74(2)-隱函數(shù)的求導(dǎo)公式-文庫(kù)吧
2025-07-21 19:08 本頁(yè)面
【正文】 ),(),(ddyxFyxFxyyx??(1) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 。 它滿足條件 y0 = f (x0), 則方程 F (x, y) = 0在點(diǎn) P (x0, y0)的某一鄰域內(nèi)恒 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 (2) (3) 能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) (證明從略 )僅推導(dǎo)公式 . 將恒等式 兩邊關(guān)于 x求導(dǎo) , ),( xF由 鏈導(dǎo)法則 , 得 )(xf 0?y = f (x), 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 10 ,),( 連續(xù)由于 yxF y ,0),( 00 ?yxF y且,0),( ?yxF y),(),(ddyxFyxFxyyx?? 或簡(jiǎn)寫 : .ddyxFFxy ??于是得 所以存在 (x0, y0)的一個(gè)鄰域 , 在這個(gè)鄰域內(nèi) ),( yxF x ),( yxF y? xydd? 0?),( xF )(xf 0? 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 11 證 記 ,ee),( yxxyyxF ???。0)0,0( ?F(1) xx yyxF e),( ?? yy xyxF e),( ??與 )0,0(在點(diǎn)的鄰域內(nèi)連續(xù) 。 ,01)0,0( ??yF所以方程在點(diǎn) (0,0)附近確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、 且 yxFFxy ??dd.ee yxxy????的隱函數(shù) y = f (x), 00 ?? yx 時(shí)當(dāng)則 (2) (3) 例 1 證明方程 ,0ee ??? yxxy一個(gè)隱函數(shù) y = f (x), 在 (0,0)點(diǎn)附近確定 .ddxy并求隱函數(shù)存在定理 1 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 12 先變形方程 方程兩邊對(duì) x求導(dǎo) ,ar c tan)l n (21 22 xyyx ??,)(1122212222xyxyxyyxyyx??????????yxyyyx ???????? .dd xy yxxy ?????例 2 .dd,ar c t anln 22 xyxyyx 求已知 ??法一 推導(dǎo)法 解 （即一元隱函數(shù)求導(dǎo)法） 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 13 解 令 則 ,ar c t anln),( 22 xyyxyxF ???,),( 22 yx yxyxF x ??? ,),( 22 yx xyyxF y ???yxFFxy ??dd .xyyx????例 2 .dd,ar c t anln 22 xyxyyx 求已知 ??),(),(ddyxFyxFxyyx??隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 法二 公式法 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 14 ,0),( 000 ?zyxF z則方程 F (x, y, z) = 0 在點(diǎn) (x0, y0, z0)的某一鄰域內(nèi) 。0),( 000 ?zyxF),( 000 yxfz ?恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 并有 若三元函數(shù) F (x, y, z)滿足 : 它滿足條件 在點(diǎn) P (x0, y0, z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù) 2. 由三元方程 F(x, y, z) = 0確定二元隱函數(shù) ., yzxz ????求隱函數(shù)存在定理 2 ,zxFFxz ???? .zyFFyz ????(1) (2) (3) z = f (x, y), z = f (x, y), 偏導(dǎo)數(shù) 。 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 15 (證明從略 )僅推導(dǎo)公式 . 將恒等式 兩邊
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