【正文】 求的電壓幅值。為滿足此條件，可只保留節(jié)點電壓的相位角，而將其幅值用給定值代替進行修正，即 ()?計算節(jié)點的無功功率。第次迭代的節(jié)點無功功率計算式為 ()?用式（）計算所得的無功功率，應(yīng)該滿足下面的約束條件，即如果則應(yīng)令；如果，則應(yīng)令。上述情況表明無功功率已達到極限值，不能再用調(diào)節(jié)無功功率來保持PV節(jié)點的電壓值。此時由于無功功率已限定為極限值，因而PV節(jié)點就轉(zhuǎn)變?yōu)镻Q節(jié)點，故計算應(yīng)按PQ節(jié)點進行。完成上述三步計算后，才可應(yīng)用式（）計算節(jié)點電壓的新值。對于平衡節(jié)點，由于電壓的幅值和相位角為給定值，故無需迭代計算。每次迭代完成后，應(yīng)根據(jù)給定的任意小數(shù)，用下面的迭代收斂判據(jù)檢驗，即如果該式滿足時，停止迭代計算，或即為所求得的節(jié)點電壓。求出節(jié)點電壓后，即可計算各條線路的潮流、平衡節(jié)點功率以及各支路的功率損耗。： () 線路功率計算示意圖由于式（）中的為平衡節(jié)點，故平衡節(jié)點的功率可以代入式（）求出。即 ()各線路上損耗的功率為 () 牛頓拉夫遜潮流計算牛頓拉夫遜潮流計算的核心問題是雅可比修正方程的建立和求解。為說明這一修正方程式的建立過程，首先對網(wǎng)絡(luò)中各類節(jié)點的編號作如下的約定：（1） 網(wǎng)絡(luò)中共有個節(jié)點，編號為，其中1個平衡節(jié)點，編號為。（2）網(wǎng)絡(luò)中有個PQ節(jié)點，編號為，其中包括編號為的平衡節(jié)點。（3）網(wǎng)絡(luò)中有個PV節(jié)點，編號為。?直角坐標形式的牛頓拉夫遜潮流計算、無功功率與電壓幅值方程。式中，、與分別為節(jié)點i的注入有功功率、無功功率與電壓幅值；與分別為節(jié)點i電壓的實部與虛部，并且；與分別為支路的電導(dǎo)與電納，與為節(jié)點i的自電導(dǎo)與自電納。 ()對于PQ節(jié)點，其功率誤差方程可表示為 ()式中 、——節(jié)點i的給定有功功率、無功功率。對于PV節(jié)點，其有功功率、電壓誤差方程可表示為 ()由于平衡節(jié)點只有一個，電壓不參加迭代，其電壓為 ()上述的功率誤差方程和電壓誤差方程構(gòu)成的方程組即為牛頓拉夫遜法潮流計算所要求解的非線性方程組。非線性方程組中的待求量為各節(jié)點的電壓的實部和虛部。除了一個平衡節(jié)點的電壓已知外，共有個未知數(shù)待求。在具有個獨立節(jié)點的電力系統(tǒng)中，PQ節(jié)點有個，PV節(jié)點有個，則有功功率誤差方程共有個，無功功率誤差方程共有個，電壓誤 差方程共有個所以上述非線性方程組中共有方程個，與方程中的未知個數(shù)相同，方程組有唯一的非零解。把各個節(jié)點的電壓變量用初始值與修正值的形式表示為將此關(guān)系式帶到式（）、式（）中，在初值、附近的、范圍內(nèi)將其展開為泰勒級數(shù)，略去含有、的二次以上各項就可得到修正方程。省略掉迭代次數(shù)的符號，可寫出其矩陣形式為()式中雅可比矩陣的各個元素分別為：非對角線元素時： ()對角元素時： ()分析上述表達式可以看到，雅可比矩陣具有以下特點：1） 各元素是節(jié)點電壓的函數(shù)，每迭代一次各節(jié)點電壓都要發(fā)生改變，因而各元素也隨之發(fā)生變化；2） 非對稱矩陣；3） 互導(dǎo)納時，與之對應(yīng)的非對角線元素亦為零，此外因非對角線元素 ，故雅可比矩陣是稀疏矩陣。牛頓拉夫遜潮流計算的主要流程可簡述如下：a. 形成導(dǎo)納矩陣；b. 設(shè)置各節(jié)點電壓初始值、c. 