mit牛人解說(shuō)數(shù)學(xué)體系-文庫(kù)吧
2025-07-20 09:06 本頁(yè)面
【正文】 的范疇遠(yuǎn)不只是這些，我們?cè)诖髮W(xué)一年級(jí)學(xué)習(xí)的微積分只能算是對(duì)古典分析的入門。分析研究 的對(duì)象很多，包括導(dǎo)數(shù)(derivatives)，積分(integral)，微分方程(differential equation)，還有級(jí)數(shù)(infinite series)——這些基本的概念，在初等的微積分里面都有介紹。如果說(shuō)有一個(gè)思想貫穿其中，那就是極限——這是整個(gè)分析（不僅僅是微積分）的靈魂。一 個(gè)很多人都聽(tīng)說(shuō)過(guò)的故事，就是牛頓(Newton)和萊布尼茨 (Leibniz)關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)的爭(zhēng)論。事實(shí)上，在他們的時(shí)代，很多微積分的工具開(kāi)始運(yùn)用在科學(xué)和工程之中，但是，微積分的基礎(chǔ)并沒(méi)有真正建立。那個(gè) 長(zhǎng)時(shí)間一直解釋不清楚的“無(wú)窮小量”的幽靈，困擾了數(shù)學(xué)界一百多年的時(shí)間——這就是“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”。直到柯西用數(shù)列極限的觀點(diǎn)重新建立了微積分的基本 概念，這門學(xué)科才開(kāi)始有了一個(gè)比較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。直到今天，整個(gè)分析的大廈還是建立在極限的基石之上。柯 西(Cauchy)為分析的發(fā)展提供了一種嚴(yán)密的語(yǔ)言，但是他并沒(méi)有解決微 積分的全部問(wèn)題。在19世紀(jì)的時(shí)候，分析的世界仍然有著一些揮之不去的烏云。而其中最重要的一個(gè)沒(méi)有解決的是“函數(shù)是否可積的問(wèn)題”。我們?cè)诂F(xiàn)在的微積分 課本中學(xué)到的那種通過(guò)“無(wú)限分割區(qū)間，取矩陣面積和的極限”的積分，是大約在1850年由黎曼(Riemann)提出的，叫做黎曼積分。但是，什么函數(shù)存 在黎曼積分呢（黎曼可積）？數(shù)學(xué)家們很早就證明了，定義在閉區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)是黎曼可積的。可是，這樣的結(jié)果并不令人滿意，工程師們需要對(duì)分段連續(xù)函數(shù)的 函數(shù)積分。實(shí)分析：在實(shí)數(shù)理論和測(cè)度理論上建立起現(xiàn)代分析在 19世紀(jì)中后期，不連續(xù)函數(shù)的可積性問(wèn)題一直是分析的重要課題。對(duì)于定義在 閉區(qū)間上的黎曼積分的研究發(fā)現(xiàn)，可積性的關(guān)鍵在于“不連續(xù)的點(diǎn)足夠少”。只有有限處不連續(xù)的函數(shù)是可積的，可是很多有數(shù)學(xué)家們構(gòu)造出很多在無(wú)限處不連續(xù)的 可積函數(shù)。顯然，在衡量點(diǎn)集大小的時(shí)候，有限和無(wú)限并不是一種合適的標(biāo)準(zhǔn)。在探討“點(diǎn)集大小”這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)軸——這個(gè)他們?cè)?jīng)以為已 經(jīng)充分理解的東西——有著許多他們沒(méi)有想到的特性。在極限思想的支持下，實(shí)數(shù)理論在這個(gè)時(shí)候被建立起來(lái)，它的標(biāo)志是對(duì)實(shí)數(shù)完備性進(jìn)行刻畫的幾條等價(jià)的定理 （確界定理，區(qū)間套定理，柯西收斂定理，BolzanoWeierstrass Theorem和HeineBorel Theorem等等）——這些定理明確表達(dá)出實(shí)數(shù)和有理數(shù)的根本區(qū)別：完備性（很不嚴(yán)格的說(shuō)，就是對(duì)極限運(yùn)算封閉）。隨著對(duì)實(shí)數(shù)認(rèn)識(shí)的深入，如何測(cè)量“點(diǎn) 集大小”的問(wèn)題也取得了突破，勒貝格創(chuàng)造性地把關(guān)于集合的代數(shù)，和Outer content（就是“外測(cè)度”的一個(gè)雛形）的概念結(jié)合起來(lái)，建立了測(cè)度理論(Measure Theory)，并且進(jìn)一步建立了以測(cè)度為基礎(chǔ)的積分——勒貝格(Lebesgue Integral)。在這個(gè)新的積分概念的支持下，可積性問(wèn)題變得一目了然。上 面說(shuō)到的實(shí)數(shù)理論，測(cè)度理論和勒貝格積分，構(gòu)成了我們現(xiàn)在稱為實(shí)分析 (Real Analysis)的數(shù)學(xué)分支，有些書也叫實(shí)變函數(shù)論。對(duì)于應(yīng)用科學(xué)來(lái)說(shuō)，實(shí)分析似乎沒(méi)有古典微積分那么“實(shí)用”——很難直接基于它得到什么算法。而且， 它要解決的某些“難題”——比如處處不連續(xù)的函數(shù)，或者處處連續(xù)而處處不可微的函數(shù)——在工程師的眼中，并不現(xiàn)實(shí)。但是，我認(rèn)為，它并不是一種純數(shù)學(xué)概念 游戲，它的現(xiàn)實(shí)意義在于為許多現(xiàn)代的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。下面，我僅僅列舉幾條它的用處：1. 黎 曼可積的函數(shù)空間不是完備的，但是勒貝格可積的函數(shù)空間是完備的。簡(jiǎn)單的 說(shuō)，一個(gè)黎曼可積的函數(shù)列收斂到的那個(gè)函數(shù)不一定是黎曼可積的，但是勒貝格可積的函數(shù)列必定收斂到一個(gè)勒貝格可積的函數(shù)。在泛函分析，還有逼近理論中，經(jīng) 常需要討論“函數(shù)的極限”，或者“函數(shù)的級(jí)數(shù)”，如果用黎曼積分的概念，這種討論幾乎不可想像。我們有時(shí)看一些paper中提到Lp函數(shù)空間，就是基于勒 貝格積分。2. 勒貝格積分是傅立葉變換（這東西在工程中到處都是）的基礎(chǔ)。很多關(guān)于信號(hào)處理的初等教材，可能繞過(guò)了勒貝格積分，直接講點(diǎn)面對(duì)實(shí)用的東西而不談它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但是，對(duì)于深層次的研究問(wèn)題——特別是希望在理論中能做一些工作——這并不是總能繞過(guò)去。3. 在下面，我們還會(huì)看到，測(cè)度理論是現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)。拓?fù)鋵W(xué)：分析從實(shí)數(shù)軸推廣到一般空間——現(xiàn)代分析的抽象基礎(chǔ)隨 著實(shí)數(shù)理論的建立，大家開(kāi)始把極限和連續(xù)推廣到更一般的地方的分析。事實(shí) 上，很多基于實(shí)數(shù)的概念和定理并不是實(shí)數(shù)特有的。很多特性可以抽象出來(lái)，推廣到更一般的空間里面。對(duì)于實(shí)數(shù)軸的推廣，促成了點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)(Point set Topology)的建立。很多原來(lái)只存在于實(shí)數(shù)中的概念，被提取出來(lái)，進(jìn)行一般性的
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