初中幾何輔助線大全-最全-文庫吧
2025-07-19 00:50 本頁面
【正文】 線來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。例2． 已知：如圖13，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DC⊥AC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。例3． 已知：如圖14，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：ABAC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1． 如圖21，已知ABAD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。例2． 如圖22，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求證：BC=AB+AD分析：過D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3． 已知如圖23，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：∠BAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1． 已知：如圖31，∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中點(diǎn)。求證：DH=（ABAC）分析：延長CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問題可證。例2． 已知：如圖32，AB=AC，∠BAC=90，AD為∠ABC的平分線，CE⊥：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3．已知：如圖33在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線，可得EA⊥AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。例4． 已知：如圖34，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延長線于M。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作△ABD關(guān)于AD的對(duì)稱△AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對(duì)稱△FCM，然后只需證DF=CF即可。三 由線段和差想到的輔助線線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長補(bǔ)短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。DAECB例1．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180176。，求證：AE=AD+BE。例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108176。，BD平分ABC。DCBA求證：BC=AB+DC。MBDCA例4如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90176。，AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB于M，且AM=MB。求證：CD=DB。1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。EDCBA，△ABC中，∠BAC=90176。，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求證：BD=DE+CE四 由中點(diǎn)想到的輔助線 三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。（一）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，∵M(jìn)E是ΔBCD的中位線，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵M(jìn)F是ΔABD的中位線，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，從而∠BGE=∠CHE。（二）、由中線應(yīng)想到延長中線例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。解：延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=22=4。在ΔACD和ΔEBD中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，從而BE=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90176。，∴BD===，故BC=2BD=2。例4．如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。證明：延長AD到E
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