高一數(shù)學同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式-文庫吧
2024-10-22 21:11 本頁面
【正文】 與 t a n α 之間的聯(lián)系 ， 注意公式的正用 、 逆用及變形應(yīng)用 ， 如 1 ＝ s in2α ＋ c o s2α ，s in α ＝ 177。 1 － c o s2α ， s in α ＝ c o s α t a n α ， c o s2α ＝c o s2αs in2α ＋ c o s2α＝1tan2α ＋ 1等 ． 變式探究 11 ： ( 2 0 1 0 年濰坊模擬 ) 已知 s in ( 2π － α ) ＝45， α ∈ (3π2， 2π ) ， 則s in α ＋ c o s αs in α － c o s α等于 ( ) ( A )17 ( B ) －17 ( C ) － 7 ( D ) 7 解析：法一： ∵ s in ( 2π － α ) ＝－ s in α ＝45， ∴ s in α ＝－45， 又 ∵ α ∈ (3π2， 2π ) ， ∴ c o s α ＝ 1 － s in2α ＝ 1 － ? －45?2＝35， 于是s in α ＋ c o s αs in α － c o s α＝－45＋35－45－35＝17，選 A. 法二： 由 s in ( 2π － α ) ＝45得 s in α ＝－45， 又 α ∈ (32π ， 2π ) ， ∴ c o s α ＝35， ta n α ＝－43， ∴s in α ＋ c o s αs in α － c o s α＝tan α ＋ 1tan α － 1＝－43＋ 1－43－ 1＝17，故選 A. 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 【例 2 】 ( 2 0 1 0 年浙江寧波市聯(lián)考 ) 已知 π α 2 π ， c o s ( α － 7π ) ＝－35， 則 s in ( 3π ＋ α ) tan ( α－72π ) 的值為 ( ) ( A )45 ( B )54 ( C )35 ( D )53 思路點撥： 先化簡已知，求出 c o s α 的值，然后化簡結(jié)論并代入求值 ． 解析： ∵ c o s ( α － 7π ) ＝ c o s ( 7π － α ) ＝ c o s ( π － α ) ＝－ c o s α ＝－35， ∴ c o s α ＝35. ∴ s in ( 3π ＋ α ) ta n ( α －72π ) ＝ s in ( π ＋ α ) [ － ta n (72π － α )] ＝ s in α t a n (π2－ α ) ＝ s i n α s i n ?π2－ α ?co s ?π2－ α ? ＝ s i n α co s αs i n α＝ c o s α ＝35. 故選 C. 熟練運用誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式 ， 并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號是解題成敗的關(guān)鍵 ． 另外 ， 切化弦是常用的規(guī)律技巧 ． 變式探究 21 ： ( 2 0 1 0 年廣東惠州模擬 ) 已知 f ( x ) ＝s in ? π － x ? c o s ? 2π － x ? t a n ? － x ＋ π ?c o s ? －π2＋ x ?， 則 f ( －31π3)的值為 ( ) ( A )12 ( B ) －12 ( C )32 ( D ) －32 解析： ∵ f ( x ) ＝s in x c o s x ? － ta n x ?s in x ＝－ c o s x t a n x ＝－ s in x ， ∴ f ( －31π3) ＝－ s in ( －31π3) ＝ s in 31π3 ＝ s in ( 10π ＋π3) ＝ s in π3＝32，故選 C. 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 【例 3 】 已知 s i n ( π － α ) － c o s ( π ＋ α ) ＝23(π2 α π ) ． 求下列各式的值 ： ( 1 ) s in α － c o s α ； ( 2 ) s in3(π2－ α ) ＋ c o s3(π2＋ α ) ． 思路點撥： ( 1 ) 運用誘導(dǎo)公式化簡已知條件可得 s in α ＋ c o s α ＝23，再對其兩邊平方，得2 s i n α c o s α 的值，則可求 ( s in α － c o s α )2的值，進而求 s in α － c o s α 的值 ． ( 2 ) 化簡所求，并分解因式，利用 ( 1 ) 的結(jié)果求解 ． 解： 由 s i n ( π － α ) － c o s ( π ＋ α ) ＝23， 得 s in α ＋ c o s α ＝23， 兩邊平方 ， 得 1 ＋ 2 s i n α c o s α ＝29， 故 2 s i n α c o s α ＝－79. 又π2 α π ， ∴ s in α 0 ， c o s α 0 . ( 1 )(
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