將初始值代入式（）、（），計算各節(jié)點功率及電壓的偏移量；d. 運用式（）、式（）計算雅可比矩陣中的各個元素；e. 解修正方程式（），求出各個節(jié)點電壓的修正量、f. 求新的電壓初始值，其公式為 g. 用新的初始值代入式（）、式（），計算新的各個節(jié)點功率及電壓偏移、和；h. 檢查計算是否已經(jīng)收斂，由式（）可知，如電壓趨近與真實解時，其功率偏移量趨向零。因而其收斂判據(jù)為其中為預(yù)先給定的小數(shù)。若不收斂返回到第（3）步重新迭代，若收斂進行下一步。i. 計算各線路中的功率分布及平衡節(jié)點功率，最后打印出來計算的結(jié)果。各線路中的功率平衡節(jié)點功率可安式（）及式（）計算。開始形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣輸入原始數(shù)據(jù)設(shè)節(jié)點電壓，i=1,2…,n,is置迭代次數(shù)置節(jié)點號i=1按式（218），（219）計算雅克比矩陣元素按式（214）計算節(jié)點的，節(jié)點的，求解修正方程式，得，雅克比矩陣是否已全部形成？計算平衡節(jié)點及PV節(jié)點功率求，迭代次數(shù) k=k+1i=i+1？潮流計算完成計算各節(jié)點電壓的新值： 牛頓拉夫遜潮流計算直角坐標式的流程圖?極坐標形式的牛頓拉夫遜潮流計算節(jié)點電壓不僅可以用直角坐標形式表示，也可以用極坐標形式表示。因此，牛頓拉夫遜潮流計算時的修正方程還有另一種表達形式。為建立極坐標形式的修正方程式，可仍令，但令（為第i個節(jié)點的電壓相角，為第i個節(jié)點與第j個節(jié)點的電壓相角之差：）。由此，可以將式（）改寫為 ()對于具有個獨立節(jié)點，其中有個PV節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)，式（）組成的方程中共有個方程式。采用極坐標表示時，方程組個數(shù)較采用直角坐標表示少個。因?qū)V節(jié)點，采用極坐標表示時，待求的只有電壓的相角和注入無功功率，而采用直角坐標表示時，待求的有電壓的實數(shù)部分、虛數(shù)部分和注入無功功率。所以極坐標形式的牛頓拉夫遜潮流計算的未知變量少了個，方程數(shù)也相應(yīng)少了個。這樣可建立修正方程式的矩陣形式為： ()式中 是階方陣；是階矩陣；是階矩陣；是階方陣。各矩陣的元素分別為： ()將式（）代入（）求偏導(dǎo)數(shù)可得雅可比矩陣中各元素的表達式如下：非對角線元素： ()對角線元素： ()3 稀疏存儲技術(shù)在科學(xué)計算與工程分析中，常常需要處理一類稀疏性的數(shù)據(jù)，這類數(shù)據(jù)所包含的零元素比例較大，而非零元素所占比例小，我們將此類數(shù)據(jù)稱之為稀疏數(shù)據(jù)。所謂稀疏技術(shù)，是指通過設(shè)計算法和編制程序，盡可能避免儲存稀疏數(shù)據(jù)中的零元素以及對這些元素進行計算。稀疏存儲技術(shù)的核心內(nèi)容是只存儲與非零元素相關(guān)的信息，從而節(jié)省儲存空間并提高計算機的運算速度。具體的操作方式有很多，如果按照存儲原理可以分為兩大類：一是靜態(tài)數(shù)組結(jié)構(gòu)存儲方法，二是動態(tài)鏈式結(jié)構(gòu)存儲方法。 靜態(tài)數(shù)組結(jié)構(gòu)存儲方法此類方法采用靜態(tài)數(shù)組存儲稀疏矩陣非零元素的數(shù)值和位置信息，常用的方法有散居格式、按行（列）存儲格式、三角檢索存儲格式等。 散居格式在散居格式中，對階稀疏矩陣A，其非零元素共有個，令是A中第i行第j列非零元素?？