【正文】 ? 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) Mathematical Analysis 綿陽(yáng)師范學(xué)院 （ 3） 點(diǎn)集 E 的聚點(diǎn)可以屬于 E，也可以不屬于 E． }10|),{( 22 ??? yxyx例如 , (0, 0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合． }1|),{( 22 ?? yxyx例如 , 邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合． （ 1） 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)； 說(shuō)明： （ 2） 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)； }10|),{( 22 ??? yxyx例如， (0, 0) 既是 邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)． 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) Mathematical Analysis 綿陽(yáng)師范學(xué)院 1. 孤立點(diǎn)必為界點(diǎn) . 孤立點(diǎn) 若點(diǎn) ,AE ? 但不是 E 的聚點(diǎn)，即存在某一正數(shù) ,? 使得 ? ?0 。,U A E? ??則稱點(diǎn) A 是 E 的孤立點(diǎn) . 說(shuō)明 2. 內(nèi)點(diǎn)和非孤立的界點(diǎn)一定是聚點(diǎn) . 3. 既不是聚點(diǎn)，又不是孤立點(diǎn)，則必 為外點(diǎn) . 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) Mathematical Analysis 綿陽(yáng)師范學(xué)院 22{ ( , ) | 1 4 } .D x y x y? ? ? ?例 1 設(shè)平面點(diǎn)集 討論此集合的內(nèi)點(diǎn)集、界點(diǎn)集、聚點(diǎn)集？ xyo上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) Mathematical Analysis 綿陽(yáng)師范學(xué)院 例 2 已知1{ ( , ) s inE x y yx??? ??，確定集 E 的聚點(diǎn)集？ 解 E 的聚點(diǎn)集 為 ? ?? ?1( , ) s in , 0 ( , ) 1 , 1 , 0x y y x x y y xx?? ? ? ? ? ? ?????上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) Mathematical Analysis 綿陽(yáng)師范學(xué)院 開(kāi)集和閉集 開(kāi)集 閉集 若平面點(diǎn)集 E 所屬的每一點(diǎn)都是 E 的內(nèi)點(diǎn)（即in t EE ?），則稱 E 為開(kāi)集 若平面點(diǎn)集 E 的所有聚點(diǎn)都屬于 E ，則稱 E 為閉集 . 若點(diǎn)集 E 沒(méi)有聚點(diǎn) , 這時(shí)也稱 E 為閉集 . }41),{( 221 ???? yxyxE例如， 為開(kāi)集． ? ?? ?dycbxayxS ????? ,|,? ?? ?41|, 22 ???? yxyxD為閉集． 為既非開(kāi)集又非閉集． 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) Mathematical Analysis 綿陽(yáng)師范學(xué)院 結(jié)論 ( 1 ) 、 E 的聚點(diǎn)集 E? 時(shí)稱 E 為閉集 . ( 2 ) 、存在非開(kāi)非閉集 . 2R 和空集 ? 為既開(kāi)又閉集 . 性質(zhì) 若 E為開(kāi)集，則 CE為閉集，若 E為閉集，則 CE為開(kāi)集 。 (1) 開(kāi)集與閉集的對(duì)偶性 (2) 設(shè) F1， F2 為閉集，則 F1∪ F2 和 F1∩ F2 都是閉集 。 (3) 設(shè) E1,E2為開(kāi)集，則 E1∪ E2和 E1∩ E2都為開(kāi)集 。 (4) F為閉集， E為開(kāi)集，則 F\E為閉集， E\F為開(kāi)集 . 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) Mathematical Analysis 綿陽(yáng)師范學(xué)院 ( 1 ) 證 設(shè) E 為開(kāi)集， P 為 C E 的任意一個(gè)聚點(diǎn)，則在 P 點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)都有集合 C E 的無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)，它們不屬于 E ，所以 P 點(diǎn)不可能是 E 的內(nèi)點(diǎn)，從而P 不屬于 E ，即 P ∈ C E ，既然 C E 包含了它所有的聚點(diǎn)，因此 C E 必為閉集 . 如果 E 為閉集，設(shè) P 是 C E 的任意一點(diǎn)， P ? E ，由于 E 為閉集，則 P 不是 E 的聚點(diǎn)，因此存在一個(gè)鄰域 U( P , ? ) ，其中不含 E 的點(diǎn)，即 U( P , ? ) ? C E ，這表明 C E 的任意一點(diǎn)都是 C E 的內(nèi)點(diǎn)，所以 C E 為開(kāi)集 . 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) Mathematical Analysis 綿陽(yáng)師范學(xué)院 x y o E 若 E 不包含邊界 , 則 E 為開(kāi)集 . 若 E 包含邊界 , 則 E 不是開(kāi)集 . 例 3 證明 : 非空平面點(diǎn)集 E 為開(kāi)集的充要條件是 E 中每一點(diǎn)都不是 E 的邊界點(diǎn) . 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) Mathematical Analysis 綿陽(yáng)師范學(xué)院 設(shè) E 為開(kāi)集 , AE?? , 由開(kāi)集定義知 A 為 E 的內(nèi)點(diǎn) . 故 A 不是 E 的邊界點(diǎn) . 證明 “ 必要性” 若 E 中每一點(diǎn)都不是 E 的邊界點(diǎn) .要證 E 為開(kāi)集 . “ 充分性” AE?? , 由于 A 不是 E 的邊界點(diǎn) . 故必存在 A 的一個(gè)鄰域 ? ?,UA ?, 在這個(gè)鄰域 ? ?,UA ?內(nèi) , 或者全是 E中的點(diǎn) , 或者全都不是 E 中的點(diǎn) , 兩者必居其一 . 由于 AE ? , 故后一情形不會(huì)發(fā)生 . 因此 ? ?,UA ?內(nèi)必全是 E 中的點(diǎn) . 故 in tAE ? , 即 i n tEE ? , 所以 E 是開(kāi)集 . 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) Mathematical Analysis 綿陽(yáng)師范學(xué)院 、閉域、區(qū)域 連通性 : B A E 不連通 E 連通 A B 設(shè) E 是一非空平面點(diǎn)集 , ,A E B E? ? ? ?都可用完全含于 E 的折線將它們連接起來(lái) , 則稱 E 為連通集 . 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) Mathematical Analysis 綿陽(yáng)師范學(xué)院 E 是連通集 ,即 E是連成一片的 . 如圖 x + y = 0 x y o x y o 1 1 x2 + y2 = 1 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) Mathematical Analysis