斐波那契數(shù)列畢業(yè)論文斐波那契數(shù)列的應用本科論文-文庫吧
2025-06-12 14:50 本頁面
【正文】 那么，由一對初生兔子開始，12個月后會有多少對兔子呢?(假設(shè)所有兔子都健康成長，中途不死掉) 兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那么新出生的一對小兔子一年以后可以繁殖多少對兔子?圖一表示兔子的繁殖規(guī)律，黑點表示一對小兔子，紅點表示一對大兔子，黑線表示一對小兔子長大成為一對大兔子或者表示一對大兔子生出一對小兔子（如圖1）：則由第一個月到第十二個月兔子的對數(shù)分別是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，??，這個數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列．這個數(shù)列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。所以斐波那契數(shù)列的定義為：數(shù)列F1,F2,…,Fn,…滿足 F1=F2=1 。Fn=Fn1+Fn2n≥3則稱此數(shù)列為斐波那契（Fibonacci）數(shù)列很有趣的是：這樣一個完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項公式居然是用無理數(shù)來表達的。它的通項公式為：an=151+52n152n斐波那契數(shù)列又因數(shù)學家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。又或者，斐波那契數(shù)列還可以由生活中一個很有意思的例子來引入：走樓梯問題。問題是這么提出的：問題：某人可以一步登一個臺階，也可以一步登二個臺階，問他登上n個臺階的方式又有多少種？解答：假設(shè)此人登上n臺階的方式有An種。若第一步登了一階，則登上n階臺階的方式有An1種；若第一步登了二階，則登上n階臺階的方式有An2種，于是An=An1+An2 (n≥3)此時容易得到A1=1，A2=2，于是這是一個刪除了首項的斐波那契數(shù)列，所以 An=Fn+1=1+52n+1152n+15推導方法 1 先求滿足遞推關(guān)系an=an1+an2 1的等比數(shù)列an，其中an=a1qn1。于是（1）變形為a1qn1=a1qn2+a1qn3 整理為q2=q+1用求根公式可解得q=1177。52可見，滿足條件（1）的等比數(shù)列有兩個公比q1=1+52和q2=152如果等比數(shù)列an滿足條件a1=a2=1，則公比為1，即不等于q1也不等于q2，因此不可能滿足條件（1）。但是，如果將滿足條件（1）的兩個等比數(shù)列a，aq1，aq12，…，aq1n1…與b，bq2，bq22，…，bq2n1，… 逐項相加得到數(shù)列=an+bn=a+b，aq1+bq2，aq12+bq22，…，aq1n1+bq2n1，… （2）則數(shù)列（2）仍滿足條件（1），如果能適當選擇a，b使c1=c2=1，即 a+b=1aq1+bq2=1 （3）則就符合斐波那契數(shù)列Fn所滿足的所有條件。容易看出，滿足條件的斐波那契數(shù)列Fn是唯一的。因此滿足條件（3）的a，b決定的數(shù)列（2）就是所求的斐波那契數(shù)列。 由于q1，q2已知,所以可以將條件（3）看成以a，b為未知數(shù)的二元一次方程組，解之得a=q21q2q1，b=1q1q2q1從而Fn=aq1n1+bq2n1=q1n1q21+q2n11q1q2q1.又由于q1+q2=1，q21=q1，1q1=q2，又q2q1=5，因此Fn=q2nq1nq2q1=1+52n152n5.所以這里得到了斐波那契數(shù)列的通項公式Fn=1+52n152n5推導方法1的關(guān)鍵是：滿足條件（1）的兩個等比數(shù)列an，bn之和仍滿足條件（1）（一般不再是等比數(shù)列），適當選擇an，bn就可以使的前兩項都等于1。推導方法 2 初等代數(shù)法已知 a1=1 a2=1 an=an1+an2首先，構(gòu)建等比數(shù)列設(shè)an+αan1=βan1+αan2化簡得an=βαan1+αβan2與式（1）比較系數(shù)可得：βα=1αβ=1不妨設(shè)β0，α0解得α=512β=5+12所以有an+αan1=βan1+αan2，即an+αan1為等比數(shù)列。求出等比數(shù)列an+αan1由以上可得：an+1+αan=a2+αa1βn+1 =1+αβn+1 =βn變形得：an+1βn+1+αβanβn=1β。令bn=anβn求數(shù)列bn進而得到anbn+1+αβbn=1β設(shè)bn+1+γ=αβbn+γ，解得γ=1α+β。故數(shù)列bn+γ為等比數(shù)列即 bn+γ=αβn1b1+γ。而b1=α1β=1β，故有bn+γ=αβn11β+γ又有α=512β=5+12和bn=anβn可得an=1+52n152n5得出an表達式an=1+52n152n5至此，我們就推導出了斐波那契數(shù)列的通項公式。推導方法 3 大家都知道斐波那契數(shù)列的性質(zhì)是從第三項開始，后面每一項是前面兩項的和，即數(shù)列要滿足式（1）的條件，而式（1）屬于線性遞歸數(shù)列，此數(shù)列有其一般的表達式為：Pan+qan
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