【正文】 ) 沒有不犯錯(cuò)誤的人 (6) 在北京工作的人未必都是北京人 使用 ?？ 解： M(x) ： x是人 , L(x， y) ： x與 y一樣高 H(x， y)： x與 y是同一個(gè)人 符號(hào)化： ?x?y(M(x) ? M(y) ? ?H(x， y) ? ? L(x,y)) (7) 一切人都不一樣高 (8) 每個(gè)自然數(shù)都有后繼數(shù) 解： F(x)： x自然數(shù) H(x， y)： y是 x的后繼數(shù) 符號(hào)化： ?x(F(x) ? ?y (F(y) ? H(x， y)) 或： ??x ?y(M(x) ? M(y) ? ?H(x， y) ? L(x,y)) 或： ??x(F(x) ? ?y (F(y) ? ?H(x， y))) 解： F(x)： x是自然數(shù) ， H(x， y)： y是 x的先驅(qū)數(shù) 符號(hào)化： ?x(F(x) ? ?y(F(y) ? ? H(x， y))) 解： F(x)： x是有理數(shù) ， G(x)： x是整數(shù) 符號(hào)化 ： ?x(F(x) ? G(x)) (9) 有的自然數(shù)無先驅(qū)數(shù) (10) 有的有理數(shù)是整數(shù) (個(gè)體域?yàn)閷?shí)數(shù)集 ) 或： ??x(F(x)??y(F(y) ? H(x， y)) 167。 一階邏輯合式公式及解釋 謂詞演算中的合式公式： 原子公式：不出現(xiàn) 命題聯(lián)結(jié)詞 和 量詞 的命題 函數(shù) P(x1, x2,…, xn) ， 其中 x1， x2， … ， xn為個(gè)體變項(xiàng)或常項(xiàng)。 (1) 原子謂詞公式是合式公式 ； (2) 若 A是合式公式，則 ?A也是 ； 一、一階邏輯合式 (謂詞 )公式的概念 (3)若 A和 B是合式公式，則 (A?B),(A?B)， (A?B)和 (A ? B)也是 ； (4)如果 A是合式公式， x是 A中出現(xiàn)的個(gè)體變項(xiàng)，則 (?x)A和 (?x)A是合式公式 ； (5)只有有限次地應(yīng)用規(guī)則 (1)、 (2)、 (3)、 (4)所得到的公式才是合式公式 。 謂詞合式公式即按規(guī)則 (1)、 (2)、 (3)、 (4)、(5)由原子公式、聯(lián)結(jié)詞、量詞及圓括號(hào)組成的字符串，但最外層括號(hào)可以省略。 例 用謂詞 (一階邏輯合式 )公式表示下列命題： (1) 并非每個(gè)實(shí)數(shù)都是有理數(shù)； (2)沒有不犯錯(cuò)誤的人 ； (3) 每個(gè)人都有一些缺點(diǎn)。 解： (1) 設(shè) R(x)： x是實(shí)數(shù)， Q(x)： x是有理數(shù) 對(duì)應(yīng)謂詞公式： ? (?x)(R(x)?Q(x)) 二、應(yīng)用 或： (?x)(R(x) ? ? Q(x)) 解： 設(shè) F(x)： x犯錯(cuò)誤， M(x)： x是人 對(duì)應(yīng)謂詞公式： ? (?x)(M(x) ? ? F(x)) 或： (?x)(M(x) ? F(x)) 解： F(x,y)： x都有 y， M(x)： x是人， G(y)： y是缺點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的謂詞公式： (?x)(?y)(M(x)?(G(y)?F(x,y))) (3) 每個(gè)人都有一些缺點(diǎn) 。 或： (?x) (M(x)?(?y) (G(y)?F(x,y))) (2) 沒有不犯錯(cuò)誤的人 ； 符號(hào)化方法 找到所有的個(gè)體詞 。 是否要引入特性謂詞 。 描述個(gè)體詞性質(zhì)：性質(zhì)謂詞 (一元 )。 描述個(gè)體詞關(guān)系：關(guān)系謂詞 (二元 )。 按原命題的實(shí)際意義進(jìn)行刻劃。 指導(dǎo)變?cè)白饔糜? 在謂詞公式中 ， 形如 (?x)P(x)或 (?x)P(x)的部分 ， 叫做 公式的約束部分 。 量詞 ?， ?后面的 x叫做量詞的 作用變?cè)?， 或指導(dǎo)變?cè)?， P(x)叫做 量詞的作用域 （ 轄域 ） 。 在作用域中 ， x的一切出現(xiàn)為 約束出現(xiàn) ， 非約束出現(xiàn)的其它變?cè)?自由出現(xiàn)變?cè)?。 在謂詞公式中，我們還用到以下概念。 例 . 指出下列合式公式中的指導(dǎo)變?cè)吭~的作用域及變?cè)s束的情況： (1) (?x)(P(x)?(?y)R (x, y)) ； (2) (?x)(?y)(P(x, y)?Q(y, z))?(?x)P(x, y) ； (3) (?x)(P(x)?(?x)Q(x, z)?