【正文】 至右滑動(dòng)，滑動(dòng)距離視需要而定。這樣處理后我們便得到一系列的局部塊，這樣做塊邊界可能會(huì)出現(xiàn)重疊，不過(guò)我們可以在重疊部分做平均得到最后結(jié)果。接下來(lái)我們推廣上述局部塊上的高斯去噪模型，基元組已知，對(duì)圖像做MAP估計(jì)（24）變?yōu)? （25）是一個(gè)基元組。上式也可表述為 （26）在（25）中，第一項(xiàng)是整體對(duì)數(shù)似然，要求之間的處理過(guò)的含噪圖像和它的已去噪（未知）圖像X相接近。作為約束，此懲罰項(xiàng),這反映了和之間的關(guān)系。第二項(xiàng)和第三項(xiàng)說(shuō)明每個(gè)大小為的局部塊在有限誤差內(nèi)都有一個(gè)稀疏表達(dá)。 模型優(yōu)化求解 在建立上述模型過(guò)程中，我們一直都假設(shè)基元組是已知的。對(duì)于基元組，采用離散余弦變換（DCT）確實(shí)是一個(gè)相當(dāng)不錯(cuò)的選擇。當(dāng)然我們還可以考慮通過(guò)使用簡(jiǎn)單和高效率的KSVD算法自適應(yīng)地學(xué)習(xí)得到基元組。在訓(xùn)練學(xué)習(xí)時(shí)，我們考慮兩個(gè)方案：1）從噪聲圖像本身中學(xué)習(xí)基元組；2）從一組高質(zhì)量圖片中的圖像塊中學(xué)習(xí)。如果使用DCT基元組，模型的優(yōu)化求解大致分為兩個(gè)部分，分別為求稀疏表達(dá)系數(shù)和去噪圖像；如果自適應(yīng)地學(xué)習(xí)基元組，那么問(wèn)題迭代求解過(guò)程中還應(yīng)包含基元組的更新。 采用DCT基元組優(yōu)化模型假定基元組已知，（26）模型的優(yōu)化求解分為兩個(gè)部分，分別要求每個(gè)局部塊上的稀疏表達(dá)系數(shù)和整體去噪圖像。我們從初始化開始，尋找最優(yōu)值。問(wèn)題（1） （27）在每一個(gè)圖像塊上，采用正交匹配追蹤（OMP）對(duì)稀疏表達(dá)系數(shù)求解。使用標(biāo)準(zhǔn)正交匹配追蹤，一次加一個(gè)基元，當(dāng)誤差小于T時(shí)停止。因此，這個(gè)階段又稱稀疏編碼階段，隨著滑動(dòng)的窗口在每個(gè)塊上同時(shí)運(yùn)算。得到了所有的稀疏表達(dá)系數(shù)后，我們現(xiàn)在可以固定它們的值然后開始求解。于是有問(wèn)題（2） （28）對(duì)這個(gè)問(wèn)題數(shù)值求解，我們可以建立能量函數(shù)，極小化即。其中，===因此，令=0，則即得 （29）（29）的計(jì)算可以在每一個(gè)像素點(diǎn)上進(jìn)行，按照前面描述的滑動(dòng)窗口稀疏編碼的步驟，但需要在邊界處做平均處理。當(dāng)我們得到后，我們可以重復(fù)迭代，在已經(jīng)去噪圖像上的圖像塊上著手繼續(xù)稀疏編碼階段，等等。這個(gè)過(guò)程即是我們通過(guò)稀疏表達(dá)來(lái)迭代去除噪聲[13][15]。 全局學(xué)習(xí)基元組優(yōu)化模型從一張高質(zhì)量樣例圖像中取出一組圖像塊，每個(gè)圖像塊大小為，我們搜尋基元組D通過(guò)最小化 （210）我們?cè)噲D尋找中每個(gè)圖像塊的稀疏表達(dá)，并獲得一個(gè)較小的表達(dá)誤差。首先我們要將和分開計(jì)算，初始化為DCT基元組，（210）即為一組稀疏編碼運(yùn)算，類似（27）。因此，可以繼續(xù)使用OMP獲得近似最優(yōu)的稀疏表達(dá)系數(shù)。然后再固定稀疏表達(dá)系數(shù)，使用K–SVD算法每次將基元組每列更新一次。這種更新是最優(yōu)的，使得滿足SVD可以在剩余基元組上運(yùn)算，只在使用這一列的圖像塊上計(jì)算。經(jīng)過(guò)以上處理，的值在每個(gè)基元組基元的每次更新都是下降的，并隨著更新，稀疏表達(dá)系數(shù)也隨著優(yōu)化[6][7]。 自適應(yīng)學(xué)習(xí)基元組優(yōu)化模型從含噪的圖像中選取大小為的圖像塊，其。回到（26），我們可以將看做未知的，并定義我們的模型為 （211） 根據(jù)先前構(gòu)建的算法，我們可以初始化基元組和整體去噪圖像，和先前的處理一樣設(shè)為DCT基元組。