三角函數(shù)公式的推導(dǎo)及公式大全-文庫吧
2025-07-09 18:49 本頁面
【正文】 2) 1－tan^2(α/2)cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 2tan(α/2)tanα＝—————— 1－tan^2(α/2)萬能公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因為cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))然后用α/2代替α即可。同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。三倍角公式⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α＝3sinα－4sin^3(α)cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 3tanα－tan^3(α)tan3α＝—————— 1－3tan^2(α)三倍角公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：tan3α＝sin3α/cos3α＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosαsin2αsinα)＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)上下同除以cos^3(α)，得：tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(13tan^2(α))sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)＝3sinα－4sin^3(α)cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))＝4cos^3(α)－3cosα即sin3α＝3sinα－4sin^3(α)cos3α＝4cos^3(α)－3cosα三倍角公式聯(lián)想記憶記憶方法：諧音、聯(lián)想正弦三倍角：3元 減 4元3角（欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”)）余弦三倍角：4元3角 減 3元（減完之后還有“余”）☆☆注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。和差化積公式⒎三角函數(shù)的和差化積公式 α＋β α－βsinα＋sinβ＝2sin—cos— 2 2 α＋β α－βsinα－sinβ＝2cos—sin— 2 2 α＋β α－βcosα＋cosβ＝2cos—cos— 2 2 α＋β α－βcosα－cosβ＝－2sin—sin— 2 2積化和差公式⒏三角函數(shù)的積化和差公式sinα cosβ＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosα sinβ＝[sin（α＋β）－sin（α－β）]cosα cosβ＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]sinα sinβ＝－ [cos（α＋β）－cos（α－β）]和差化積公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(ab)=sina*cosbcosa*sinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(ab)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(ab))/2同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)sin(ab))/2同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosbsina*sinb,cos(ab)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(ab)=2cosa*cosb所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(ab))/2同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=(cos(a+b)cos(ab))/2這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(ab))/2cosa*sinb=(sin(a+b)sin(ab))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(ab))/2sina*sinb=(cos(a+b)cos(ab))/2好,有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,+b設(shè)為x,ab設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(xy)/2把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((xy)/2)sinxsiny=2cos((x+y)/2)*sin((xy)/2)cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((xy)/2)cosxcosy=2sin((x+y)/2)*sin((xy)/2)利用變角思想. A=(A+B)/2+(AB)/2 B=(A+B)/2(AB)/2 sinA+sinB=sin[(A+B)/2+(AB)/2]+sin[(A+B)/2(AB)/2] =sin[(A+B)/2]*cos[(AB)/2]+cos[(A+B)/2]*sin[(AB)/2]+sin[(A+
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