集合與常用邏輯用語,函數(shù)知識總結(jié)大全-文庫吧
2025-06-07 17:38 本頁面
【正文】 數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或的實(shí)數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實(shí)數(shù)的集合分別記做．注意：對于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須．（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實(shí)數(shù)．②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)．③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實(shí)數(shù)的集合．④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1．⑤中，．⑥零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．⑦若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域?yàn)?，其?fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出．⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論．⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義．（4）求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法： ①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．③判別式法：若函數(shù)可以化成一個系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程，則在時，由于為實(shí)數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值．⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．⑧函數(shù)的單調(diào)性法（5）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種． 解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．（6）映射的概念①設(shè)、是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則，對于集合中任何一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合，以及到的對應(yīng)法則）叫做集合到的映射，記作．②給定一個集合到集合的映射，且．如果元素和元素對應(yīng)，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．二．函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性是研究函數(shù)在定義域內(nèi)某一范圍的圖象整體上升或下降的變化趨勢，是研究函數(shù)圖象在定義域內(nèi)的局部變化性質(zhì)。⑴函數(shù)單調(diào)性的定義 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間．如果對于區(qū)間內(nèi)的______兩個值，當(dāng)時，都有_____，那么在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，稱為的單調(diào)_____區(qū)間. 如果對于區(qū)間內(nèi)的______兩個值，當(dāng)時，都有_____，那么在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，那么函數(shù)在區(qū)間上具有________.點(diǎn)評 單調(diào)性的等價定義：①在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時，有；②在區(qū)間上是減函數(shù)當(dāng)時，有；⑵函數(shù)單調(diào)性的判定方法①定義法；②圖像法；③復(fù)合函數(shù)法；④導(dǎo)數(shù)法；⑤特值法（用于小題），⑥結(jié)論法等.注意：①定義法（取值——作差——變形——定號——結(jié)論）：設(shè)且，那么在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)。②導(dǎo)數(shù)法（選修）：在區(qū)間內(nèi)處處可導(dǎo)，若總有（），則在區(qū)間內(nèi)為增（減）函數(shù)；反之，在區(qū)間內(nèi)為增（減）函數(shù)，且處處可導(dǎo)，則（）。請注意兩者之間的區(qū)別，可以“數(shù)形結(jié)合法”研究。點(diǎn)評 判定函數(shù)的單調(diào)性一般要將式子進(jìn)行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化處理，以利于判斷符號；證明函數(shù)的單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。提醒 求單調(diào)區(qū)間時，不忘定義域；多個單調(diào)性相同的區(qū)間不一定能用符號“”連接；單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示。判定函數(shù)不具有單調(diào)性時，可舉反
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