【正文】 性問題。假如在電力系統(tǒng)有一瞬時性小干擾，在擾動消失后，系統(tǒng)能恢復(fù)到原始運(yùn)行狀態(tài)；而在一個永久性的小干擾作用下，系統(tǒng)經(jīng)歷一個暫態(tài)過程后，能達(dá)到一個新的穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)，則這一系統(tǒng)被認(rèn)為是靜態(tài)穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)在小干擾下將是靜態(tài)不穩(wěn)定的。最早，電力系統(tǒng)穩(wěn)定問題出現(xiàn)在遠(yuǎn)距離輸電線路上，所以可以用單臺發(fā)電機(jī)經(jīng)過線路與無窮大功率母線相連的簡單系統(tǒng)[圖1a]來進(jìn)行研究分析。這里，無窮大功率母線表示與該母線相連的受端系統(tǒng)的功率比送段發(fā)電機(jī)的功率大得多，因此在輸送功率發(fā)生變化時，該母線的電壓和頻率可以假定維持不變。如圖1a所示，設(shè)發(fā)電機(jī)（或一個發(fā)電廠的等效發(fā)電機(jī)）的電勢E為恒定，經(jīng)過一電抗為xe的輸電線與電壓為恒定值U0的母線相連。這時，傳輸功率為 （11）式中xd——發(fā)電機(jī)的電抗；xe——外部電抗；δ——發(fā)電機(jī)電勢與無窮大功率母線電壓間的相位角差。在Eq和U0為定值時，發(fā)電機(jī)功率P與功率角d[[] 何仰贊，(下)(第三版).武漢：華中科技大學(xué)出版社，2002年3月. 153～154]間的功角特性曲線如圖1b所示。[[] 韓學(xué)山，：機(jī)械工業(yè)出版社，2008年1月. 83～85]在穩(wěn)態(tài)情況下，發(fā)電機(jī)的輸出電功率Pe等于原動機(jī)的機(jī)械功率Pm，如圖中點(diǎn)1所示，相應(yīng)的功率角為δ0。當(dāng)系統(tǒng)中出現(xiàn)某一微小的干擾，角度δ對穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點(diǎn)δ0的任何偏離，均將使功率發(fā)生不平衡（假定原動機(jī)的機(jī)械功率在此期間維持不變）。如在圖中點(diǎn)1處運(yùn)行時，角度突然增大Δδ（點(diǎn)1’），那么就會引起電功率增加ΔPe。由于Pm沒有變化，所以ΔPe表示發(fā)電機(jī)的輸出功率大于輸入功率，這將引起發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的減速，因而使角度δ減小，向原始的點(diǎn)1運(yùn)動。此時，功率將逐漸恢復(fù)平衡。同樣的，如果小干擾使δ減小Δδ，電功率將小于原動機(jī)功率，轉(zhuǎn)子將加速，向原始的點(diǎn)1返回。由此可見，在點(diǎn)1，當(dāng)系統(tǒng)受到任何小干擾時均能自動恢復(fù)到原始的平衡狀態(tài)，所以電力系統(tǒng)是靜態(tài)穩(wěn)定的。在圖中的點(diǎn)2處（相應(yīng)的功率角為1800 δ0），穩(wěn)態(tài)時輸入的原動機(jī)功率和輸出地電功率也是相互平衡的。但是，在小干擾使發(fā)電機(jī)產(chǎn)生一個Δδ增量到達(dá)2’時，由于電功率的減小，將使發(fā)電機(jī)的輸入大于輸出，引起發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的加速，這就導(dǎo)致δ角繼續(xù)增大和電功率的進(jìn)一步減小，其結(jié)果是使發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子角不斷增大以至失步（如圖2(b)），因而在點(diǎn)2處運(yùn)行是不穩(wěn)定的。同樣的，如果小干擾使δ減小，由于電功率大于原動機(jī)功率而使轉(zhuǎn)子減速，其結(jié)果是使δ向遠(yuǎn)離點(diǎn)2的點(diǎn)1趨近。所以，在運(yùn)行點(diǎn)2，電力系統(tǒng)是靜態(tài)不穩(wěn)定的。[[] 劉天琪, 邱曉燕. 電力系統(tǒng)分析理論. 北京：科學(xué)出版社，2005年2月. 312～313]對于這種簡單電力系統(tǒng)在δ小于90o時[見圖1b所示曲線的上升部分]，由于小干擾而出現(xiàn)的功率不平衡將使發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子發(fā)生趨向原始運(yùn)行點(diǎn)的加速或減速，也即系統(tǒng)具有恢復(fù)到原始狀態(tài)的能力，是靜態(tài)穩(wěn)定的。用數(shù)學(xué)形式表示時，穩(wěn)定的條件是 0 或者 cosδ0 （12）所以，相應(yīng)于上述條件等于零時，即δ=90o時，輸電線的傳輸功率為最大，也即由靜態(tài)穩(wěn)定確定的輸電線極限傳輸功率為 （13）實(shí)際上，在這一點(diǎn)（δ=90o）是不能正常運(yùn)行的，因?yàn)楫?dāng)受到任何一個小干擾時功率就會不斷增大。此角度稱為靜態(tài)穩(wěn)定極限角，它正好與功率極限值相一致。[[] ：機(jī)械工業(yè)出版社，2003年6月. 274～275]在研究復(fù)雜電力系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定問題時，應(yīng)列出描述電力系統(tǒng)各種有關(guān)元件動態(tài)過程的狀態(tài)方程式。由于干擾是微小的，所以狀態(tài)方程可以線性化。判斷靜態(tài)穩(wěn)定的方法，一般可求出線性化狀態(tài)方程式組的特征根。如果有一個根的實(shí)部為正值，電力系統(tǒng)是靜態(tài)不穩(wěn)定的。[[] 李光琦．電力系統(tǒng)暫態(tài)分析．北京：中國電力出版社，2007年1月．176～177] 電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究方法和對象[[] 韓禎祥．電力系統(tǒng)穩(wěn)定．北京：中國電力出版社，1995年．19]根據(jù)不同的電力系統(tǒng)穩(wěn)定性問題及其特點(diǎn)，可采用不同的研究方法。