接下來(lái)使用OMP算法展開稀疏編碼階段計(jì)算稀疏表達(dá)系數(shù)。得出稀疏表達(dá)系數(shù)后使用一系列KSVD運(yùn)算即可以對(duì)基元組進(jìn)行更新。 輸出圖像應(yīng)用（29）式可以得到。但是，對(duì)輸出圖像的迭代更新改變了噪音水平，我們?cè)谙∈璞磉_(dá)系數(shù)迭代和基元組更新時(shí)使用相同的值。 迭代求解算法綜合上述討論，下面介紹如何采用稀疏表達(dá)進(jìn)行圖像去噪的具體算法流程。算法如下：任務(wù)：對(duì)加入了高斯噪聲的含噪圖像進(jìn)行去噪。算法參數(shù)：圖像塊大小，基元組大小，迭代訓(xùn)練次數(shù)，拉格朗日算子，噪聲強(qiáng)度。，初始化：令，=超完備DCT基元組。迭代次： ①稀疏編碼階段：在每個(gè)圖像塊上，使用OMP算法計(jì)算稀疏表達(dá)系數(shù)： . . ②基元組更新階段：對(duì)基元組中的每一列=1,2，……， i找出使用這列的圖像塊，. ii對(duì)指數(shù)，計(jì)算它的表達(dá)誤差 . iii基元組的列向量由組成. .通過(guò)乘更新稀疏表達(dá)系數(shù)為的系數(shù). 3．令： 3 基于稀疏線性表達(dá)的椒鹽噪聲去噪模型本章要討論如何應(yīng)用稀疏表達(dá)去除椒鹽噪聲，椒鹽噪聲的形式如下：， （31）椒鹽噪聲的特點(diǎn)是：這種噪聲的噪聲值不是連續(xù)變化，圖像像素點(diǎn)在該噪聲影響下以一定的概率變?yōu)闃O值灰度值，例如0或者255,，因此它表現(xiàn)為圖像某些點(diǎn)特別暗或特別亮，類似我們的胡椒粉和晶體鹽的亮度的感覺(jué)，所以叫椒鹽噪聲。如果采用上一章建立的經(jīng)典的稀疏表達(dá)模型對(duì)椒鹽噪聲做去噪處理，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果會(huì)非常不理想，即經(jīng)典模型對(duì)椒鹽噪聲失效。本章將研究如何對(duì)經(jīng)典模型進(jìn)行改進(jìn)，使得新的模型對(duì)椒鹽噪聲有較好的去噪效果。改進(jìn)的基本想法是：在經(jīng)典稀疏表達(dá)模型中，通過(guò)引入能夠反映像素點(diǎn)噪聲可能性的權(quán)重函數(shù)，使得經(jīng)典稀疏表達(dá)模型中主要使用未受噪聲影響的像素進(jìn)行學(xué)習(xí)稀疏表達(dá)系數(shù)，從而消除椒鹽噪聲點(diǎn)對(duì)系數(shù)學(xué)習(xí)的影響。本章的第一節(jié)將介紹如何建立新的帶權(quán)稀疏表達(dá)模型；第二節(jié)我們主要關(guān)注分析該模型如何數(shù)值求解；在第三節(jié)將解決算法求解過(guò)程中初始化問(wèn)題并給出具體的迭代算法流程。 模型的建立首先我們需要分析經(jīng)典稀疏表達(dá)模型對(duì)椒鹽噪聲去噪失效的原因：在經(jīng)典稀疏表達(dá)模型中，重建誤差用范數(shù)測(cè)度，該范數(shù)假定了它的稀疏表達(dá)誤差是高斯的，所以蘊(yùn)含的是高斯噪聲模型，因此能夠很好的建模高斯噪聲。但是針對(duì)椒鹽噪聲圖像有如下特點(diǎn)：圖像像素點(diǎn)或者完全沒(méi)有受到噪聲影響或者受到影響完全變成過(guò)亮點(diǎn)或者過(guò)暗點(diǎn)。如果應(yīng)用范數(shù)測(cè)度描述時(shí)會(huì)顯得非常不魯棒，使得學(xué)習(xí)到的基元表達(dá)系數(shù)受到椒鹽噪聲的嚴(yán)重影響，影響去噪精度。因此我們需要設(shè)計(jì)一種更為魯棒的重構(gòu)誤差，我們嘗試采用如下改進(jìn)：引入對(duì)圖像像素點(diǎn)的噪聲可能性的權(quán)重函數(shù)，并建立帶權(quán)的稀疏表達(dá)模型，減少噪聲點(diǎn)對(duì)稀疏表達(dá)模型的影響。通過(guò)上面的分析我們可以重新建立起一個(gè)新的模型，我們將新的模型分為兩個(gè)子問(wèn)題：①在給定基元組的情況下，如何學(xué)習(xí)每個(gè)圖像塊上的稀疏線性組合系數(shù)；②給定圖像塊的稀疏線性組合形式，如何通過(guò)優(yōu)化重建去噪圖像。