【正文】 要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23頁的地方翻，……這樣反復試探幾次，步步逼近，最后就能找到這一頁。這就是在用“嘗試法”解決問題。本題的試數(shù)范圍是7四個數(shù)，可由小至大，或由大至小依次填在中間的格中，按“橫行、豎列三個數(shù)相加都得14”的要求來逐個嘗試。 如果中間的格中填3，則豎列下面的一格應填多少呢？因為1453=6，所以豎列下面的一格中應填6（圖22）。下面就要把剩下的7，分別填入橫行左右的兩個格中（圖23）。把橫行格中的7三個數(shù)加起來，得14，合乎題目要求。如果中間一格填或填7都不合乎題目的要求。所以本題的答案是圖23或圖24。例2 把3……11各數(shù)填在圖25的方格里，使每一橫行、每一豎行的數(shù)相加都等于18。（教科書第四冊第57頁的思考題，適于二年級程度）解：圖25中有11個格，正好每一格填寫一個數(shù)。圖26中寫有A、B、C的三個格中的三個數(shù)，既要參加橫向的運算，又要參加縱向的運算，就是說這三個數(shù)都要被用兩次。因此，確定A、B、C這三個數(shù)是解此題的關鍵。 因為1～11之中中間的三個數(shù)是7，所以，我們以A、B、C分別為7開始嘗試（圖27）。以6為中心嘗試，看6上、下兩個格中應填什么數(shù)。因為186=12，所以6上、下兩格中數(shù)字的和應是12?？紤]6已是1～11之中中間的數(shù)，那么6上、下兩格中的數(shù)應是1～11之中兩頭的數(shù)。再考慮6上面的數(shù)還要與5相加，6下面的數(shù)還要與7相加，5比7小，題中要求是三個數(shù)相加都等于18，所以在6上面的格中填11，在6下面的格中填1（圖28）。6+11+1=18看圖28。6上面的數(shù)是11，11左鄰的數(shù)是5，18115=2，所以5左鄰的數(shù)是2（圖29）。再看圖28。6下面的數(shù)是1，1右鄰的數(shù)是7，1817=10，所以7右鄰的數(shù)是10（圖29）?，F(xiàn)在1～11之中只剩下9這四個數(shù)，圖29中也只剩下四個空格。在5的上、下，在7的上、下都應填什么數(shù)呢？ 因為185=13，所以5上、下兩格中數(shù)字的和應是13，9這四個數(shù)中，只有4+9=13，所以在5的上、下兩格中應填9與4（圖210）?？磮D210。因為6左鄰的數(shù)是4，1846=8，所以6右鄰的數(shù)是8。因為1878=3，并且111的數(shù)中，只剩下3沒有填上，所以在7下面的格中應填上3。圖210是填完數(shù)字的圖形。*例3 在9只規(guī)格相同的手鐲中混有1只較重的假手鐲。在一架沒有砝碼的天平上，最多只能稱兩次，你能把假手鐲找出來嗎？（適于三年級程度）解：先把9只手鐲分成A、B、C三組，每組3只。①把A、B兩組放在天平左右兩邊的秤盤上，如果平衡，則假的1只在C組里；若不平衡，則哪組較重，假的就在哪組里。②再把有假手鐲的那組中的兩只分別放在天平的左右秤盤上。如果平衡，余下的1只是假的；若不平衡，較重的那只是假的。*例4 在下面的15個8之間的任何位置上，添上+、247。符號，使得下面的算式成立。（適于三年級程度）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986解：先找一個接近1986的數(shù)，如：8888247。8+888=1999。1999比1986大13。往下要用剩下的7個8經(jīng)過怎樣的運算得出一個等于13的算式呢？88247。8=11，11與13接近，只差2。往下就要看用剩下的4個8經(jīng)過怎樣的運算等于2。8247。8+8247。8=2。把上面的思路組合在一起，得到下面的算式：8888247。8+88888247。88247。88247。8=1986例5 三個連續(xù)自然數(shù)的積是120，求這三個數(shù)。（適于四年級程度）解：假設這三個數(shù)是4，則：234=2424＜120，這三個數(shù)不是4；假設這三個數(shù)是5，則：345＝6060＜120，這三個數(shù)不是5；假設這三個數(shù)是6，則：456=1206的積正好是120，這三個數(shù)是6。例6 在下面式子里的適當位置上加上括號，使它們的得數(shù)分別是47235。（適于四年級程度）（1）79+12247。32＝47（2）79+12247。32=75（3）79+12247。32=23（4）79+12247。32=35解：本題按原式的計算順序是先做第二級運算，再做第一級運算，即先做乘除法而后做加減法，結果是：79+12247。32=63+42=65“加上括號”的目的在于改變原來的計算順序。由于此題加中括號還是加小括號均未限制，因此解本題的關鍵在于加寫括號的位置?？梢詮募訉懸粋€小括號想起，然后再考慮加寫中括號。如：（1）77=49，再減2就是47。這里的第一個數(shù)7是原算式中的7，要減去的2是原算式等號前的數(shù)，所以下面應考慮能否把9+12247。3通過加括號后改成得7的算式。