【正文】 ????????????????????? ?2310179810445414670????????????????? ?55310651710117500經回代求解得 x3＝ ， x2＝ ， x1＝－ 和此方程組的精確解相比 x3＝ ， x2＝－ ， x1＝ 有較大的誤差 。 對于此例 ， 由于順序 Gauss消去法中的主元素絕對值非常小 ， 使消元乘數絕對值非常大 ， 計算過程中出現大數吃掉小數現象 ， 產生較大的舍入誤差 ， 最終導致計算解 x1＝－ 和 x2＝ 已完全失真 。 為避免這種現象發(fā)生 ， 可以對原方程組作等價變換 ， 再利用順序Gauss消去法求解 。 ????????????????????寫出原方程組的增廣矩陣： 針對第一列找出絕對值最大的元素 ， 進行等價變換： ???????????? ? 2???????????求得方程的解為： x3＝ ， x2＝－ ， x1＝ 精確解為： x3＝ ， x2＝－ ， x1＝ 由此可見，第二種 Gauss消去法的精度明顯高于順序 Gauss消去法，我們稱它為列主元 Gauss消去法。 列主元 Gauss消去法與順序 Gauss消去法的不同之處在于： 后者是按自然順序取主元素進行消元 前者在每步消元之前先選取主元素然后再進行消元 ? ?定義 使用高斯消去法的過程中，在第 K 次消元前，先對第 K 個增廣陣 [ A(K), B(K) ] 做交換二行的變換，把 中絕對值最大的元素換到 (K, K) 位置，再消元。此方法叫 列主元素高斯消去法 。 對于 k =1,2,?, n 1執(zhí)行 (1)選行號 ik，使 (2)交換第 k 行與第 ik 行 。 ( ) ( )m a x .kkki k i kk i naa???() ( , 1 , ..., )kika i k k n??(3)對于 i = k +1,k +2,? ,n 計算 ( ) ( )( 1 ) ( ) ( )( 1 ) ( ) ( )/( 1 , 2 , ... , )kkik ik k kk k kij ij ik k jk k ki i ik km a aa a m a j k k nb b m b???? ? ? ? ??? ( ) ( )( ) ( ) ( )1// ( 1 , 2 , . . . , 1 )nnn n n nnk k kk k k j j k kjkx b ax b a x a k n n?????? ? ? ? ???????評論： 列主元素消去法，所需條件較少，僅僅要求方程組的系數矩陣 A 非奇異 。 而且，對一般的方程組，它還具有良好的數值穩(wěn)定性，其計算量與順序消去法的計算量相當。 矩陣的直接分解法 從 ， 順序 Gauss消去法的消元過程是將增廣矩陣[A， b]＝ [A（ 1） ， b（ 1） ]逐步化為矩陣 [A（ n） ， b（ n） ]。 可見，在順序 Gauss消去法的過程中，系數矩陣 A＝ A（ 1） 經過一系列單位下三角矩陣的左乘運算化為上三角矩陣 A（ n） ，即 )1(1)( ??? nnn ALA )2(21 ???? nnn ALL ALLLL nn 1221 ?? ????? 這時 )(111211 nn ALLLA ? ???? ?)(1 11211 , nn AULLLL ?? ? ??? ?令 容易驗證 ???????????????????????1111121323121111211nnnnnllllllLLLL?????? 從順序 Gauss消去法的矩陣運算表示式可知 ， 系數矩陣A可分解為一個單位下三角矩陣 L和一個上三角矩陣 U的乘積 ， 即 LUALLLA nn ?? ? ??? )(1 11211 ??????????????nnnnuuuuuu????22211211????????????????)2()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11)(nnnnnaaaaaaAU????其中 定義 A = LU 叫做 A 的 三角分解 。 L， U 是 下、上三角陣 . 若 L 是單位下三角矩陣， U 是上三角矩陣，則 A =LU 叫 A 的 Doolittle 分解 ； 若 L 是下三角矩陣， U 是單位上三角矩陣， A =LU 叫 A 的 Crout 分解 。 如果方程組 Ax =b 的系數陣 A 能分解為 A =LU, 其中， L 是下三角矩陣， U 是上三角矩陣 . 這時解方程組 Ax=b， 可化為求解兩個三角方程組 Ly =b, Ux =y . 先由 Ly =b 解出向量 y，再由 Ux =y 解出向量 x， 則 x 是原方程組 Ax=b 的解向量 。 ?三角分解用處 對于 ?????????????????????????????????????????????????? nnnnnnbbbbyyyyllllll???????3213211213231211111由 ????????????nkylbybykiikikk ,3,2,1111?解得 Ly =b 對于 ?????????????????????????????????????nnnnnnyyyxxxuuuuuu??????212122211211由 ??????????????????????1,2,1,/1?nniuxuyxuyxiinijjijiinnnn求得 Ux =y 可以看出對于方程組 ： 只要對系數矩陣作了三角分解 ： 由這個簡單的計算過程可知，系數矩陣的三角分解很關鍵。 ????????????nkylbybykiikikk ,3,2,1111???????????????????????1,2,1,/1?nniuxuyxuyxiinijjijiinnnn通過如下兩組公式很容易求解 ： Ax =b A =LU 以 Doolittle（杜利特爾）分解為例 在順序 Gauss消去法的過程中，若每步消元的主元素 akk(k)≠0 ，則矩陣 A 可分解。而 akk(k) ≠0 的充要條件是 A 的各階順序主子式不為零。 11 12 121 22 2121 0 01001 0 0nnn n nnu u ul u uAl l u? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 矩陣 A∈ Rn n 的 Doolittle 分解 例： 利用 DOOLITTLE三角分解法分解矩陣 解： ?????????????2568116164278116941