武科大matlab仿真第七章系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)及其仿真-文庫(kù)吧
2025-01-06 08:14 本頁(yè)面
【正文】 術(shù) 仿真算法 數(shù)值積分的幾個(gè)算法 ? 龍格 庫(kù)塔法 ? 龍格 庫(kù)塔法的基本思想 ? 歐拉算法的精度較低 ， 主要是其微分方程解 y 的 Taylor 展開(kāi)式所取的項(xiàng)數(shù)太少 。 顯然為了提高計(jì)算精度 ， 應(yīng)當(dāng)取泰勒公式 （ 3） 更高階項(xiàng) 。 ? 雖然增加高階項(xiàng)可提高計(jì)算精度 ， 但也同時(shí)帶來(lái)了需要計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)的困難 。 龍格 庫(kù)塔法 的關(guān)鍵是利用低階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的曲線去擬合含有高階導(dǎo)數(shù)的曲線 ， 從而避免了計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題 。 )3(39。 3)3(!312)2(!211 ??????? kkkkk hyhyhyyy第七章 系 統(tǒng)時(shí)間響應(yīng) 及其仿 真 仿真技術(shù) 仿真算法 數(shù)值積分的幾個(gè)算法 ? 龍格 庫(kù)塔法 ? 二階龍格 庫(kù)塔 （ RK） 法 取 (3)式的前三項(xiàng) ， 則有 )3(39。 3)3(!312)2(!211 ??????? kkkkk hyhyhyyy ? ? )7(),(),(39。2212)2(211hytfythfyhyhyyymyfmmmtfmmmmmmm????????????設(shè)原微分方程 (1)式解具有以下形式 : )8()(),(),(2211112121????????????? KaKahyyhKbyhbtfKytfKmmmmmm式中， a1， a2， b1， b2為待定系數(shù)。 ),(),()2( ytfdtdyytfdtdy??第七章 系 統(tǒng)時(shí)間響應(yīng) 及其仿 真 仿真技術(shù) ? ? )7(),(),( 2211 hytfythfyy myfmmmtfmmmm ????? ????)8()(),(),(2211112121????????????? KaKahyyhKbyhbtfKytfKmmmmmm 將 (8)式中 K2按二元函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù) ， 并取前三項(xiàng) ? ? )9(),(),(1211212myfmtfmmmyfmtfmmKbbhytfhKbhbytfK??????????????將 K1， K2代入 (8)式： )10(]),([),()(]),(),([),(21222121211myfmmmtfmmmmyfmmmtfmmmmmmytfbbhaythfaayythfbhbytfhaythfayy???????????????????比較 (610)、 (67)式： )11(2/12/11221221?????????babaaa第七章 系 統(tǒng)時(shí)間響應(yīng) 及其仿 真 仿真技術(shù) 顯然由 (11)式并不能唯一確定 a1,a2,b1,b2，因?yàn)橹挥腥齻€(gè)方程 。 因此對(duì)于同一種算法可以有不同的表現(xiàn)形式 。 ? 【 說(shuō)明 】 由于該算法只取到泰勒展開(kāi)式的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ， 所以稱為二階龍格 庫(kù)塔法 。 但由 (8)~(12)式可知 ， 算法并沒(méi)有用 y的二階導(dǎo)數(shù) 。 若設(shè) a1=a2，則 ??? ?? ?? 1 2/12121bbaa即二階 RK法公式為 )12()(2),(),(211121??????????????? KKhyyhKyhtfKytfKmmmmmm)11(2/12/11221221????????babaaa第七章 系 統(tǒng)時(shí)間響應(yīng) 及其仿 真 仿真技術(shù) 仿真算法 數(shù)值積分的幾個(gè)算法 ? 龍格 庫(kù)塔法 ? 龍格 庫(kù)塔 （ RK） 法的一般形式 )13(,2,1),(1111?????????????????????riKbyhatfKKhyyijjijmimiiriimm??式中 ， ?i為待定權(quán)系數(shù) ， ai,bij為待定系數(shù) ， r為使用 Ki的個(gè)數(shù) (即級(jí)數(shù) )，Ki為所取各點(diǎn)導(dǎo)數(shù) f的值 。 Ki的個(gè)數(shù)與 yk+1泰勒展開(kāi)式所取的項(xiàng)數(shù)有關(guān)(即 RK算法的階數(shù) )， 同時(shí)還與計(jì)算區(qū)間內(nèi)所取導(dǎo)數(shù)值的點(diǎn)數(shù)有關(guān) 。 第七章 系 統(tǒng)時(shí)間響應(yīng) 及其仿 真 仿真技術(shù) 仿真算法 數(shù)值積分的幾個(gè)算法 ? 龍格 庫(kù)塔法 ? 四階 RK公式 四階 RK公式用到了 y的泰勒展開(kāi)式的四階導(dǎo)數(shù) 。 在 RK算法的一般公式 （ 13） 中 ， 取 r=4可得： ? ?)14(),(),(),(),(223422123121221432161?????????????????????????hKyhtfKhKytfKhKytfKytfKKKKKyymmmhmmhmmmhmm 由于 (14)式在同級(jí)的 RK算法中 ， 計(jì)算精度較高 ， 計(jì)算量較少 ， 而在系統(tǒng)仿真的數(shù)值積分中應(yīng)用十分廣泛 。 稱之為四階四級(jí) RK公式 。
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