經(jīng)過加括號，（9+12）247。3=7，因此：7[（9+12）247。3]2=47因為一個數(shù)乘以兩個數(shù)的商，可以用這個數(shù)乘以被除數(shù)再除以除數(shù)，所以本題也可以寫成：7（9+12）247。32=47（2）711=77，再減2就得75。這里的7是原算式中的第一個數(shù)，要減去的2是等號前面的數(shù)。下面要看9+12247。3能不能改寫成得11的算式。經(jīng)嘗試9+12247。3不能改寫成得11的算式，所以不能沿用上一道題的解法。79+12得75，這里的12就是原式中的前三個數(shù)，所以只要把32用小括號括起來，使79+12之和除以1，問題就可解決。由此得到：（79+12）247。（32）=75因為（32）的差是1，所以根據(jù)“兩個數(shù)的和除以一個數(shù)，可以先把兩個加數(shù)分別除以這個數(shù)，然后把兩個商相加”這一運算規(guī)則，上面的算式又可以寫成：79+12247。（32）=75在上面的這個算式中，本應在79的后面寫上“247。（32）”，因為任何數(shù)除以1等于這個數(shù)本身，為了適應題目的要求，不在79的后寫出“247。（32）”。（3）252=23，這個算式中，只有2是原算式等號前的數(shù)，只要把79+12247。3改寫成得25的算式，問題就可解決。又因為79+12=75，75247。3=25，所以只要把79+12用小括號括起來，就得到題中所求了。（79+12）247。32=23（4）75=35， 7是原算式中的第一個數(shù)，原算式中的 9+12247。32能否改寫成得5的算式呢？因為 72=5，要是9+12247。3能改寫成得7的算式就好了。經(jīng)改寫為（9+12）247。3=7，因此問題得到解決。題中要求的算式是：7[（9+12）247。32]=35*例7 王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天數(shù)比李平少。王明每天剪20只羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。他倆共剪了112只羊的羊毛，兩人平均每天剪14只羊的羊毛。李平剪了幾天羊毛？（適于四年級程度）解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛計算，一共剪的天數(shù)是：112247。14=8（天）因為王明每天剪20只，李平每天剪12只，一共剪了112只，兩人合起來共剪了8天，并且李平剪的天數(shù)多，所以假定李平剪了5天。則：125+20（85）=120（只）120＞112，李平不是剪了5天，而是剪的天數(shù)多于5天。假定李平剪了6天，則：126+20（86）=112（只）所以按李平剪6天計算，正滿足題中條件。答：李平剪了6天。*例8 一名學生讀一本書，用一天讀80頁的速度，需要5天讀完，用一天讀90頁的速度，需要4天讀完?，F(xiàn)在要使每天讀的頁數(shù)跟能讀完這本書的天數(shù)相等，每天應該讀多少頁？（適于五年級程度）解：解這道題的關鍵是要求出一本書的總頁數(shù)。因為每天讀的頁數(shù)乘以讀的天數(shù)等于一本書的總頁數(shù)，又因為每天讀的頁數(shù)與讀完此書的天數(shù)相等，所以知道了總頁數(shù)就可以解題了。根據(jù)“用一天讀80頁的速度，需要5天讀完”，是否能夠認為總頁數(shù)就是 805=400（頁）呢？不能。因為5天不一定每天都讀80頁，所以只能理解為：每天讀80頁，讀了4天還有余下的，留到第五天才讀完。這也就是說，這本書超過了804=320（頁），最多不會超過：904=360（頁）根據(jù)以上分析，可知這本書的頁數(shù)在321～360頁之間。知道總頁數(shù)在這個范圍之內，往下就不難想到什么數(shù)自身相乘，積在321～360之間。因為1717=289，1818=324，1919=361，324在321～360之間，所以只有每天讀18頁才符合題意，18天看完，全書324頁。答：每天應該讀18頁。*例9 一個數(shù)是5個2，3個3，2個5，1個7的連乘積。這個數(shù)有許多約數(shù)是兩位數(shù)。這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是幾？（適于六年級程度）解：兩位數(shù)按從大到小的順序排列為：99996……110以上兩位數(shù)分解后，它的質因數(shù)只能是7，并且在它的質因數(shù)分解中2的個數(shù)不超過5，3的個數(shù)不超過3，5的個數(shù)不超過2，7的個數(shù)不超過1。經(jīng)嘗試，99不符合要求，因為它有質因數(shù)11；98的分解式中有兩個7，也不符合要求；質數(shù)97當然更不會符合要求。而，96=222223所以在這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是96。答略。