)性。 我們只討論直線與平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)a bcmnc?n?b?a?m?⑴ 平面為特殊位置例：求直線 MN與平面 ABC的交點(diǎn) K并判別可見(jiàn)性?？臻g及投影分析 平面 ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與 mn的交點(diǎn)即為 K點(diǎn)的水平投影。① 求交點(diǎn)② 判別可見(jiàn)性由水平投影可知， KN段在平面前，故正面投影上 k?n?為可見(jiàn)。還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。k?●1?(2?)作 圖k●●2●1●返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)km(n)b●m?n?c?b?a?ac⑵ 直線為特殊位置空間及投影分析 直線 MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn) K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。① 求交點(diǎn)② 判別可見(jiàn)性 點(diǎn) Ⅰ 位于平面上，在前；點(diǎn) Ⅱ 位于 MN上，在后。故 k? 2?為不可見(jiàn)。1?(2?)k?●21●●作圖 用面上取點(diǎn)法返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)⒉ 兩平面相交 兩平面相交其交線為直線， 交線是兩平面的共有線， 同時(shí) 交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問(wèn)題：① 求 兩平面的 交線方法： ⑴ 確定兩平面的 兩個(gè)共有點(diǎn)。⑵ 確定 一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。 只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。② 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見(jiàn)性。返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)可通過(guò)正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefc?f?d?b? e?a?m?(n?)空間及投影分析 平面 ABC與 DEF都為 正垂面 ，它們的正面投影都積聚成直線。 交線必為一條正垂線 ， 只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影。① 求交線② 判別可見(jiàn)性作 圖 從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見(jiàn)。n●m●●能否不用重影點(diǎn)判別？ 能 !如何判別？例：求兩平面的交線MN并判別可見(jiàn)性。⑴返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)b?c?f? h?a?e?abcefh1(2)空間及投影分析 平面 EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。 a?b?與 e?f?的交點(diǎn) m? 、 b? c?與 f ?h?的交點(diǎn)n?即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故 m?n?即 MN的正面投影 。① 求交線② 判別可見(jiàn)性點(diǎn) Ⅰ 在 FH上，點(diǎn) Ⅱ 在 BC上， 點(diǎn) Ⅰ 在上，點(diǎn) Ⅱ 在下，故fh可見(jiàn)， n2不可見(jiàn)。作 圖m●●n?●2?●n●m?● 1?●⑵返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)c?d?e?f?a?b?abcdef⑶ 投影分析 N點(diǎn)的水平投影 n位于 Δdef的外面，說(shuō)明點(diǎn) N位于 ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于 ΔDEF這個(gè)圖形內(nèi)。 所以 ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為 MK。n●n?●m?●k●m●k?●互交返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)? 小 結(jié)重點(diǎn)掌握：二、如何在平面上確定直線和點(diǎn)。三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面 內(nèi)的 兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行。四、直線與平面的交點(diǎn)及平面與平面的交線是 兩者的共有點(diǎn)或共有線。解題思路：★ 空間及投影分析 目的是找出交點(diǎn)或交線的已知投影?！?判別可見(jiàn)性 尤其是 如何利用重影點(diǎn)判別。一、平面的投影特性， 尤其是特殊位置平面的 投影特性。返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)要 點(diǎn)一、各種位置平面的投影特性⒈ 一般位置平面⒉ 投影面垂直面⒊ 投影面平行面三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類似多邊形 —— 類似性 。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線 —— 積聚性 。另外兩個(gè)投影類似。 在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形 —— 實(shí)形性 。 另外兩個(gè)投影積聚為直線。 返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)二、平面上的點(diǎn)與直線⒈ 平面上的點(diǎn)一定位于平面內(nèi)的某條直線上⒉ 平面上的直線⑴ 過(guò)平面上的兩個(gè)點(diǎn)。 ⑵ 過(guò)平面上的一點(diǎn)并平行于該平面上的某條直線。三、平行問(wèn)題⒈ 直線與平面平行 直線平行于平面內(nèi)的一條直線。⒉ 兩平面平行 必須是一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線對(duì)應(yīng)平行 于另一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線。返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)四、相交問(wèn)題⒈ 求直線與平面的交點(diǎn)的方法⑴ 一般位置直線與特殊位置平面求交點(diǎn)，利用 交點(diǎn)的共有性和平面的積聚性直接求解。⑵ 投影面垂直線與一般位置平面求交點(diǎn)，利用 交點(diǎn)的共有性和直線的積聚性，采取平面上 取點(diǎn)的方法求解。⒉ 求兩平面的交線的方法⑴ 兩特殊位置平面相交