20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學422《最大值、最小值問題第2課時》-文庫吧
2025-10-14 08:43 本頁面
【正文】 － 2π r22π r， 又圓柱的體積 V ＝ π r2h ＝r2( S － 2π r2) ＝rS － 2π r32， V ′ ＝S － 6π r22， 令 V ′ ＝ 0 得 S ＝ 6π r2， ∴ h ＝ 2 r ， 又 r ＝S6π， ∴ h ＝ 2S6π＝6π S3π. 即當圓柱的容積 V 最大時，圓柱的高 h 為6π S3π. [方法規(guī)律總結(jié) ] 般步驟： (1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，找出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式 y＝ f(x)； (2)求函數(shù)的導數(shù) f ′(x)，解方程 f ′(x)＝ 0； (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點的函數(shù)值大小，最大 (小 )者為最大 (小 )值； (4)把所得數(shù)學結(jié)論回歸到數(shù)學問題中，看是否符合實際情況并下結(jié)論． 其基本流程是 2．面積、體積 (容積 )最大，周長最短，距離最小等實際幾何問題，求解時先設(shè)出恰當?shù)淖兞?，將待求解最值的問題表示為變量的函數(shù)，再按函數(shù)求最值的方法求解，最后檢驗． 設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為 V ，則其表面積最小時，底面邊長為 ( ) A.3V B ．32 V C.34 V D ． 23V [ 答案 ] C [ 解析 ] 如圖，設(shè)底面邊長為 x ( x 0 ) ， 則底面積 S ＝34x2， ∴ h ＝VS＝4 V3 x2. S 表 ＝ x 4 V3 x2 3 ＋34x2 2 ＝4 3 Vx＋32x2， S ′ 表 ＝ 3 x －4 3 Vx2 ，令 S ′ 表 ＝ 0 得 x ＝34 V ， 因為 S 表 只有一個極值，故 x ＝34 V 為最小值點 . 利潤最大問題 某集團為了獲得更大的利益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷 ． 經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費 t ( 百萬元 ) 可增加銷售額約為－ t2＋ 5 t ( 百萬元 )(0 ≤ t ≤ 5) ( 1 ) 若該公司將當年的廣告費控制在三百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費，才能使該公司由此獲得的收益最大？ ( 2 ) 現(xiàn)該公司準備共投入 300 萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造 ． 經(jīng)預(yù)測，每投入技術(shù)改造費 x ( 百萬元 ) ，可增加的銷售額約為－13x3＋ x2＋ 3 x ( 百萬元 ) ． 請設(shè)計一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大？ ( 注：收益＝銷售額－投入 ) ． [ 解析 ] ( 1 ) 設(shè)投入 t ( 百萬元 ) 的廣告費后增加的收益為f ( t )( 百萬元 ) ，則有 f ( t ) ＝ ( － t2＋ 5 t ) － t ＝－ t2＋ 4 t ＝－ ( t － 2)2＋ 4 (0 ≤ t ≤ 3) ， ∴ 當 t ＝ 2 百萬元時， f ( t ) 取得最大值 4 百 萬元 ． 即投入 2百萬元的廣告費時，該公司由此獲
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