【正文】 個(gè)，它的數(shù)值越小越好，這個(gè)試驗(yàn)有 4個(gè)因素，其中因素 C是 2水平的，其余 3個(gè)因素都是 3水平的，試安排試驗(yàn)。解：我們從第 第 2兩個(gè)水平中選一個(gè)水平讓它重復(fù)一次作為第 3水平，這就叫虛擬水平。一般應(yīng)根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取一個(gè)較好的水平。第三節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)第三節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)分析結(jié)果見(jiàn)下表。第三節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)第三節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)總結(jié)：擬水平法是將水平少的因素歸入水平數(shù)多的正交表中的一種處理問(wèn)題的方法。在沒(méi)有合適的混合水平的正交表可用時(shí)，擬水平法是一種比較好的處理多因素混合水平試驗(yàn)的方法。它不僅可以對(duì)一個(gè)因素虛擬水平，也可以對(duì)多個(gè)因素虛擬水平。第三節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)第三節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)什么是交互作用：在多因素試驗(yàn)中，各因素不僅各自獨(dú)立地在起作用，而且各因素還經(jīng)常聯(lián)合起來(lái)起作用。也就是說(shuō)，不僅各個(gè)因素的水平改變時(shí)對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有影響，而且各因素的聯(lián)合搭配對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)也有影響。這后一種影響就叫做因素的交互作用。因素 A和因素B的交互作用記為 A X B.第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì) 單個(gè)單個(gè) 因子因子 的影的影 響響 與其與其 交互作用交互作用 的影的影 響響 比較比較 30 m50Kg 磷磷25 m50Kg 鉀鉀20kg 磷磷30kg 鉀鉀40 m交互作用交互作用 = 總總 效果效果 (20kg 磷的效果磷的效果 + 30kg 鉀鉀 的效果的效果 )交互作用表（ 以正交表 L8(27)為例）：用正交表安排有交互作用的試驗(yàn)時(shí)，我們把兩個(gè)因素的交互作用當(dāng)成一個(gè)新的因素來(lái)看，讓它占有一列，叫交互作用列。第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)例 6： (水平數(shù)相同 )我們用一個(gè) 3因素 2水平的有交互作用的例子來(lái)說(shuō)明某產(chǎn)品的產(chǎn)量取決于 3個(gè)因素 A， B， C， 每個(gè)因素都有兩個(gè)水平。每?jī)蓚€(gè)因素之間都有交互作用，試驗(yàn)指標(biāo)為產(chǎn)量，越高越好。具體如下：第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)解：這是 3因素 2水平的試驗(yàn)。 3個(gè)因素 A, B, C要占 3列，它們之間的交互作用 A x B, B x C, A x C 又占 3列。可用正交表 L8(27).第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)分析：從極差大小看，影響最大的因素是 C， 以 2水平為好；其次是AxB， 以 2水平為好，第 3是因素 A， 以 1水平為好，第 4是因素 B以 1水平為好。列出 A和 B進(jìn)行組合的幾種效果表：從此表可知， A和 B的最佳組合為 A1B2。AxC 和 BxC的極差很小，對(duì)試驗(yàn)的影響很小，忽略不計(jì)。綜合分析，最好的方案應(yīng)是 A1B2C2，這與 試驗(yàn) 4相吻合 。第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)作作 業(yè)業(yè) 要要 求求1. 按照正交試驗(yàn) (直觀分析法 )的原理，解決你實(shí)際工作中的一個(gè)問(wèn)題，并總結(jié)成實(shí)驗(yàn)分析報(bào)告。2. 補(bǔ)充作業(yè) (另附 )第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析第二講：方差分析第二講：方差分析 （（ ANOVA））第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出先看一個(gè)例子：考察溫度對(duì)某一化工廠產(chǎn)品的得率的影響，選了五種不同的溫度，同一溫度做了三次試驗(yàn)，測(cè)得結(jié)果如下：要分析溫度的變化對(duì)得率的影響總平均得率總平均得率 =%第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出從平均得率來(lái)看，溫度對(duì)得率的影響 ?1) 同一溫度下得率并不完全一樣，產(chǎn)生這種差異的原因是由于試驗(yàn)過(guò)程中各種偶然性因素的干擾及測(cè)量誤差等所致，這一類誤差統(tǒng)稱為試驗(yàn)誤差；2) 兩 種溫度的得率在不同的試驗(yàn)中的傾向有所差別。如 65oC 與 70oC相比較，第一次 65oC比 70oC 好，而后二次 70oC比65oC 好。