【正文】 ?QS PAP ?)( nmPAP /)( ??1)(0 ?? AP 1?）（ SP 0?）（ ?P2．概率的統(tǒng)計(jì)定義 定義：在同一條件下進(jìn)行 n 次重復(fù)試驗(yàn)，其中事件 A出現(xiàn) m 次，事件 A的頻率 m／ n隨試驗(yàn)次數(shù)的變化穩(wěn)定在某一個(gè)數(shù)值 P，則定義事件 A的概率為 P，記為 一般，數(shù)值 P很難得到準(zhǔn)確值，因此，實(shí)際上當(dāng) n 充分大時(shí)，可以用事件 A的頻率作為事件 A的概率的近似值，即： 由定義可以看出事件的概率與頻率一樣，同樣有下列幾個(gè)性質(zhì)： 3．概率的古典定義 定義：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，若： ①只有有限個(gè)可能的結(jié)果（基本事件）； ②每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)都是等可能的。 則稱這樣的隨機(jī)現(xiàn)象模型為古典概率。 在古典概率中，如果基本事件的總數(shù)是 n，而且事件 A包含了其中的 m個(gè)，則事件 A的概率定義為： 基本事件總數(shù)中所包含的基本事件數(shù)）（ AnmAP ?? / 拋擲一枚硬幣，求出現(xiàn)正面的概率，就屬于古典概率模型，古典概率 不需要 通過(guò)做試驗(yàn)來(lái)統(tǒng)計(jì)求算。 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，由骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)還是偶數(shù)來(lái)決定球賽的發(fā)球權(quán)，公平嗎？ 同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，由兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)還是偶數(shù)來(lái)決定球賽的發(fā)球權(quán)，公平嗎？ 均勻的骰子有 6面，分別是 6，故“拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的基本事件總數(shù)是 6個(gè)。 “拋擲一枚骰子出現(xiàn)奇數(shù)”這一事件 A含了 3個(gè)基本事件，即出現(xiàn) 5點(diǎn)，故： 出現(xiàn)奇數(shù)的概率為： 3/6； 出現(xiàn)偶數(shù)的概率也是 3/6。 所以拋擲一枚骰子以奇 /偶數(shù)決定發(fā)球權(quán)是公平的。 公平性決定于出現(xiàn)奇數(shù)還是偶數(shù)的概率： 擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)這兩個(gè)事件的概率又是多少呢？ 先看基本事件數(shù)，兩顆骰子有以下這些組合： （ 1， 1）（ 1， 2）（ 1， 3）（ 1， 4）（ 1， 5）（ 1， 6） （ 2， 2）（ 2， 3）（ 2， 4）（ 2， 5）（ 2， 6） （ 3， 3）（ 3， 4）（ 3， 5）（ 3， 6） （ 4， 4）（ 4， 5）（ 4， 6） （ 5， 5）（ 5， 6） （ 6， 6） 共有基本事件總數(shù)： 21個(gè) 出現(xiàn)奇數(shù)的組合有： 9個(gè)，概率為 9/21。 出現(xiàn)偶數(shù)的組合有： 12個(gè)，概率為 12/21。 顯然拋擲兩枚骰子以奇 /偶數(shù)決定發(fā)球權(quán)是不公平的！ 4．獨(dú)立事件的概率計(jì)算 在一組隨機(jī)事件中，按事件的影響關(guān)系，又可分為獨(dú)立事件與排斥事件。 若 A事件的發(fā)生與否，并不影響 B事件的概率，反之亦然，則稱兩事件相互獨(dú)立。即獨(dú)立事件是一組概率互不影響的事件。 設(shè)事件 A,B,C,…, N發(fā)生的概率依次為： NCBA qqqq , ? iNAiNCBANCBAqqqqqq???????? ?? ),( ),( NCBAi ??它們的 邏輯積 概率（獨(dú)立事件是 與門(mén) 連接的） 4．獨(dú)立事件的概率計(jì)算 在一組隨機(jī)事件中，按事件的影響關(guān)系，又可分為獨(dú)立事件與排斥事件。 若 A事件的發(fā)生與否，并不影響 B事件的概率，反之亦然，則稱兩事件相互獨(dú)立。即獨(dú)立事件是一組概率互不影響的事件。 設(shè)事件 A,B,C,…, N發(fā)生的概率依次為： NCBA qqqq , ?它們的 邏輯和 概率 (獨(dú)立事件是 或門(mén) 連接的 ) ： ),( NCBAi ??)1(1)1()1)(1)(1(1( ) iN AiNcBANCBA qqqqqq ?????????? ????? ?? 獨(dú)立事件的概率計(jì)算舉例 例 1：某人有 4把鑰匙，其中 2把能打開(kāi)門(mén)?，F(xiàn)隨機(jī)地取 1把鑰匙試著開(kāi)門(mén)，不能開(kāi)門(mén)的就扔掉，問(wèn)第二次才能打開(kāi)門(mén)的概率是多少？