*例10 從一個油罐里要稱出6千克油來，但現(xiàn)在只有兩個桶，一個能容4千克，另一個能容9千克。求怎樣才能稱出這6千克油？（適于六年級程度）解：這道題單靠計算不行，我們嘗試一些做法，看能不能把問題解決。已知大桶可裝9千克油，要稱出6千克油，先把能容9千克油的桶倒?jié)M，再設法倒出9千克油中的3千克，為達到這一目的，我們應使小桶中正好有1千克油。怎樣才能使小桶里裝1千克油呢？（1）把能容9千克油的大桶倒?jié)M油。（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩下1千克油。（5）把小桶中現(xiàn)存的4千克油倒回油罐。此時油罐外，只有大桶里有1千克油。（6）把大桶中的1千克油倒入小桶。（7）往大桶倒?jié)M油。（8）從大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒?jié)M。（9）大桶里剩下6千克油。第三講 列舉法解應用題時，為了解題的方便，把問題分為不重復、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終達到解決整個問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。 用列舉法解應用題時，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時也要畫圖。例1 一本書共100頁，在排頁碼時要用多少個數(shù)字是6的鉛字？（適于三年級程度）解：把個位是6和十位是6的數(shù)一個一個地列舉出來，數(shù)一數(shù)。個位是6的數(shù)字有：1234567896，共10個。十位是6的數(shù)字有：60、6666666669，共10個。10+10=20（個）答：在排頁碼時要用20個數(shù)字是6的鉛字。*例2 從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過B市到C市有幾種走法？（適于三年級程度）解：作圖31，然后把每一種走法一一列舉出來。第一種走法：A ① B ④ C第二種走法：A ① B ⑤ C第三種走法：A ② B ④ C第四種走法：A ② B ⑤ C第五種走法：A ③ B ④ C第六種走法：A ③ B ⑤ C答：從A市經(jīng)過B市到C市共有6種走法。*例3 9○13○7=10014○2○5=□把+、247。四種運算符號分別填在適當?shù)膱A圈中（每種運算符號只能用一次），并在長方形中填上適當?shù)恼麛?shù)，使上面的兩個等式都成立。這時長方形中的數(shù)是幾？（適于四年級程度）解：把+、247。四種運算符號填在四個圓圈里，有許多不同的填法，要是逐一討論怎樣填會特別麻煩。如果用些簡單的推理，排除不可能的填法，就能使問題得到簡捷的解答。先看第一個式子：9○13○7=100如果在兩個圓圈內填上“247?！碧枺仁接叶司鸵霈F(xiàn)小于100的分數(shù)；如果在兩個圓圈內僅填“+”、“”號，等式右端得出的數(shù)也小于100，所以在兩個圓圈內不能同時填“247。”號，也不能同時填“+”、“”號。要是在等式的一個圓圈中填入“”號，另一個圓圈中填入適當?shù)姆柧腿菀资沟仁接叶说贸?00。9137=1177=110，未湊出100。如果在兩個圈中分別填入“+”和“”號，就會湊出100了。9+137=100再看第二個式子：14○2○5=□上面已經(jīng)用過四個運算符號中的兩個，只剩下“247?！碧柡汀啊碧柫?。如果在第一個圓圈內填上“247?！碧?， 14247。2得到整數(shù)，所以：14247。25=2即長方形中的數(shù)是2。*例4 印刷工人在排印一本書的頁碼時共用1890個數(shù)碼，這本書有多少頁？（適于四年級程度）解：（1）數(shù)碼一共有10個：0、2……9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數(shù)的頁有9頁，用數(shù)碼9個。（2）頁碼是兩位數(shù)的從第10頁到第99頁。因為999=90，所以，頁碼是兩位數(shù)的頁有90頁，用數(shù)碼：290=180（個）（3）還剩下的數(shù)碼：18909180=1701（個）（4）因為頁碼是三位數(shù)的頁，每頁用3個數(shù)碼，100頁到999頁，99999=900，而剩下的1701個數(shù)碼除以3時，商不足600，即商小于900。所以頁碼最高是3位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了。往下要看1701個數(shù)碼可以排多少頁。1701247。3=567（頁）（5）這本書的頁數(shù)：9+90+567=666（頁）答略。*例5 用一根80厘米長的鐵絲圍成一個長方形，長和寬都要是5的倍數(shù)。哪一種方法圍成的長方形面積最大？（適于四年級程度）解：要知道哪種方法所圍成的面積最大，應將符合條件的圍法一一列舉出來，然后加以比較。因為長方形的周長是80厘米，所以長與寬的和是40厘米。列表31：表3