【正文】 ??? nnmaEn?可見 E 是量子化的。 對應(yīng)于nE的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為 ???????????axaxaxxeanatxtEinn , ,0 0 ,s i n2),(??? 16 2. 4. 證明（ 2. 6 14 ）式中的歸一化常數(shù)是aA1?? 證：??????????axaxaxanAn ,0 ),(s i n?? 由歸一化，得 aAaxannaAaAdxaxanAxAdxaxanAdxaxanAdxaaaaaaaaaan222222222)(s i n2)(c o s22)](c o s1[21)(s i n1????????????????????????????????????? ∴歸一化常數(shù)aA1?? 17 2. 5 求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。 解：222122)(xxex???????? 222223222112 24)()(xxexexxx????????????????? 22]22[2 )(3231 xexxdxxd???????? 令0 )(1?dxxd ?，得 ?????? xxx 1 0? 由)(1 x?的表達式可知，???? xx 0 ，時，0)(1 ?x?。顯然不是最大幾率的位置。 2222)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223322223212xxexxexxxxdxxd?????????????????????而 0142 )(321212?????edxxdx???， 可見????????1x是所求幾率最大的位置。 18 2. 6 在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱 ：)()( xUxU ??，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。 證：在一維勢場中運動的粒子的定態(tài) S 方程為 )()()()(2222xExxUxdxd???????? ① 將式中的)( xx ?以代換，得 )()()()(2222xExxUxdxd??????? ????? ② 利用)()( xUxU ??，得 )()()()(2222xExxUxdxd?????? ????? ③ 比較①、③式可知，)()( xx ?? 和?都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù) 。由于它們描寫的是同一個狀態(tài)，因此)()( xx ?? 和?之間只能相差一個常數(shù)c。方程①、③可相互進行空間反演 )( xx ??而得其對方，由①經(jīng)xx ??反演，可得③， )()( xcx ?? ??? ④ 由③再經(jīng)xx ??反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。 )()( xcx ??? ?? ⑤ ④乘 ⑤，得 )x()x(c)x()x( 2 ??? ????， 可見，12 ?c， 所以 1??c 當1??c時，)x()x( ?? ??，)( x??具有偶宇稱， 當1??c時，)()( xx ?? ???，)( x??具有奇宇稱， 當勢場滿足)()( xUxU ??時，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。 19 2. 7 一粒子在一維勢阱中 ?????????axaxUxU ,0 ,0)(0 運動，求束縛態(tài) (00 UE ??) 的能級所滿足的方程。 解：粒子所滿足的 S 方程為 )()()()(2222xExxUxdxd???????? 按勢能)( xU的形式分區(qū)域的具體形式為 Ⅰ ：)x(E)x(U)x(dxd21101222???????? ax ???? ① Ⅱ：)()(222222xExdxd?????? axa ??? ② Ⅲ：)x(E)x(U)x(dxd23303222???????? ??? xa ③ 20 整理后，得 Ⅰ ： 0)(21201????? ????EU ④ Ⅱ： . 0E 2222???? ???? ⑤ Ⅲ：0)(23203????? ????EU ⑥ 令 22220212 )(2??EkEUk????? 則 Ⅰ ： 01211 ???? ?? k ⑦ Ⅱ： . 02222 ???? ?? k ⑧ Ⅲ：01213 ???? ?? k ⑨ 各方程的解為 xkxk3222xkxk11111FeEexkc o sDxks i nCBeAe???????????? 21 由波函數(shù)的有限性，有 0 )(0 )(31???????EA有限有限?? 因此 xk3xk111FeBe????? 由波函數(shù)的連續(xù)性，有 )13( Fekaks i nDkakc o sCk),a()a()12( Feakc o sDaks i nC),a()a()11( aks i nDkakc o sCkBek),a()a()10( akc o sDaks i nCBe),a()a(ak1222232ak22322222ak12122ak211111?????????????????????????????????????? 整理 (10) 、 (11) 、 (12) 、 (13) 式，并合并成方程組，得 0FekaDks i nkaCkc o sk00FeaDkc o saCks i n000D aks i nkaCkc o skBek 00aDkc o saCks i nBeak12222ak222222ak122ak1111???????????????????? 22 解此方程即可得出 B 、 C 、 D 、 F ，進而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組有非零解，必須 0Bekaks i nkakc o sk0eakc o saks i n00aks i nkakc o skek0akc o saks i neak12222ak222222ak122ak1111????????? ]ak2c o skk2ak2s i n)kk[(e ]ak2s i nkak2s i nkak2c o skk2[e ]aks i nekakc o saks i nek akc o sekakc o saks i nek[ek ]akc o saks i nekaks i nekk akc o saks i nekakc o sekk[e ekaks i nkakc o skeakc o saks i n0akc o saks i nek ekaks i nkakc o skeakc o saks i n0aks i nkakc o ske022122122ak2221222221ak222ak222ak122ak222ak1ak122ak2222ak2122ak2222ak21akak12222ak2222ak1ak12222ak222222ak111111111111111111???????????????????????????????????????????????? ∵ 012 ?? ake ∴02c o s22s i n)( 22122122 ??? akkkakkk 即 022)( 2122122 ??? kkaktgkk為所求束縛態(tài)能級所滿足的方程。 23 方法二 ：接（ 13 ）式 aks i nDkkakc osCkkakc osDaks i nC21221222???? aks i nDkkakc osCkkakc osDaks i nC21221222???? 02c o sk2 2s i n)( 02c o s2 2s i n) 1( 0c o ss i nc o ss i nc o ss i n 0)c o ss i n)(s i nc o s( 0)c o ss i n)(s i nc o s()c o ss i n)(s i nc o s(0)c o ss i n(s i nc o sc o ss i ns i nc o s221221222122212222221222122221222212221222122212221222122212221222122212?????????