【正文】 出并可以進(jìn)一步求得式中向真正解逼近了一步，如果再以它們作為初值重復(fù)解式(228)型修正方程式，并按式(229)對(duì)變量進(jìn)行修正，就構(gòu)成了牛頓法的迭代過(guò)程。 一般第t次迭代時(shí)的修正方程式為或者簡(jiǎn)寫(xiě)為式中：為第t次迭代時(shí)函數(shù)的誤差向量；稱為第t次迭代時(shí)的雅可比矩陣；為第t次迭代時(shí)的修正量向量。同樣，也可以寫(xiě)出類似于式(229)的算式這樣，反復(fù)交替解式(231)及式(235)就可以使逐步趨近方程式的真正解。為了判斷收斂情況，可采用以下兩個(gè)不等式中的一個(gè)：式中：及分別表示向量及的最大分量的絕對(duì)值；和為預(yù)先給出的很小正數(shù)。 修正方程式 ，它們?cè)谂ｎD法潮流程序中都有應(yīng)用[14]。雖然它們?cè)诘襟E上沒(méi)有差別，但其修正方程式則各有特點(diǎn)。當(dāng)采用極坐標(biāo)的數(shù)學(xué)模型[式(2l3)]時(shí)，待求量是各節(jié)點(diǎn)電壓的幅值和角度、。對(duì)節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，節(jié)點(diǎn)i電壓幅值是給定的，不再作為變量。同時(shí)，該點(diǎn)不能預(yù)先給定無(wú)功功率，這樣，方程式中，也就失去了約束作用。因此，在迭程中應(yīng)該取消與節(jié)點(diǎn)有關(guān)的無(wú)功功率方程式。只有當(dāng)這迭代結(jié)束后，即各節(jié)點(diǎn)電壓向量求得以后，才利用這些方程式來(lái)求各節(jié)點(diǎn)應(yīng)維持的無(wú)功功率。同樣道理，由于平衡節(jié)點(diǎn)電壓幅值及相角都是給定量，因此與平衡節(jié)點(diǎn)有關(guān)的方程式也不參與這迭代過(guò)程。迭代結(jié)束后，我們利用平衡節(jié)點(diǎn)的功率方程式來(lái)確定其有功功率及無(wú)功功率。設(shè)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)總數(shù)為n，節(jié)點(diǎn)共r個(gè)。為了敘述方便，我們把平衡節(jié)點(diǎn)排在最后，即設(shè)為第n節(jié)點(diǎn)，則潮流計(jì)算要解的方程式應(yīng)包括此式中共包含n1個(gè)方程式；及此方程組共包括個(gè)方程式。以上方程式的待求量為各節(jié)點(diǎn)電壓的角度以及電壓幅值，其中共有個(gè)。由于中不包括節(jié)點(diǎn)的電壓幅值，所以共有個(gè)。這樣，未知量共有個(gè)，恰好可由以上個(gè)方程式求出。將式(238)、式(239)按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，略去高次項(xiàng)后，即可得到修正方程式式中電壓幅值的修正量采用的形式并沒(méi)有什么特殊意義，只不過(guò)為了使雅可比矩陣中各元素具有比較相似的表達(dá)式。 利用簡(jiǎn)單的微分運(yùn)算對(duì)式(2 3)或?qū)κ?238)、式(239)取偏導(dǎo)數(shù)，并注意式中、均為常數(shù)，不難得到雅可比矩陣中各元素的表達(dá)式：或修正方程式（240）還可以寫(xiě)成更為簡(jiǎn)單的形式對(duì)照式(2—40＞不難看出式中各符號(hào)的意義。有時(shí)，為了程序上處理方便也可把修正方程式排成下列形式：上式與式(240)在本質(zhì)上并無(wú)任何不同。 當(dāng)采用直角坐標(biāo)時(shí)，潮流問(wèn)題的待求量為各節(jié)點(diǎn)電壓的實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)分量。