產(chǎn)生這種矛盾的現(xiàn)象也是由于試驗(yàn)誤差的干擾。由于試驗(yàn)誤差的存在，對(duì)于不同溫度下得率的差異自然要提出疑問(wèn)，這差異是試驗(yàn)誤差造成的，還是溫度的影響呢 ?第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出1) 由于溫度的不同引起得率的差異叫做條件變差； 例中的全部 15個(gè)數(shù)據(jù)，參差不齊，它們的差異叫做總變差(或總離差 )。產(chǎn)生總變差的原因一是試驗(yàn)誤差，一是條件變差。2) 方差分析解決這類問(wèn)題的思想是：a. 由數(shù)據(jù)的總變差中分出試驗(yàn)誤差和條件變差，并賦予它們的數(shù)量表示；b. 用條件變差和試驗(yàn)誤差在一定意義下進(jìn)行比較，如兩者相差不大，說(shuō)明條件的變化對(duì)指標(biāo)影響不大；反之，則說(shuō)明條件的變化影響是很大的，不可忽視；c. 選擇較好的工藝條件或確定進(jìn)一步試驗(yàn)的方向；第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出變差的數(shù)量表示：有 n個(gè)參差不齊的數(shù)據(jù) x1, x2, …, x n, 它們之間的差異稱為變差。如何給變差一個(gè)數(shù)量表示呢 ?1) 一個(gè)最直觀的想法是用這 n個(gè)數(shù)中最大值與最小值之差，即極差來(lái)表達(dá)，用 R記之；2) 變差平方和，以 S記之。S是每個(gè)數(shù)據(jù)離平均值有多遠(yuǎn)的一個(gè)測(cè)度，它越大表示數(shù)據(jù)間的差異越大。其中其中第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出對(duì)變差平方和的進(jìn)一步討論：例：測(cè)得某高爐的六爐鐵水含碳量為 : ， ， ， ， ，求其變差平方和。第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出對(duì)變差平方和的進(jìn)一步討論 (2)：我們看到 S的計(jì)算是比較麻煩的，原因是計(jì)算 x時(shí)有效位數(shù)增加了因而計(jì)算平方時(shí)工作量就大大增加。另外，在計(jì)算 x時(shí)由于除不盡而四舍五入，在計(jì)算 S時(shí)，累計(jì)誤差較大。為此常用以下公式 :對(duì)于前面的例子對(duì)于前面的例子第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出自由度的提出：例 2：在上例的基礎(chǔ)上在同樣的工藝條件下又測(cè)了四爐鐵水，它們是： , , , , 加上原來(lái)的六爐共十爐，求其變方和。第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出自由度的提出 (2)：平均數(shù)與過(guò)去的結(jié)果是相近的，但平方和是顯著地變大了。我們要設(shè)法消除數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的多少給平方和帶來(lái)的影響。一個(gè)直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，但從數(shù)學(xué)理論上推知這不是一個(gè)最好的辦法，而應(yīng)把項(xiàng)數(shù)加以修正，這個(gè)修正的數(shù)就叫做自由度。第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出自由度的提出 (3)：設(shè)有 n個(gè)數(shù) y1, y2, … , y n, 它們的平方和 的自由度是多少呢 ? 這就看 {yi} 之間有沒(méi)有線性約束關(guān)系，如果有 m個(gè) (0mn)線性約束方程 a11y1+a12y2+… +a 1nyn = 0 a21y1+a22y2+… +a 2nyn = 0 … am1y1+am2y2+… +a mnyn = 0并且這 m個(gè)方程相互獨(dú)立，即方程系數(shù)矩陣的秩等于 m, 則 S的自由度是 n m.第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出自由度的提出 (4)：根據(jù)這個(gè)定義，如令 yi = xi x (i=1, 2, … , n)則顯然 {yi}之間有一個(gè)線性約束關(guān)系，即即 m = 1, a11 = a12 = … = a 1n = 1所以變差平方和的自由度 = n m = n 1第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出均方的概念：平均平方和 (簡(jiǎn)稱均方 )等于變差平方和除以相應(yīng)的自由度 f.平均平方和以 MS表示，它的開(kāi)方叫做均方差對(duì)例 MS = , 均方差為 對(duì)例 MS = ，均方差為 我們看到六爐和十爐的 MS是很相近的，這與工藝條件相同是吻合的，說(shuō)明用 MS反映波動(dòng)的大小是更為合理的。假設(shè)：?jiǎn)我蛩?A有 a個(gè)水平 A1， A2, … … , A a，在水平 Ai (i=1, 2, … … , a) 下，進(jìn)行ni次獨(dú)立試驗(yàn)，得到試驗(yàn)指標(biāo)的觀察值列于下表：我們假定在各個(gè)水平 Ai下的樣本來(lái)自具有相同方差 σ2，均值分別為 μi的正態(tài)總體 Xi~N(μi , σ2 )，其中 μi , σ2均為未知，并且不同水平 Ai下的樣本之間相互獨(dú)立。