若試過(guò)的鑰匙不扔掉，這個(gè)概率又是多少？ 解：第一次未打開(kāi)門(mén)（事件 A）的概率是 2/4； 第二次打開(kāi)門(mén)（事件 B）的概率為 2/3（扔掉一把后） 故“第二次開(kāi)門(mén)并打開(kāi)這一事件”，是事件 A與事件 B與門(mén)連接的。 故可以看成是 AB兩個(gè)獨(dú)立事件的邏輯積。 第二次才能打開(kāi)門(mén)的概率 =(2/4) (2/3)=1/3。 同理，鑰匙不扔掉時(shí)的概率 =(2/4) (2/4)= 1/4 4．獨(dú)立事件的概率計(jì)算 例 2 甲、乙 2人各進(jìn)行一次射擊，如果 2人擊中目標(biāo)的概率都是 ，計(jì)算： （ 1） 2人都擊中目標(biāo)的概率； （ 2）其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率； （ 3）至少有 1人擊中目標(biāo)的概率； （ 4）至多有 1人擊中目標(biāo)的概率。 解 ： 三、可靠性及基本事件發(fā)生概率計(jì)算 （一）可靠性的基本概念 可靠性是指研究對(duì)象在規(guī)定條件下、規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成規(guī)定功能的能力 。 ① 規(guī)定的時(shí)間 ，一般指通常的時(shí)間概念，也有因?qū)ο蟛煌褂弥T如次數(shù)、周期、距離等相當(dāng)于時(shí)間指標(biāo)的量。 在人機(jī)系統(tǒng)中，由于目的和功能不同，對(duì)系統(tǒng)正常工作時(shí)間的要求也就不同，若沒(méi)有時(shí)間的要求，就無(wú)法對(duì)系統(tǒng)在要求正常工作的時(shí)間內(nèi)能否正常工作作出合理判斷。 因此， 時(shí)間是可靠性指標(biāo)的核心 。 ② 規(guī)定的條件 ：系統(tǒng)所處條件包括使用條件、維護(hù)條件、環(huán)境條件和操作條件。系統(tǒng)能否正常工作與上述各種條件密切相關(guān)。條件的改變，會(huì)直接改變系統(tǒng)的壽命，又時(shí)相差幾倍甚至幾十倍。 ③ 規(guī)定功能 ：系統(tǒng)的規(guī)定功能常用各種性能指標(biāo)或技術(shù)指標(biāo)來(lái)描述，人機(jī)系統(tǒng)在規(guī)定時(shí)間、規(guī)定條件下各項(xiàng)指標(biāo)都能達(dá)到，則稱系統(tǒng)完成了規(guī)定功能，否則稱為“故障”或“失效”。因此對(duì)失效的判據(jù)是重要的，否則無(wú)據(jù)可依，使可靠性的判斷失去依據(jù)。 ④ 能力 ：在可靠性定義中的“能力”具有統(tǒng)計(jì)意義，如：“平均無(wú)故障時(shí)間”長(zhǎng)，可靠性就越高。由于人機(jī)系統(tǒng)相當(dāng)廣泛，且各有不同，因此，度量系統(tǒng)可靠性“能力”的指標(biāo)也很多，如“可靠度”、“平均壽命”等。 2．可靠度與不可 靠 度 可靠度是可靠性的概率度量，通常記為 R。是指研究對(duì)象在規(guī)定條件下、規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成規(guī)定功能的概率 。 不可靠度是指研究對(duì)象在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時(shí)間內(nèi)喪失規(guī)定功能的概率，又叫失效概率。通常記為 F。 可靠度和不可靠度是一完備事件組，所以有 1?? FR FR ?? 1或 只要求出不可靠度就可確定可靠度，反之亦然。 不可靠度可以通過(guò)大量的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)得出： 假設(shè)：共有 N0個(gè)研究對(duì)象 ， 在規(guī)定條件下工作到某規(guī)定時(shí)間tm時(shí) ， 有 Nfm個(gè)研究對(duì)象失效 。 把工作時(shí)間按 Δ t 切分為： t1 , t2 ,… ., tm (0 t1 t2 … . tm) 對(duì)應(yīng)于第 i個(gè) Δ ti, 失效的研究對(duì)象數(shù)為 ΔNfi, 則 在 tm時(shí)間內(nèi)發(fā)生失效的對(duì)象總數(shù)是每一個(gè) Δti內(nèi)失效數(shù)的總和 ， 即： ????mififm NN1 )(),( tFFtNNmffm ?? 若取 Δt 0時(shí)， ?????mififmm NNNNF100/在時(shí)間 tm時(shí)，失效概率為 Fm： 隨著規(guī)定時(shí)間不斷延長(zhǎng)，最終所有對(duì)象都將失效，其結(jié)果如下圖所示： 左上圖所有的小矩形之和應(yīng)該等于研究的對(duì)象總數(shù) N0 ； 右上圖為累積失效直方圖，到 t足夠大時(shí)，累積總和為 N0 。 將上圖中的縱坐標(biāo)除以研究對(duì)象總數(shù) N0，并取 Δt趨于 0，則左上的直方圖將變成光滑的山峰狀曲線，稱為失效密度函數(shù)f(t)，