(?y)R(x, y))?Q(x, y) ； 解： (?y)R(x, y)中 ， 指導(dǎo)變?cè)?y， ?的作用域?yàn)?R(x, y)， 其中 y是約束出現(xiàn) ， x是自由出現(xiàn)的 。 (1) (?x)(P(x)?(?y)R (x,y)) ； 在整個(gè)合式公式中， x是作用變?cè)?(指導(dǎo)變?cè)?), ?的作用域 (P(x)?(?y)R(x, y))， x, y 都是約束出現(xiàn)的，x約束出現(xiàn) 2次， y約束出現(xiàn) 1次。 (2) (?x) (?y) (P(x, y) ? Q(y, z)) ? (?x) P(x, y) 在 (?x)P(x, y)中 ，x是指導(dǎo)變?cè)?， ?的作用域?yàn)?P(x, y)， 其中 x約束出現(xiàn) 1次 ， y自由出現(xiàn) 1次 。 在整個(gè)合式公式中 ，x約束出現(xiàn) 2次 ， y約束出現(xiàn) 2次 ， 自由出現(xiàn) 1次 ，z自由出現(xiàn) 1次 。 解： (?x)(?y)(P(x, y)?Q(y, z))， x,y是作用變?cè)?，兩個(gè)量詞 ?的作用域都是 (P(x,y)?Q(y,z))， 其中 x, y均為約束出現(xiàn)， x約束出現(xiàn) 1次， y約束出現(xiàn) 2次，z為自由出現(xiàn) 1次。 解： (?x)Q(x, z)中 x是作用變?cè)?， ?的轄域?yàn)?Q(x， z)，其中 x 約束出現(xiàn) ， z自由出現(xiàn)； (3) (?x)(P(x) ? (?x)Q(x, z)?(?y)R(x, y))?Q(x, y) ； (?y)R(x, y)中，y是作用變?cè)??的轄域?yàn)?R(x, y)， 其中 y約束出現(xiàn)， x自由出現(xiàn)； 在 (?x)(P(x)?(?x) Q(x,z)?(?y)R(x, y)) 中，作用變?cè)獮?x， ?的作用域?yàn)?(P(x)?(?x)Q(x, z) ?(?y)R(x, y)), 但 Q(x, z)中的 x不是 ?的作用變?cè)?x, y均為約束出現(xiàn)， z自由出現(xiàn)； Q(x, y)中， x, y為自由變?cè)? 在整個(gè)公式中， x約束出現(xiàn) 3次，自由出現(xiàn) 1次 ，y約束出現(xiàn) 1次，自由出現(xiàn) 1次 ， z自由出現(xiàn) 1次。 三、謂詞公式的改寫 考慮到謂詞公式中 ， 有的個(gè)體變項(xiàng)既可以約束出現(xiàn) ， 又可以自由出現(xiàn) ， 為避免這種雙重性 ，以引起混淆 ， 我們要將謂詞公式進(jìn)一步改寫 ，改寫規(guī)則如下 ： (?x)(P(x) ? (?x)Q(x, z)?(?y)R(x, y))?Q(x, y) 1. 換名規(guī)則 ： 將量詞作用域中出現(xiàn)的某個(gè) 約束出現(xiàn) 的個(gè)體變項(xiàng)及對(duì)應(yīng)的指導(dǎo)變項(xiàng)改成另一個(gè)作用域中沒有出現(xiàn)過的個(gè)體變項(xiàng)符號(hào)，公式的其余部分不變。 2. 代替規(guī)則 對(duì)某 自由出現(xiàn) 的個(gè)體變項(xiàng)用與原公式中所有個(gè)體變項(xiàng)符號(hào)不同的變項(xiàng)符號(hào)去代替，且處處代替。 三、謂詞公式的改寫（續(xù)） (1) (?x)(P(x)?(?y)R (x,y)) ； (2) (?x)(?y)(P(x,y)?Q(y,z))?(?x)P(x,y) ； (3) (?x)(P(x)?(?x)Q(x,z)?(?y)R(x,y))?Q(x,y) ； 換名規(guī)則與代替規(guī)則可避免有的個(gè)體變項(xiàng)既可以約束出現(xiàn)，又可以自由出現(xiàn)。試對(duì)下列公式換名或代替 (？ ) 三、謂詞公式的改寫（續(xù)） 解： (1) 不用改寫 (2) 第一步換名 : (?x)(?y)(P(x,y)?Q(y,z))?(?u)P(u,y) ； 第二步代替 : (?x)(?y)(P(x,y)?Q(y,z))?(?u)P(u, v) ； (3) 第一步換名 : (?x)(P(x)?(?u)Q(u,z)?(?y)R(x,y))?Q(x,y) 第二步代替 : (?x)(P(x)?(?u)Q(u,z)?(?y)R(x,y))?Q(s, t) 謂詞合式公式的解釋 (或指派 ) 一個(gè)一階邏輯合式公式中往往含有個(gè)體變項(xiàng)、謂詞變項(xiàng)等，一組使合式公式成為具有確定真值的常項(xiàng)（ 個(gè)體 常項(xiàng)、 謂詞 常項(xiàng)等）就構(gòu)成了一個(gè)公式的 解釋 。 主要包含以下四部分：