第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析總離差平方和的分解 :記在水平 Ai 下的樣本均值為樣本數(shù)據(jù)的總平均值為總離差平方和為將 ST改寫并分解得第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析總離差平方和的分解 (2):上面展開(kāi)式中的第三項(xiàng)為 0若記 SA= SE=則有： ST = SA + SEST表示全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)與總平均值之間的差異SA表示在 Ai水平下的樣本均值與總平均值之間的差異 , 是組間差SE表示在 Ai水平下的樣本均值與樣本值之間的差異 , 是組內(nèi)差， 它是由隨機(jī)誤差引起的。第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析自由度的概念 :在實(shí)際計(jì)算中，我們發(fā)現(xiàn)在同樣的波動(dòng)程度下，數(shù)據(jù)多的平方和要大于數(shù)據(jù)少的平方和，因此僅用平方和來(lái)反映波動(dòng)的大小還是不夠的。我們要設(shè)法消去數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的多少給平方和帶來(lái)的影響。為此引入了自由度的概念。一個(gè)直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，但應(yīng)把項(xiàng)數(shù)加以修正，這個(gè)修正的數(shù)就叫自由度。ST的自由度為 ( n 1)。SA的自由度為 ( a 1)。SE的自由度為 ( n a)。均方 :MSA = SA/ (a1)。 MSE = SE/ (na)第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析F檢驗(yàn)法：統(tǒng)計(jì)量 F = MSA/MSE ~ F (a 1, n a) ， 對(duì)于給出的 α， 查出 Fα(a 1, n a)的值， 由樣本計(jì)算出 SA和 SE， 從而算出 F值。從而有如下判斷：若 F Fα (a 1, n a)， 則說(shuō)明試驗(yàn)條件的變化對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；若 F Fα(a 1, n a)， 則說(shuō)明試驗(yàn)條件的變化對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無(wú)顯著影響；為了方便計(jì)算，我們采用下面的簡(jiǎn)便計(jì)算公式：記 i= 1, 2, … … , a, 則有第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析方差分析表 :第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析例 1： (單因素的方差分析 )人造纖維的抗拉強(qiáng)度是否受摻入其中的棉花的百分比的影響是有疑問(wèn)的?，F(xiàn)確定棉花百分比的 5個(gè)水平 : 15%, 20%, 25%, 30%, 35%。 每個(gè)水平中測(cè) 5個(gè)抗拉強(qiáng)度的值，列于下表。問(wèn)：抗拉強(qiáng)度是否受摻入棉花百分比的影響 (α＝ )?第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析解 : a = 5, ni = 5 (i = 1, 2, … … , 5), n = 25ST, SA, SE的自由度分別為 24， 4， 20第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析解 (2):已給出 α=， 查表得 Fα(a1, na)=(4,20)= 這里 F==(4, 20)說(shuō)明棉花的百分比對(duì)人造纖維的抗拉強(qiáng)度有影響。第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析無(wú)交互作用的方差分析 :設(shè)兩因素 A， B， A有 a個(gè)水平 A1， A2, … … , A a， B有 b個(gè)水平， B1， B2, … …, B b, 在每一個(gè)組合水平 (Ai, Bj)下，進(jìn)行一次無(wú)重復(fù)試驗(yàn)，得到試驗(yàn)指標(biāo)的觀察值列于下表：設(shè) Xij~N(μij , σ2 )，各 xij相互獨(dú)立。第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析總離差平方和的分解 :記在水平 Ai 下的樣本均值為記在水平 Bj 下的樣本均值為樣本數(shù)據(jù)的總平均值為總離差平方和為將 ST改寫并分解得記為 ST = SA (效應(yīng)平方和 )+ SB (效應(yīng)平方和 )+ SE (誤差平方和 )第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析自由度 :ST的自由度為 ( ab 1)。SA的自由度為 ( a 1)。SB的自由度為 ( b 1)。SE的自由度為 ( a 1)(b1)。均方 :第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析F檢驗(yàn)法 :統(tǒng)計(jì)量對(duì)于給出的 α， 查出 Fα(a 1, (a 1)(b1)), Fα(b 1, (a 1)(b1))的值， 由樣本計(jì)算出 F1, F2值。從而有如下判斷：若 F 1 Fα (a 1, (a1)(b1))， 則說(shuō)明因素 A的變化對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；若 F2 Fα (b 1, (a1)(