由于平衡節(jié)點(diǎn)電壓向量是給定的，因此待求量共2(n1)個(gè)，需要2(n1)個(gè)方程式。事實(shí)上，除平衡節(jié)點(diǎn)的功率方程式在迭代過(guò)程中沒(méi)有約束作用以外，其余每個(gè)節(jié)點(diǎn)都可列出兩個(gè)方程式。對(duì)PQ節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，、是給定的，因而可以寫(xiě)出對(duì)節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，給定量是、因此可以列出式(252)和式(253)共包括2(n1)個(gè)方程式。將它們按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，略去高次項(xiàng)后，即可得到修正方程式，寫(xiě)成矩陣的形式如下：根據(jù)式(252)、式(253)，利用簡(jiǎn)單的微分運(yùn)算不難求得上式雅可比矩陣中各元素的以上為對(duì)角元素。當(dāng)i=j時(shí)：利用式（211）可以改寫(xiě)為同樣得到以上得到的兩種坐標(biāo)系統(tǒng)修止方程式，是牛頓法潮流程序中需要反復(fù)求解的基本方程式。研究以上公式，不難看出這兩種修正方程式有以下持點(diǎn)：(1)修正方程式(254)顯然是2(n1)階的，修正方程式(240)的階數(shù)為2(n1)r。由于系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)數(shù)(r)一般較少，所以也是接近2(n1)階的方程組。(2)由兩種坐標(biāo)系統(tǒng)雅可比短陣非對(duì)角元素的表示式(241)、式(244)、式(246)、式(248)以及式(255)可以看出，它們只與導(dǎo)納矩陣中某一個(gè)元素有關(guān)。因此，當(dāng)導(dǎo)納矩陣中元素為零時(shí)，修正方程式系數(shù)矩陣中相應(yīng)元素也為零，即修正方程式系數(shù)矩陣與導(dǎo)納矩陣具有相同的結(jié)構(gòu)，因此修正方程式系數(shù)矩陣也是稀疏矩陣。(3)由雅可比矩陣各元素的表達(dá)式可以看出，兩種坐標(biāo)系統(tǒng)修正方程式的系數(shù)矩陣都是不對(duì)稱的，例如很容易驗(yàn)證以及等等。 (4)兩種修正方程式的系數(shù)矩陣——雅可比矩陣中諸元素都是節(jié)點(diǎn)電壓向量的函數(shù)，因此在迭代過(guò)程中，它們將隨著各節(jié)點(diǎn)電壓向量的變化而不斷變化。這一點(diǎn)是影響午頓法潮流程序計(jì)算效率最重要的因素，因?yàn)椴粌H每次迭代都要重新計(jì)算雅可比矩陣元素，而且還需重新進(jìn)行三角分解。因此，對(duì)牛頓法潮流程序的改進(jìn)，大多是針對(duì)這一問(wèn)題。例如，文獻(xiàn)[12]提出當(dāng)采用直角坐標(biāo)時(shí)，如果以注入電流[見(jiàn)式(24)]構(gòu)成潮流方程，則其修正方程式的雅可比矩陣中非對(duì)角元素將為常數(shù)，從而提高求解效率。文獻(xiàn)[13]則建議采用部分更新雅可比矩陣元素以減少運(yùn)算量。限于篇幅，不再詳述。兩種坐標(biāo)系統(tǒng)的修正方程式給牛頓法潮流程序也帶來(lái)一些差異。當(dāng)采用極坐標(biāo)表示式時(shí)，程序中對(duì)節(jié)點(diǎn)處理比較方便。當(dāng)采用直角坐標(biāo)時(shí)，在迭代過(guò)程中避免了三角函數(shù)的運(yùn)算，因而每次迭代速度略快一些?！阏f(shuō)來(lái)，這些差異并不十分顯著。在牛頓法潮流程序中，兩種坐標(biāo)系統(tǒng)都有應(yīng)用。關(guān)于對(duì)兩種坐標(biāo)系統(tǒng)的修正方程式的比較，可參考文獻(xiàn)[14]。