高一數學數列的綜合應用-文庫吧
2025-10-08 09:01 本頁面
【正文】 . (1)求證：數列 {bn}是等差數列； (2)求 {bn}的前 n項和 Sn及 {an}的通項 an； (3)試比較 an與 Sn的大小 ． 思路點撥： (1)利用定義法即可解決 ， (2)先求 {bn}的首項和公差 ， 再求 {an}的首項及公比 ， (3)分情況討論 ． ( 1 ) 證明： ∵ bn＝ l og2an， ∴ bn ＋ 1－ bn＝ l og2an ＋ 1an＝ l og2q 為常數 ， ∴ 數列 { bn} 為等差數列且公差 d ＝ l og2q . 解： ( 2 ) ∵ b1＋ b3＋ b5＝ 6 ， ∴ b3＝ 2 ， ∵ a11 ， ∴ b1＝ l og2a10 ， ∵ b1b3b5＝ 0 ， ∴ b5＝ 0. ∴????? b1＋ 2 d ＝ 2 ，b1＋ 4 d ＝ 0 ，解得????? b1＝ 4 ，d ＝－ 1 ， ∴ Sn＝ 4 n ＋n ? n － 1 ?2 ( － 1 ) ＝9 n － n22. ∵????? l og2q ＝－ 1 ，l og2a1＝ 4 ，∴????? q ＝12，a1＝ 16 ，∴ an＝ 25 － n( n ∈ N*) ． ( 3 ) 顯然 an＝ 25 － n0 ， 當 n ≥ 9 時 ， Sn＝n ? 9 － n ?2≤ 0 ， ∴ n ≥ 9 時 ， an Sn. ∵ a1＝ 16 ， a2＝ 8 ， a3＝ 4 ， a4＝ 2 ， a5＝ 1 ， a6＝12， a7＝14， a8＝18， S1＝ 4 ， S2＝ 7 ， S3＝ 9 ， S4＝ 10 ， S5＝ 10 ， S6＝ 9 ， S7＝ 7 ， S8＝ 4 ， ∴ 當 n ＝ 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 時 ， an Sn； 當 n ＝ 1 , 2 或 n ≥ 9 時 ， an Sn. 在解決等差數列和等比數列綜合題時，恰當地運用等差數列和等比數列的性質可以減少運算量，提高解題速度和準確度，如本例中就合理地應用了等差中項 ． 數列與其他知識的綜合應用 【例 2 】 ( 20 10 年高考安徽卷 ) 設 C1， C2， ? ， Cn， ? 是坐標平面上的一列圓 ， 它們 的圓心都在 x 軸的正半軸上 ， 且都與直線 y ＝33x 相切 ． 對每一個正整數 n ， 圓 Cn都與圓 Cn ＋1相互外切 ， 以 rn表示圓 Cn的半徑 ， 已知 { rn} 為遞增數列 ． ( 1 ) 證明 ： { rn} 為等比數列 ； ( 2 ) 設 r1＝ 1 ， 求數列 {nrn} 的前 n 項和 ． 思路點撥： ( 1 ) 由一列圓的切線 y ＝33x 的斜率，求出切線的傾斜角的正弦值，由正弦定義及圓與圓的位置關系求證； ( 2 ) 由錯位相減法求和 ． ( 1 ) 證明： 將直線 y ＝33x 的傾斜角記為 θ ， 則有 t an θ ＝33， si n θ ＝12. 設 C n 的圓心為 ( λ n , 0 ) ， 則由題意知r nλ n＝12， 得 λ n ＝ 2 r n . 同理 λ n ＋ 1 ＝ 2 r n ＋ 1 ， 從而 λ n ＋ 1 ＝ λ n ＋ r n ＋ r n ＋ 1 ＝ 2 r n ＋ 1 ， 將 λ n ＝ 2 r n 代入 ， 解得 r n ＋ 1 ＝ 3 r n ， 故 { r n } 為公比 q ＝ 3 的等比數列 ． ( 2 ) 解： 由于 r1＝ 1 ， q ＝ 3 ， 故 rn＝ 3n － 1， 從而nrn＝ n 31 － n， 記 Sn＝1r1＋2r2＋ ? ＋nrn， 則有 Sn＝ 1 ＋ 2 3－ 1＋ 3 3－ 2＋ ? ＋ n 31 － n， ① Sn3＝ 1 3－ 1＋ 2 3－ 2＋ ? ＋ ( n － 1 ) 31 － n＋ n 3
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