正十七邊形尺規(guī)作圖與詳解-文庫吧
2025-06-13 04:29 本頁面
【正文】 將寫有這道題目的紙條交給了學(xué)生。 在這件事情發(fā)生后，高斯曾回憶說：“如果有人告訴我，那是一道千古難題，我可能永遠(yuǎn)也沒有信心將它解出來?！?1796年3月30日，當(dāng)高斯差一個月滿十九歲時，在期刊上發(fā)表《關(guān)于正十七邊形作圖的問題》。他顯然以此為自豪，還要求以后將正十七邊形刻在他的墓碑上。然而高斯的紀(jì)念碑上并沒有刻上十七邊形，而刻著一顆十七角星，原來是負(fù)責(zé)刻紀(jì)念碑的雕刻家認(rèn)為：“正十七邊形和圓太像了，刻出來之后，每個人都會誤以為是一個圓?！?877年布雷默爾奉漢諾威王之命為高斯做一個紀(jì)念獎?wù)隆Ｉ厦婵讨骸皾h諾威王喬治V. 獻(xiàn)給數(shù)學(xué)王子高斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi)”，自那之后，高斯就以“數(shù)學(xué)王子”著稱于世。二、高斯正十七邊形尺規(guī)作圖的思路（這里是純?nèi)欠ǎ┳髡哌呅蔚年P(guān)鍵是作出cos，為此要建立求解cos的方程?！ ≡O(shè)正17邊形中心角為α，則17α＝2π，即16α＝2π－α 故sin16α＝－sinα ，而 sin16α＝2sin8α cos8α＝4sin4α cos4α cos8α＝8 sin2α cos2α cos4α cos8α＝16 sinα cosα cos2α cos4α cos8α 因sinα ≠0，兩邊除以sinα，有 16cosα cos2α cos4α cos8α＝－1由積化和差公式，得4(cosα＋cos3α)(cos4α＋cos12α)＝－1展開，得4(cosα cos4α＋cosα cos12α＋cos3α cos4α＋cos3α cos12α)＝－1再由積化和差公式，得2[(cos3α＋cos5α)＋(cos11＋cos13α)＋(cosα＋cos7α)＋(cos9α＋cos15α)]＝－1注意到 cos11α＝cos6α，cos13α＝cos4α，cos9α＝cos8α，cos15α＝cos2α，有 2(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－1設(shè) a＝2(cosα+ cos2α+cos4α+ cos8α)，b＝2(cos3α+ cos5α+cos6α+ cos7α)，則 a＋b＝－1 又ab＝2(cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α)2(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α) ＝4cosα(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos2
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