日前廣泛采用的PQ分解法是從極坐標(biāo)系統(tǒng)牛頓法潮流程序演化而來(lái)的。因此，下一節(jié)將主要根據(jù)直角坐標(biāo)表示式(254)型的修正方程式討論牛頓法潮流程序。以下討論用直角坐標(biāo)形式的牛頓法潮流的求解過(guò)程。在牛頓法潮流程序中，電力網(wǎng)絡(luò)是用導(dǎo)納矩陣來(lái)描述的。由式(252)、式(253)、式(255)、式(256)可知，其中的運(yùn)算都以導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)，因此在程序中應(yīng)首先形成導(dǎo)納矩陣。牛頓法潮流求解過(guò)程大致分為以下幾個(gè)步驟：(1)給定各節(jié)點(diǎn)電壓初值、。(2)將電壓初值、代入式(252)、式(253)，求修正方程式的常數(shù)項(xiàng)、。(3)將電壓初值代入式(255)、式(256)中求修正方程式系數(shù)矩陣(雅可比矩陣)各元素。(4)解修正方程式(254)，求修正量、。(5)修正各節(jié)點(diǎn)電壓向量：(6)以、代入式(252)、式(253)個(gè)求、。(7)校驗(yàn)是否收斂，如收斂，則進(jìn)而求各支路潮流并打印輸出計(jì)算結(jié)果，否則再以、為初值，返回第(3)步驟進(jìn)行下—次迭代。牛頓法潮流程序的原理框圖如圖23所示。圖23以及上述求解步驟只是從原理上簡(jiǎn)要地介紹了牛頓法的計(jì)算過(guò)程，它們和實(shí)際的應(yīng)用程序還有一些差別。如前所述，牛頓法求解潮流問(wèn)題的過(guò)程，實(shí)際上是不斷形成并求解修正方程式的過(guò)程。如何處理修正方程式對(duì)于內(nèi)存要求和計(jì)算速度有著決定性的影響，因此，在下一節(jié)具體討論修正方程式的構(gòu)成及解法以后，才能進(jìn)一步給出牛頓法潮流程序的實(shí)用框圖。圖23 牛頓法潮流程序原理框圖現(xiàn)在我們僅就與修正方程式處理無(wú)關(guān)的問(wèn)題作簡(jiǎn)單的介紹。牛頓法的收斂性比較好，一般潮流計(jì)算通常迭代6~7次就能收斂到非常精確的解，而且迭代次數(shù)與電力系統(tǒng)規(guī)模關(guān)系不大。從理論上講，牛頓法具有平方收斂的特性，但它對(duì)初始值要求比較高。當(dāng)初始值選擇得不恰當(dāng)時(shí)，可能出現(xiàn)不收斂，或者收斂到實(shí)際電力系統(tǒng)無(wú)法運(yùn)行的解。這種情況是牛頓法本身引起的。如前所述，牛頓法的實(shí)質(zhì)是把非線性方程的求解轉(zhuǎn)化為反復(fù)求解修正方程式的過(guò)程，這種“逐次線性化”是建立在、非常小，因而其高次項(xiàng)可以忽略不計(jì)的假定之上的。當(dāng)初值和真正解相差較大時(shí)，高次項(xiàng)就不能忽略，從而牛頓法就失去了迭代的基礎(chǔ)。一般電力系統(tǒng)在正常運(yùn)行情況下，各節(jié)點(diǎn)運(yùn)行在額定電壓附近，各節(jié)點(diǎn)電壓相角差不會(huì)很大。在這時(shí)，初值采用“平啟動(dòng)”方式，即牛頓法都能給出比較滿意的結(jié)果。在圖23中，我們采用的收斂條件是式中：表示向量中最大分量的絕對(duì)值。這個(gè)收斂條件比較直觀，用它可以直接控制最終結(jié)果的功率誤差。當(dāng)采用標(biāo)么值進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以取或，如果以100MVA作為基值，這實(shí)際電力系統(tǒng)計(jì)算來(lái)說(shuō)已經(jīng)相當(dāng)精確。 由圖23可知，在利用牛頓法計(jì)算系統(tǒng)潮流時(shí)，每次迭代都要重新形成雅可比矩陣并且對(duì)它進(jìn)行消去運(yùn)算，因此，每迭代一次要求的運(yùn)算量相當(dāng)大，降低了牛頓法潮流程序的計(jì)算速度。