【正文】 由式（1）另外 311. 測得二階系統(tǒng)圖353(a)的階躍響應(yīng)曲線如圖353(b)所示。試判斷每種情況下系統(tǒng)內(nèi)、外兩個反饋的極性(其中“0”為開路)，并說明其理由。 解： (1) 單位階躍響應(yīng)為等幅振蕩，故閉環(huán)極點為純虛根，故內(nèi)回路斷開，外回路為負反饋；(2) 單位階躍響應(yīng)為發(fā)散，內(nèi)回路為正反饋，外回路為負反饋；(3) 單位階躍響應(yīng)為近似斜坡信號，故外回路斷開，內(nèi)回路為負反饋；(4) 單位階躍響應(yīng)為加速度信號，閉環(huán)極點為原點上2個極點，故內(nèi)回路開路，外回路也開路。312. 試用代數(shù)判據(jù)確定具有下列特征方程的系統(tǒng)穩(wěn)定性。 1． 2． 3． 解： Routh表第一列系數(shù)均大于0，故系統(tǒng)穩(wěn)定。 Routh表第一列系數(shù)有小于0的，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。 Routh表第一列系數(shù)有小于0的，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。313. 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為1．； 2．試確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益的范圍(傳遞函數(shù)中的稱為不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié)。為根軌跡增益)。解： 由Routh表第一列系數(shù)得故當時系統(tǒng)穩(wěn)定。 不滿足必要條件，系統(tǒng)不穩(wěn)定。314. 試確定圖354所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 解： 系統(tǒng)穩(wěn)定。 滿足必要條件，故系統(tǒng)穩(wěn)定。315. 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)穩(wěn)定時，參數(shù)和的取值關(guān)系。解： 由Routh表第一列系數(shù)大于0得，即316. 設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖355所示，已知系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率。試確定系統(tǒng)作等幅振蕩時的和值(、均為大于零的常數(shù))。 解： 解得：317. 已知單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試分別求出當輸入信號為、和時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 1． 2． 3． 解： 1. 經(jīng)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定 2. 經(jīng)判斷：系統(tǒng)不穩(wěn)定。 3. 經(jīng)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定 318. 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求當輸入信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解： 滿足必要條件，系統(tǒng)穩(wěn)定。 319. 控制系統(tǒng)的誤差還有一種定義，這就是無論對于單位反饋系統(tǒng)還是非單位反饋系統(tǒng)，誤差均定義為系統(tǒng)輸入量與輸出量之差，即現(xiàn)在設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 試證：系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下，不存在穩(wěn)態(tài)誤差的條件是和。證明： 要使，只有讓，即320. 具有擾動輸入的控制系統(tǒng)如圖356所示。試計算階躍擾動輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解： 321. 試求圖357所示系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差。解：(a). (b). 322. 系統(tǒng)如圖358(a)所示，其單位階躍響應(yīng)如圖358(b)所示，系統(tǒng)的位置誤差，試確定、與值。解： 系統(tǒng)是穩(wěn)定的，故 323. 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖359所示?，F(xiàn)要求： (1) 擾動，穩(wěn)態(tài)誤差為零； (2) 輸入，穩(wěn)態(tài)誤差不大于。 試：各設(shè)計一個零極點形式最簡單的控制器的傳遞函數(shù)，以滿足上述各自的要求。并確定中各參數(shù)可選擇范圍。解：(1). 取，可使，,要使系統(tǒng)穩(wěn)定由勞斯判據(jù)得0k3/5。 (2). 