函數(shù)的奇偶性與周期性-文庫(kù)吧
2025-07-10 05:18 本頁(yè)面
【正文】 )解析：y＝sin x與y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C項(xiàng)y＝sin|x|是偶函數(shù)，x∈(0，＋∞)與x∈(－∞，0)圖象不重復(fù)，無(wú)周期．答案：C(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若對(duì)于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則求f(－2 017)＋f(2 019)的值為_(kāi)_______．解析：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一個(gè)周期．∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0[方法引航] (1)利用周期f(x＋T)＝f(x)將不在解析式范圍之內(nèi)的x通過(guò)周期變換轉(zhuǎn)化到解析式范圍之內(nèi)，以方便代入解析式求值．(2)判斷函數(shù)周期性的幾個(gè)常用結(jié)論．①f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)為周期函數(shù)，周期T＝2|a|.②f(x＋a)＝(a≠0)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期；③f(x＋a)＝－，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期．1．若將本例(2)中“f(x＋2)＝－”變?yōu)椤癴(x＋2)＝－f(x)”，則f(－2 017)＋f(2 019)＝________.解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：02．若本例(2)條件變?yōu)閒(x)對(duì)于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2 017)＋f(2 019)的值．解：由f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(2 019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝2.考點(diǎn)三 函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)、單調(diào)性求解不等式[例3] (1)若函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則使f(x)＞3成立的x的取值范圍為( )A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.化簡(jiǎn)可得a＝1，則＞3，即－3＞0，即＞0，故不等式可化為＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故選C.答案：C(2)函數(shù)f(x)＝是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且＝.①確定函數(shù)f(x)的解析式；②用定義證明f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)；③解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.解：①∵在x∈(－1,1)上f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即b＝0，∴f(x)＝.又∵＝，∴＝.解得，a＝1.∴f(x)＝，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意．②證明：由f′(x)＝＝.x∈(－1,1)時(shí)，1－x2＞0，∴f′(x)＞0∴f(x)在(－1,1)上為增函數(shù)．③由f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)，即f(t－1)＜f(－t)．∴得0＜t＜.(3)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝( )A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x) C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)解析：當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)．答案：C[方法引航] (1)根據(jù)奇偶性求解析式中的參數(shù)，是利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)在定義域內(nèi)恒成立，建立參數(shù)關(guān)系.(2)根據(jù)奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.1．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是________．解析：a－1＋2a＝0，∴a＝.f(x)＝ax2＋bx為偶函數(shù)，則b＝0，∴a＋b＝.答案：2．定義在R上的偶函數(shù)
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