由前面雅可比矩陣元素的表達(dá)式可知，在迭代過(guò)程中特別是趨于收斂時(shí)，由于電壓變化而引起雅可比矩陣元素的變化不會(huì)很大()，因此，為了提高牛頓法潮流程序的計(jì)算速度，可以在形成雅可比矩陣后，用同一雅可比矩陣連續(xù)進(jìn)行幾次迭代。 修正方程式的求解 牛頓法在20世紀(jì)50年代末期就已用于解決電力系統(tǒng)潮流問(wèn)題，并采用了高斯消去法求解修正方程式。這時(shí)出現(xiàn)的矛盾是其內(nèi)存量及運(yùn)算量隨著系統(tǒng)的擴(kuò)大而急劇地增長(zhǎng)。如前所述，牛頓法修正方程式的階數(shù)為2(n1)，因此需要個(gè)內(nèi)存單元貯存整個(gè)系數(shù)矩陣，而且求解線性方程式的運(yùn)算量在某些情況下達(dá)到乘加運(yùn)算，這樣就限制了牛頓法的應(yīng)用和推廣。 20世紀(jì)60年代中期，人們對(duì)牛頓法修正方程式的稀疏性進(jìn)行了深入研究，在求解線性方程式的過(guò)程中充分利用了稀疏線性方程的特點(diǎn)，避免了對(duì)雅可比矩陣中大量零元素的貯存和運(yùn)算，這樣就大大節(jié)約了內(nèi)存單元并且顯著地減少了運(yùn)算量，從而提高了計(jì)算速度。當(dāng)采用節(jié)點(diǎn)編號(hào)優(yōu)化時(shí)，還可以保證修正方程式系數(shù)矩陣在消去過(guò)程中增加的非零元素最少，使求解修正方程式所需要的內(nèi)存量及運(yùn)算量可減少到幾乎與系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目成線性關(guān)系，從而使牛頓法成為求解電力系統(tǒng)潮流問(wèn)題時(shí)應(yīng)用最廣泛的方法之一[7]。下面我們以圖24所示的簡(jiǎn)單系統(tǒng)為例，說(shuō)明牛頓法潮流程序在求解修正方程式過(guò)程中的一些算法特點(diǎn)。圖中節(jié)點(diǎn)3及節(jié)點(diǎn)6為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)，其中節(jié)點(diǎn)3為節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)6為平衡節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)均為節(jié)點(diǎn)。該系統(tǒng)的導(dǎo)納矩陣結(jié)構(gòu)如下：圖24 簡(jiǎn)單電力系統(tǒng)修正方程式中不包括與平衡節(jié)點(diǎn)有關(guān)的方程，因此修正方程的形狀應(yīng)為式中：常數(shù)項(xiàng)可按式（2952）求得：或者寫(xiě)成由式（256）可知修正方程式中對(duì)角元素為式(261)和式(262)中都含有節(jié)點(diǎn)i注入電流的分量，為了求及雅可比矩陣中對(duì)角元素，主要運(yùn)算集中在求及上。節(jié)點(diǎn)i注入電流分量只與i行導(dǎo)納矩陣及相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的電壓分量有關(guān)[見(jiàn)式(21I)]，因此，我們只要順序取導(dǎo)納矩陣中的第i行各元素及相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的電壓分量作簡(jiǎn)單的乘加運(yùn)算，即可積累求和得到。當(dāng)求出后，與節(jié)點(diǎn)i的電壓分量按式(261)作乘加運(yùn)算再與節(jié)點(diǎn)i給定的功率，就可得到。