梢远x三個數(shù)組，按下面的存儲格式存儲矩陣A中非零元素的信息：——存儲中非零元素的值，共個——存儲中非零元素的行指標i，共個 ——存儲中非零元素的列指標j，共個 因此，散居格式存儲稀疏矩陣時，共需要3個存儲單元。在散居格式中，矩陣A中非零元在數(shù)組中的位置可任意排列，修改靈活。但是，其存儲順序無一定規(guī)律，檢索起來不方便，最差的情況下可能性要在整個數(shù)組中查找一遍。 按行（列）存儲格式按行（列）存儲格式的原理是按行(列)順序依次存儲階矩陣A中的非零元，同一行(列)元素依次排在一起。以按行為例，其存儲格式是：——按行存儲矩陣A中非零元的值，共個；——按行存儲矩陣A中非零元的列號，共個；——記錄A中每行第一個非零元素在VA中的位置，共個。由按行（列）存儲格式的特點，要查找第i行的非零元素,在中取出從到共個非零元就是A中第i行的全部非零元,非零元的值是，列號為。要查找第i行第j列的元素在中的位置，則對k從到，判斷列號是否等于j，如果相等，那么就是要查找的非零元 三角檢索存儲格式用三角檢索存儲格式來存儲非零元素的方法，特別適用于稀疏矩陣的三角分解。以按行、列存儲階矩陣A的上下三角部分非零元素為例來說明三角檢索存儲格式的原理。其存儲格式是：U ——存儲矩陣A的上三角部分的非零元素的值，按行依次存儲JU——存儲矩陣A的上三角部分的非零元素的列號IU——存儲矩陣A中上三角部分每行第一個非零元素在U中的位置(首地址)L ——存儲矩陣A中下三角部分的非零元素的值，按列依次存儲IL——存儲矩陣A的下三角部分的非零元素的行號JL——存儲矩陣A中下三角部分每列第一個非零元素在L中的位置(首地址)D ——存儲矩陣A的對角元素的值，其檢索下標不需要存儲三角檢索存儲格式示例：則矩陣A的存儲可表示為：IU（3）為4，表明矩陣A上三角部分第3行的第1個非零元如果有的話應(yīng)在U的第4個位置，而U表中第4個位置沒有非零元素，為了檢索方便，IU(3)仍應(yīng)賦值4。有了IU表即可知道A的上三角部分第i行的非零元的數(shù)目。如果要查找矩陣A的上三角第i行所有非零元素，只要取出從到共個元素即可，JU(k)指出了該元素的列號，U(k)是該非零元素的值。對于按列存儲的格式進行查找的情況類同。在矩陣A的稀疏結(jié)構(gòu)已確定的情況下使用三角檢索存儲格式是十分方便的。但是如果在計算過程中，矩陣A的稀疏結(jié)構(gòu)發(fā)生了改變，即其中的非零元素的分布位置發(fā)生變化，相應(yīng)的檢索信息也要隨之變化，這時用三角檢索存儲格式很不方便。靜態(tài)數(shù)組結(jié)構(gòu)存儲稀疏矩陣通常采用鏈表存儲，常用的方法有帶行指針數(shù)組的單鏈表表示法、十字鏈表表示法以及二叉單元鏈表數(shù)組等。 帶行指針數(shù)組的單鏈表表示法在這種存儲結(jié)構(gòu)中，需要把具有相同行號的三元組節(jié)點按照列號從小到大順序鏈接成一個單鏈表。稀疏矩陣中的每一行對應(yīng)一個單鏈表，每一個單鏈表都有一個表頭指針，為了把它們保存起來，便于訪問每一個單鏈表，需要使用一個行指針向量（即一維數(shù)組），該向量中的第各分量（即對應(yīng)數(shù)組下標為的元素）用來存儲稀疏矩陣中第行所對應(yīng)的單鏈表的表頭指針。 帶行指針向量的鏈表存儲結(jié)構(gòu) 十字鏈表表示法十字鏈表存儲就是既帶行指針向量又帶列指針向量的鏈接存儲。在這種鏈接存儲中，每個三元組結(jié)點既處于同一行的單鏈表中，又處于同一列的單鏈表中，即處于所在的行單鏈表和列單鏈表的交點處。十字鏈表實質(zhì)上是動態(tài)鏈表，主要用于存儲稀疏矩陣。十字鏈表包括5個域：行號(row)、列號(col)、值(val)、向下指針(down)、向右指針(right)。