整個(gè)模型優(yōu)化形式如下：（1）給定，這里初始為原來(lái)的噪聲圖像，假設(shè)已知，設(shè)為DCT基元組 （32）（2）給定。 （33）其中的為一個(gè)反映像素點(diǎn)為噪聲點(diǎn)可能性的函數(shù)。其定義如下： （34）我們采用中值濾波去噪方法結(jié)果初始化，并不斷迭代更新。越大反映對(duì)應(yīng)像素點(diǎn)是噪聲點(diǎn)的可能性越小；反之，越小反映對(duì)應(yīng)像素點(diǎn)是噪聲點(diǎn)的可能性越大。新的模型中問(wèn)題（1）主要是對(duì)稀疏表達(dá)系數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，相較于經(jīng)典稀疏表達(dá)模型我們加入了反映像素噪聲可能性的權(quán)重向量，之所以做這種處理，是因?yàn)槿绻苄?，即像素點(diǎn)是噪聲點(diǎn)的可能性越大，對(duì)應(yīng)的像素點(diǎn)在稀疏表達(dá)模型中起到的作用越小；而如果很大，即象素點(diǎn)更可能沒(méi)有受到噪聲的影響，因此其對(duì)應(yīng)像素點(diǎn)在稀疏表達(dá)模型中的作用更大?？偠灾?，就是我們盡可能只使用圖像中那些受噪聲影響較小的點(diǎn)學(xué)習(xí)稀疏表達(dá)系數(shù)。這樣做便可以減少噪聲點(diǎn)對(duì)稀疏表達(dá)系數(shù)學(xué)習(xí)的影響。新的模型中的問(wèn)題（2）在給出稀疏線性組合形式下，通過(guò)優(yōu)化重建去噪圖像。我們可以看出式（33）中第一個(gè)懲罰項(xiàng)和第二個(gè)懲罰項(xiàng)相互競(jìng)爭(zhēng)。如果是噪聲點(diǎn)可能性越大，則越小，越大，式（33）在極小化過(guò)程中第二個(gè)懲罰項(xiàng)作用更大，對(duì)此項(xiàng)做極小化處理意味著要求與我們學(xué)習(xí)得到的基元組稀疏表達(dá)形式相像。反之，如果是噪聲點(diǎn)的可能性越小，則越大，就越小，式（33）在極小化過(guò)程中第一個(gè)懲罰項(xiàng)作用更大，對(duì)此項(xiàng)做極小化處理意味著要求與原來(lái)的圖像相像。 模型優(yōu)化求解模型的優(yōu)化求解分為兩個(gè)部分，分別為求稀疏表達(dá)系數(shù)和去噪圖像。首先我們先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，假定基元組D已知，設(shè)為DCT基元組。對(duì)問(wèn)題（1）， （35）與經(jīng)典模型的區(qū)別在于在第一個(gè)懲罰項(xiàng)中加入了權(quán)重向量，將上式寫為， （36）問(wèn)題的求解同經(jīng)典稀疏表達(dá)模型類似，我們?nèi)匀徊捎谜黄ヅ渥粉櫍∣MP）對(duì)稀疏表達(dá)系數(shù)求解。對(duì)問(wèn)題（2），對(duì)能量函數(shù)做極小化處理，令，令，則== = = （37） pp px(p)y(p)w(p)(c)權(quán)重W(b)含噪圖像Y(a)圖像X圖31：圖像X、Y及權(quán)重W示意圖圖1直觀展示了上述推導(dǎo)過(guò)程中的某些量,表示圖像X中點(diǎn)的灰度值，表示圖像Y中點(diǎn)的灰度值，表示點(diǎn)權(quán)重值；表示以點(diǎn)為中心的圖像塊像素點(diǎn)向量表示，同理；表示以點(diǎn)為中心的圖像塊中點(diǎn)的灰度值，，同理；=。 迭代求解算法基于上述討論，我們下面將給出迭代求解實(shí)現(xiàn)椒鹽噪聲去噪的具體算法步驟。步驟如下：任務(wù)：對(duì)加入了椒鹽噪聲的含噪圖像進(jìn)行去噪。算法參數(shù)：圖像塊大小，基元組大小，迭代訓(xùn)練次數(shù)，拉格朗日算子，噪聲強(qiáng)度。①給定，；②給定，初始化：用中值濾波對(duì)噪聲圖像做去噪處理得到初始去噪圖像，采用高斯函數(shù)，=超完備DCT基元組。