【正文】 ? 上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 Mathematical Analysis 綿陽師范學院 （ 3） 點集 E 的聚點可以屬于 E，也可以不屬于 E． }10|),{( 22 ??? yxyx例如 , (0, 0) 是聚點但不屬于集合． }1|),{( 22 ?? yxyx例如 , 邊界上的點都是聚點也都屬于集合． （ 1） 內點一定是聚點； 說明： （ 2） 邊界點可能是聚點； }10|),{( 22 ??? yxyx例如， (0, 0) 既是 邊界點也是聚點． 上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 Mathematical Analysis 綿陽師范學院 1. 孤立點必為界點 . 孤立點 若點 ,AE ? 但不是 E 的聚點，即存在某一正數(shù) ,? 使得 ? ?0 。,U A E? ??則稱點 A 是 E 的孤立點 . 說明 2. 內點和非孤立的界點一定是聚點 . 3. 既不是聚點，又不是孤立點，則必 為外點 . 上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 Mathematical Analysis 綿陽師范學院 22{ ( , ) | 1 4 } .D x y x y? ? ? ?例 1 設平面點集 討論此集合的內點集、界點集、聚點集？ xyo上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 Mathematical Analysis 綿陽師范學院 例 2 已知1{ ( , ) s inE x y yx??? ??，確定集 E 的聚點集？ 解 E 的聚點集 為 ? ?? ?1( , ) s in , 0 ( , ) 1 , 1 , 0x y y x x y y xx?? ? ? ? ? ? ?????上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 Mathematical Analysis 綿陽師范學院 開集和閉集 開集 閉集 若平面點集 E 所屬的每一點都是 E 的內點（即in t EE ?），則稱 E 為開集 若平面點集 E 的所有聚點都屬于 E ，則稱 E 為閉集 . 若點集 E 沒有聚點 , 這時也稱 E 為閉集 . }41),{( 221 ???? yxyxE例如， 為開集． ? ?? ?dycbxayxS ????? ,|,? ?? ?41|, 22 ???? yxyxD為閉集． 為既非開集又非閉集． 上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 Mathematical Analysis 綿陽師范學院 結論 ( 1 ) 、 E 的聚點集 E? 時稱 E 為閉集 . ( 2 ) 、存在非開非閉集 . 2R 和空集 ? 為既開又閉集 . 性質 若 E為開集，則 CE為閉集，若 E為閉集，則 CE為開集 。 (1) 開集與閉集的對偶性 (2) 設 F1， F2 為閉集，則 F1∪ F2 和 F1∩ F2 都是閉集 。 (3) 設 E1,E2為開集，則 E1∪ E2和 E1∩ E2都為開集 。 (4) F為閉集， E為開集，則 F\E為閉集， E\F為開集 . 上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 Mathematical Analysis 綿陽師范學院 ( 1 ) 證 設 E 為開集， P 為 C E 的任意一個聚點，則在 P 點的任意鄰域內都有集合 C E 的無數(shù)多個點，它們不屬于 E ，所以 P 點不可能是 E 的內點，從而P 不屬于 E ，即 P ∈ C E ，既然 C E 包含了它所有的聚點，因此 C E 必為閉集 . 如果 E 為閉集，設 P 是 C E 的任意一點， P ? E ，由于 E 為閉集，則 P 不是 E 的聚點，因此存在一個鄰域 U( P , ? ) ，其中不含 E 的點，即 U( P , ? ) ? C E ，這表明 C E 的任意一點都是 C E 的內點，所以 C E 為開集 . 上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 Mathematical Analysis 綿陽師范學院 x y o E 若 E 不包含邊界 , 則 E 為開集 . 若 E 包含邊界 , 則 E 不是開集 . 例 3 證明 : 非空平面點集 E 為開集的充要條件是 E 中每一點都不是 E 的邊界點 . 上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 Mathematical Analysis 綿陽師范學院 設 E 為開集 , AE?? , 由開集定義知 A 為 E 的內點 . 故 A 不是 E 的邊界點 . 證明 “ 必要性” 若 E 中每一點都不是 E 的邊界點 .要證 E 為開集 . “ 充分性” AE?? , 由于 A 不是 E 的邊界點 . 故必存在 A 的一個鄰域 ? ?,UA ?, 在這個鄰域 ? ?,UA ?內 , 或者全是 E中的點 , 或者全都不是 E 中的點 , 兩者必居其一 . 由于 AE ? , 故后一情形不會發(fā)生 . 因此 ? ?,UA ?內必全是 E 中的點 . 故 in tAE ? , 即 i n tEE ? , 所以 E 是開集 . 上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 Mathematical Analysis 綿陽師范學院 、閉域、區(qū)域 連通性 : B A E 不連通 E 連通 A B 設 E 是一非空平面點集 , ,A E B E? ? ? ?都可用完全含于 E 的折線將它們連接起來 , 則稱 E 為連通集 . 上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 Mathematical Analysis 綿陽師范學院 E 是連通集 ,即 E是連成一片的 . 如圖 x + y = 0 x y o x y o 1 1 x2 + y2 = 1 上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 Mathematical Analysis