高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用極值和最值專項(xiàng)訓(xùn)練題(全)-文庫(kù)吧
2025-07-08 13:06 本頁(yè)面
【正文】 數(shù))．當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極值，若函數(shù)f(x)只有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為________答案 0c解析 ∵f(x)＝x3－bx2＋c，∴f′(x)＝x2－2bx，∵x＝2時(shí)，f(x)取得極值，∴22－2b2＝0，解得b＝1.∴當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(－∞，0) 或x∈(2，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增．若f(x)＝0有3個(gè)實(shí)根，則，解得0c11．設(shè)m∈R，若函數(shù)y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的極值點(diǎn)，則m的取值范圍是________．答案 m－解析 因?yàn)楹瘮?shù)y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的極值點(diǎn)，所以y′＝ex＋2m＝0有大于0的實(shí)根．令y1＝ex，y2＝－2m，則兩曲線的交點(diǎn)必在第一象限．由圖象可得－2m1，即m－.12．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸相切于(1,0)，則極小值為________．答案 0解析 f′(x)＝3x2－2px－q，由題知f′(1)＝3－2p－q＝0.又f(1)＝1－p－q＝0，聯(lián)立方程組，解得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，解得x＝1或x＝，經(jīng)檢驗(yàn)知x＝1是函數(shù)的極小值點(diǎn)，∴f(x)極小值＝f(1)＝0.三、解答題13．設(shè)函數(shù)f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．解析 由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，知f′(x)＝cosx＋sinx＋1，于是f′(x)＝1＋sin(x＋)．令f′(x)＝0，從而sin(x＋)＝－，得x＝π，或x＝.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，π)π(π，)(，2π)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增π＋2單調(diào)遞減π單調(diào)遞增因此，由上表知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，π)與(，2π)，單調(diào)遞減區(qū)間是(π，)，極小值為f()＝，極大值為f(π)＝π＋2.14．設(shè)函數(shù)f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.(1)若f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，且x1x2＝1，求實(shí)數(shù)a的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．解析 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.(1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，從而x1x2＝＝1，所以a＝9；(2)由于Δ＝36(a＋2)2－4182a＝36(a2＋4)0，所以不存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)．15．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝x2(ax－3)，其中a為常數(shù)．(1)若x＝1是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,0)上是增函數(shù)，求a的取值范圍．解析 (1)f(x)＝ax3－3x2，f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．∵x＝1是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f′(1)＝0，∴a＝2.(2)解法一 ①當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x2在區(qū)間(－1,0)上是增函數(shù)，∴a＝0符合題意；②當(dāng)a≠0時(shí)，f′(x)＝3ax(x－)，令f′(x)＝0得：x1＝0，x2＝.當(dāng)a0時(shí)，對(duì)任意x∈(－1,0)，f′(x)0，∴a0符合題意；當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)x∈(，0)時(shí)，f′(x)0，∴≤－1，∴－2≤a0符合題意；綜上所述，a≥－2.解法二 f′(x)＝3ax2－6x≥0在區(qū)間(－1,0)上恒成立，∴3ax－6≤0，∴a≥在區(qū)間(－1,0)上恒成立，又
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