取 ,要使系統(tǒng)穩(wěn)定由勞斯判據(jù)得及，綜合得參數(shù)選擇范圍為及。第四章 根軌跡法習題及解答4已知開環(huán)零、極點分布如圖425所示。試概略繪制相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖。圖解41解：根軌跡如圖解41所示。圖解414 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試作從的閉環(huán)根軌跡，并證明在平面內(nèi)的根軌跡是圓，求出圓的半徑和圓心。解：圖解42根軌跡圓心，半徑的圓，如圖解42所示。4設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡圖（要求確定分離點坐標）。 （1） （2） 解 ⑴ 系統(tǒng)有三個開環(huán)極點：,① 實軸上的根軌跡： , ② 漸近線： ③ 分離點：解之得：，(舍去)。④ 與虛軸的交點：特征方程為 令 解得與虛軸的交點（0，）。 根軌跡如圖解43(a)所示。 ⑵ 根軌跡繪制如下：① 實軸上的根軌跡：, ② 漸近線： ③ 分離點： 用試探法可得 。根軌跡如圖解43(b)所示。4已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出系統(tǒng)的根軌跡圖（要求算出出射角）。 （1） （2） 解 ⑴ 根軌跡繪制如下： ① 實軸上的根軌跡： ② 分離點：解之得：③ 起始角： 由對稱性得另一起始角為 。根軌跡如圖解44(a)所示。⑵ 系統(tǒng)有三個開環(huán)極點和一個開環(huán)零點。 根軌跡繪制如下：① 實軸上的根軌跡： ② 起始角：根軌跡如圖解44(b)所示。 4已知系統(tǒng)如圖426所示。作根軌跡圖，要求確定根軌跡的出射角和與虛軸的交點。并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值的范圍。解：圖解45有3條根軌跡，且3條全趨于無窮遠處。①實軸上：②漸近線：③出射角：④與虛軸交點：則有解得：∴使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為4已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫出概略根軌跡圖。（1） （2） （3） 解：（1）圖解46(1)解：（1），有2條根軌跡且全趨于無窮遠處。①實軸上：②漸近線：圖解46③分離點：圖解46(2)（2）有2條根軌跡，其中1條趨于無窮遠處。實軸上。（3）圖解46(3)有2條根軌跡，且1條趨向無窮遠處。①實軸上：②分離點：4設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試作出從變化時的根軌跡。圖解47 根軌跡圖解：做等效開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)①　實軸上的根軌跡：②　分離點：解得：(舍去)，如圖解47所示，根軌跡為以開環(huán)零點為圓心，開環(huán)零點到開環(huán)極點的距離為半徑的圓。4設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 （1） 當時，作系統(tǒng)根軌跡，并求出系統(tǒng)階躍響應(yīng)分別為單調(diào)、阻尼振蕩時（有復極點）的取值范圍。（2） 若使根軌跡只具有一個非零分離點，此時的取值？并做出根軌跡。（3） 當時，是否具有非零分離點，并做出根軌跡。解： 圖解48(1)（1）做等效開環(huán)傳遞函數(shù)有3條根軌跡，有2條趨向無窮遠處。①實軸上：②漸近線：③分離點：解得：當時系統(tǒng)階躍響應(yīng)為單調(diào)。當及時系統(tǒng)階躍響應(yīng)為阻尼振蕩。（2）圖解48(2)分離點：要使系統(tǒng)只有一個非零分離點，則即，（舍去）（3）作等效開環(huán)傳遞函數(shù) 有3條根軌跡其中2條趨向無窮遠處圖解48(3)①實軸上：②漸近線：③分離點：無解，故無分離點。4試作圖427所示系統(tǒng)從時的系統(tǒng)根軌跡圖，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解 根軌跡繪制如下：① 實軸上的根軌跡： ② 漸近線： ③ 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為圖解49 根軌跡圖把代入上方程，令解得： ， 根軌跡如圖解49所示。由圖解49可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為 。4做出圖428所示系統(tǒng)的根軌跡，圖中分別為 （1） （2） (3) 解：（1）有3條根軌跡且全趨向于無窮遠處。①實軸上：②起始角：圖解410(1)③漸近線：④與虛軸相交：解得：（2）圖解410(2)①實軸上：②漸近線：③出射角：100176。=120176。100176。（+120176。+90）176。=（2k+1）=70176。（3）圖解410(3)①實軸上：②漸近線：③出射角：，=120176。，60176。（+120176。+90）176。=（2k+1） =30176。41設(shè)控制系統(tǒng)如圖429所示，為了使系統(tǒng)閉環(huán)極點為，試確定增益和速度反饋系數(shù)的數(shù)值，并利用值繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。