向下指針用來指向同列下一個節(jié)點中的非零元素，向右指針用來指向同行下一個節(jié)點中的非零元素，若不存在下一個節(jié)點，則對應(yīng)的指針域為空值。在稀疏矩陣的十字鏈表存儲中，需要使用兩個指針向量，一個是行指針向量，用來存儲行單鏈表的表頭指針，另一個是列指針向量，用來存儲列單鏈表的表頭指針。， 十字鏈表單元 4階矩陣 十字鏈表結(jié)構(gòu) 二叉單元鏈表數(shù)組普通一維稀疏數(shù)組可以采用帶行指針數(shù)組的單鏈表存儲。(a)所示，單鏈表結(jié)構(gòu)中每個節(jié)點包含非零元素的元素值、編號等信息以及與該節(jié)點相連的下一個非零元素地址(next)，另外，還需要有一個指針 (head) 指向第一個非零元素存儲單元。本文在帶行指針數(shù)組的單鏈表的每個節(jié)點中增加了一個指針(next2)指向一個新的存儲單元，每一個節(jié)點就形成二叉節(jié)點，(b)所示。新開辟的存儲單元用于存儲與對應(yīng)節(jié)點相關(guān)的其他信息，由此形成一維二叉單元鏈表。(c)所示，新開辟的存儲單元用于存放對應(yīng)元素是否大于10 的標志信息flag：若大于10，flag 置1，若小于10，置0。(a) 一維數(shù)組(b) 單鏈表結(jié)構(gòu)(c) 一維二叉單元鏈表結(jié)構(gòu) 一維向量與二叉單元鏈表結(jié)構(gòu)一維二叉單元鏈表用來存儲一維稀疏數(shù)組及其對應(yīng)的相關(guān)信息。對于NN 的二維稀疏數(shù)組，如果將每一行看作是1個一維稀疏數(shù)組，則該NN的二維數(shù)組可以由N 個一維稀疏數(shù)組組成。若將每個一稀疏數(shù)組均采用一維二叉鏈表存儲，另外生成一個輔助指針數(shù)組用于存儲N 個一維二叉鏈表的頭地址，則得到本文提出的二叉單元鏈表數(shù)組。在此，新開辟的存儲單元同樣用于放置對應(yīng)元素是否大于10 的信息flag，或大于10，flag 置1，若小于10，置0。 二叉單元鏈表數(shù)組4 用于牛頓拉夫遜潮流計算的稀疏技術(shù) 節(jié)點分塊雅可比矩陣在電力系統(tǒng)潮流計算中，雅可比矩陣的形成、方程組求解都是以雅可比矩陣為處理對象的。因此，研究雅可比矩陣的特點對提高潮流計算具有重要的意義。傳統(tǒng)的雅可比矩陣將有功功率、無功功率和電壓幅值對電壓實部或虛部的偏導(dǎo)數(shù)、和按類別分區(qū)后排列，形成、和子陣，然后再構(gòu)成形如的傳統(tǒng)雅可比矩陣。如將傳統(tǒng)的雅可比矩陣分塊，將每一個節(jié)點或節(jié)點與節(jié)點之間的鏈接看成一個整體單元，即可形成以階子陣、構(gòu)成的分塊雅可比矩陣。?直角坐標形式的分塊雅可比矩陣對于子陣：非對角線元素為 對角線元素為 對于子陣：非對角線元素為 對角線元素為 對于子陣：非對角線元素為 對角線元素為 對于子陣：非對角線元素為 對角線元素為 對于子陣：非對角線元素為 對角線元素為 對于子陣：非對角線元素為 對角線元素為 二層鏈表的應(yīng)用利用分塊雅可比矩陣和節(jié)點導(dǎo)納矩陣同結(jié)構(gòu)的特點，結(jié)合十字鏈表、二叉單元鏈表以及表頭指針，創(chuàng)建二層鏈表。二層鏈表的上層為十字鏈表，用來存儲節(jié)點分塊雅可比矩陣(Jac)；二層鏈表的下層為二叉單元鏈表，用來存儲節(jié)點導(dǎo)納矩陣。由于雅可比矩陣與節(jié)點導(dǎo)納矩陣的結(jié)構(gòu)相同，則二叉單元鏈表中每個節(jié)點的指針項可以指向十字鏈表中的對應(yīng)單元。因此，二層鏈表將上下兩層的非零單元有機結(jié)合，實現(xiàn)了導(dǎo)納矩陣非零元素定位查詢分塊雅可比子陣的功能。 二層鏈表 二層鏈表的改進用于牛頓拉夫遜潮