式(260)中雅可比矩陣非對(duì)角元素的表示式為顯然，非對(duì)角線元素只與導(dǎo)納矩陣中相應(yīng)的元素及該節(jié)點(diǎn)的電壓分量有關(guān)。從對(duì)角元素的達(dá)式(262)也可以看出，其中除了節(jié)點(diǎn)i注入電流分量以外，也只有導(dǎo)納矩陣中對(duì)角元素，與該點(diǎn)電壓分量乘加運(yùn)算而得到的結(jié)果。 綜上分析，使我們?cè)诔绦虻奶幚砩夏馨研纬尚拚匠淌降倪^(guò)程變成逐行取導(dǎo)納矩陣中元素并與相應(yīng)節(jié)點(diǎn)電壓分量作簡(jiǎn)單乘加運(yùn)算的過(guò)程。 當(dāng)節(jié)點(diǎn)i為PV節(jié)點(diǎn)時(shí)，的方程式要用的方程式來(lái)代替，其左端的常數(shù)項(xiàng)及雅可比矩陣元素由式(253)、式(256)中有關(guān)公式不難求得形成修正方程式是牛法潮流程序中很重要的一步，它對(duì)整個(gè)牛頓法程序的效率有很大的影響。因此，在編制程序時(shí)，必須對(duì)以上公式進(jìn)行深入細(xì)致的分析，從中找出規(guī)律性的東西，盡量減少重復(fù)性的運(yùn)算。 在利用高斯消去法求解修正方程時(shí)，通常是按行消去的。與式(260)對(duì)應(yīng)的增廣矩陣是消去與節(jié)點(diǎn)l及節(jié)點(diǎn)2有關(guān)的方程以后，增廣矩陣演化如下所示：可以看出，當(dāng)消去與節(jié)點(diǎn)2有關(guān)的方程式(第三行及第四行)時(shí)，所有運(yùn)算與節(jié)點(diǎn)3及以后的方程式完全無(wú)關(guān)。因此，在按行消去過(guò)程中，可以采取形成一行立即消去一行的方式。式中等帶上標(biāo)“”元素為消去過(guò)程中新增加的非零元素。為了使消去過(guò)程中新增加的非零元素最少，在正式計(jì)算之前，應(yīng)對(duì)節(jié)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行優(yōu)化()。帶上標(biāo)“”的元素表示該元素已參與了運(yùn)算。由于在程序上采用邊形成邊消去邊貯存的方式，因而對(duì)于新注入的非零元素不需要預(yù)留位置，從而使程序簡(jiǎn)化。消去結(jié)束時(shí)，修正方程式的增廣矩陣演化為最后利用一般回代方法即可將等演化為。由以上的討論可以得到圖25所示的程序框圖，它比圖24更能反映實(shí)際程序。圖中R表示平衡節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)號(hào)?？驁D中的修正方程式的求解過(guò)程可以利用一般高斯消去法。在程序中對(duì)修正方程式采取了按節(jié)點(diǎn)邊形成邊消去的過(guò)程，在形成雅可比矩陣元素的同時(shí)積累數(shù)項(xiàng)，顯著地減少了迭代過(guò)程的運(yùn)算量。【21】利用牛頓法計(jì)算圖26所示系統(tǒng)的潮流分布圖25 牛頓法潮流程序原理圖圖26 簡(jiǎn)單模型系統(tǒng) 【解】按照?qǐng)D25所示牛頓法潮流程序原理框圖進(jìn)行汁算。迭代計(jì)算以前的準(zhǔn)備工作包括形成導(dǎo)納矩陣和送電壓初值。由例[11]可知，該系統(tǒng)的導(dǎo)納矩陣為各節(jié)點(diǎn)的電壓初值如表21所示根據(jù)式(252)、式(253)可建立修正方程式常數(shù)項(xiàng)(誤差項(xiàng))的算式：根據(jù)式(255)、式(256)可以得到雅可比矩陣各元素的算式：這樣，按照式（260），就可以得到第一次迭代時(shí)的修正方程式：式中：黑體數(shù)字為雅可比矩陣中各行絕對(duì)值最大的元素。顯然，按這種排列，各行最大元素都不在對(duì)角元素的位置上。必須指出，這種情況的出現(xiàn)并非偶然。由上式可以看出，各行