迭代次： ：在每個(gè)圖像塊上，使用OMP算法計(jì)算稀疏表達(dá)系數(shù)： . . ： ：4 實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)中，我們將在標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像上實(shí)驗(yàn)高斯噪聲和椒鹽噪聲去噪算法。第一部分我們將展示對(duì)兩個(gè)樣例圖片lena和barbara加上高斯噪聲，然后分別使用基于DCT基元組、全局基元組和自適應(yīng)基元組的經(jīng)典稀疏表達(dá)模型對(duì)圖片去噪；在第二部分中我們對(duì)boat和lena兩個(gè)樣例圖片加入椒鹽噪聲，先分別使用基于DCT基元組的經(jīng)典稀疏表達(dá)模型去噪，然后再使用基于DCT基元組的改進(jìn)模型對(duì)其進(jìn)行去噪處理，這樣做可以方便地比較兩種去噪模型對(duì)椒鹽噪聲的實(shí)際去噪效果。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中我們使用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)據(jù)測(cè)試：所有要處理的圖片大小為512512，DCT基元組大小為64256，用來(lái)處理圖像塊的大小為88像素，高斯噪聲模型中我們?cè)O(shè)，椒鹽噪聲模型中噪聲強(qiáng)度統(tǒng)一為P=。 （a）加入高斯噪聲lena圖 (b)采用DCT基元組去噪結(jié)果 (c)全局基元組去噪結(jié)果 (d)自適應(yīng)基元組去噪結(jié)果圖2：對(duì)lena圖像(高斯噪聲)采用DCT、全局基元組及自適應(yīng)基元組去噪結(jié)果 高斯噪聲去噪實(shí)驗(yàn)我們對(duì)lena和barbara兩個(gè)樣例圖片加上高斯噪聲，然后分別使用基于DCT基元組，全局基元組和自適應(yīng)基元組的經(jīng)典稀疏表達(dá)模型對(duì)圖片去噪. (a)加入高斯噪聲barbara圖 (b)采用DCT基元組去噪結(jié)果 (c)全局基元組去噪結(jié)果 (d)自適應(yīng)基元組去噪結(jié)果圖3：對(duì)“barbara”圖像加入高斯噪聲并分別采用DCT、全局基元組及自適應(yīng)基元組去噪結(jié)果表41：含高斯噪聲圖像及使用各基元組去噪結(jié)果PSNR值比較PSNR(dB)lenabarbara噪聲圖像DCT基元組去噪全局基元組去噪自適應(yīng)基元組去噪從表41中我們可以看出，對(duì)“l(fā)ena”和“barbara”兩張樣例圖片加入的高斯噪聲，使用基于稀疏線性表達(dá)的高斯噪聲去噪模型分別采用DCT基元組，全局基元組和自適應(yīng)基元組對(duì)圖像做去噪處理，均可以達(dá)到較滿意的去噪效果。 椒鹽噪聲去噪實(shí)驗(yàn)我們對(duì)“boat”和“l(fā)ena”兩個(gè)樣例圖片加入椒鹽噪聲，先分別使用DCT基元組的經(jīng)典稀疏表達(dá)模型去噪，然后再使用DCT基元組的改進(jìn)模型對(duì)其進(jìn)行去噪處理。 (a)加入椒鹽噪聲“boat”圖 (b)高斯噪聲稀疏表達(dá)模型去噪結(jié)果(c)我們的去噪結(jié)果圖4：對(duì)“boat”圖像加入椒鹽噪聲并分別采用DCT基元組的經(jīng)典去噪模型和改進(jìn)模型去噪結(jié)果 (a)加入椒鹽噪聲的“l(fā)ena”圖 (b)高斯噪聲稀疏表達(dá)模型去噪結(jié)果 (c)我們的去噪結(jié)果圖5：對(duì)“l(fā)ena”圖像加入椒鹽噪聲并分別基于DCT基元組采用經(jīng)典去噪模型和改進(jìn)模型去噪結(jié)果表42：含椒鹽噪聲圖像及兩種模型去噪結(jié)果PSNR值比較PSNR(dB)boatlena加入椒鹽噪聲圖像經(jīng)典高斯去噪模型改進(jìn)的去噪模型表42中所得的數(shù)據(jù)表明，對(duì)加入椒鹽噪聲的兩張樣例“boat”和“l(fā)ena”分別使用基于DCT基元組的經(jīng)典模型和改進(jìn)模型對(duì)其去噪處理，經(jīng)典模型得出的結(jié)果仍留有不少噪聲點(diǎn)，去噪效果差強(qiáng)人意，