目前主要的方法是：（1）對于小干擾下的電力系統(tǒng)穩(wěn)定問題，可將電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行線性化處理，所以一般用頻域法，即計(jì)算電力系統(tǒng)參數(shù)矩陣的特征根和特征向量，可以用來確定靜態(tài)和動態(tài)穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)和整定各種提高電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的措施和自動調(diào)節(jié)裝置。由于可以解出全部特征值和確定相應(yīng)的各個震蕩模式的阻尼系數(shù)和頻率，所以能對電力系統(tǒng)在小干擾下的動態(tài)特性有全面的了解，便于分析發(fā)生穩(wěn)定性問題的原因，尋求合適的解決方法和途徑。這種方法的主要問題是求解高階代數(shù)方程式的困難。（2）對于大干擾下的穩(wěn)定性研究，由于要求解非線性方程組，目前幾乎無例外地采用時域法，即用各種數(shù)值積分的方法。時域法的優(yōu)點(diǎn)是不管電力系統(tǒng)多么復(fù)雜，其組成的元件模型多么詳細(xì)，都能求解，并給出各變量的時間解。雖然現(xiàn)在計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)值計(jì)算方法的迅速發(fā)展，為提高計(jì)算速度和精度提供了很好的手段，但是由于電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大和穩(wěn)定性研究的要求不斷提高，所以目前還不能達(dá)到實(shí)時的要求。盡管這樣，時域法在今后相當(dāng)長的一段時間里，仍將是研究電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定及中長期動態(tài)過程的主要方法。 動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[[] 韓禎祥．電力系統(tǒng)穩(wěn)定．北京：中國電力出版社，1995年．25～28]凡是由一些互有聯(lián)系、互相作用的原件及裝置所組成的整體統(tǒng)稱為動力學(xué)系統(tǒng)。電力系統(tǒng)是由發(fā)電、送電、變電、配電和用電五個部分組成的一個典型的動力學(xué)系統(tǒng)。在電力系統(tǒng)中包含有各種控制和調(diào)節(jié)設(shè)備，用以控制和調(diào)節(jié)五個組成部分的運(yùn)行狀態(tài)，所以它又是一個非線性的控制系統(tǒng)。設(shè)動力學(xué)系統(tǒng)處在某一平衡狀態(tài)，如果受到一個干擾后，系統(tǒng)最終回到初始平衡狀態(tài)，或者系統(tǒng)狀態(tài)收斂到與初始平衡狀態(tài)鄰近的另一個平衡位置，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果系統(tǒng)狀態(tài)隨著時間的增長，不斷偏離初始平衡位置，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。一個集中參數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)可以用下列微分方程式來描述系統(tǒng)的動態(tài)行為 (14)如將上式寫成矩陣形式則為 (15) 式中——表征系統(tǒng)每一時刻狀態(tài)的狀態(tài)空間向量；——狀態(tài)向量和時間t的非線性函數(shù)。用向量表示的上述系統(tǒng)方程式的解為 （16）式中 t——從觀察的起始時間t0開始的時間變量；x0——初始狀態(tài)變量。顯然有 （17）式（17）隨時間變化所描述的軌跡稱為系統(tǒng)軌跡。在式（15）中，如果，系統(tǒng)狀態(tài)變量對時間的變化率為零，也就是說，系統(tǒng)處于一種沒有任何產(chǎn)生變化趨勢的狀態(tài)，這就是所謂“平衡”狀態(tài)。如果系統(tǒng)是線性定常的，即 （18）式中A為一常數(shù)矩陣。如果A為非奇異矩陣時，則系統(tǒng)只有一個平衡狀態(tài)。如果式（15）中f為非線性函數(shù)，則可以有多個解，也即可以有多個平衡狀態(tài)。相應(yīng)于平衡狀態(tài)的坐標(biāo)叫平衡點(diǎn)。2．小干擾法分析簡單系統(tǒng)靜態(tài)穩(wěn)定上一節(jié)從概念上介紹了簡單電力系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定判據(jù)，即式（12）：0，下面將用小干擾法得出穩(wěn)定判據(jù)。電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性實(shí)質(zhì)上是指系統(tǒng)在某一給定的穩(wěn)定運(yùn)行情況（即平衡點(diǎn)）點(diǎn)，遭受微小擾動后的漸進(jìn)穩(wěn)定性。因此它的基本分析方法和步驟可以歸納為：[[] . 北京：中國電力出版社，2004年1月. 21～282](1)計(jì)算給定穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況下各變量的取值，即求出對應(yīng)于無擾運(yùn)動的平衡點(diǎn)；(2)在描述系統(tǒng)動態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型中，將微分方程和代數(shù)方程在穩(wěn)態(tài)值（平衡點(diǎn)）附近線性化，得出一組線性微分方程和代數(shù)方程，然后消去其中的代數(shù)變量，從而得出一組純微分方程；(3)根據(jù)微分方程式系數(shù)矩陣A的特征值的性質(zhì)來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 小干擾法分析簡單系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定研究電力系統(tǒng)遭受小干擾后的暫態(tài)過程及其穩(wěn)定性的理論，是著名學(xué)者李雅普諾夫奠定的。李雅普諾夫理論認(rèn)為，任何一個動力學(xué)系統(tǒng)都可以用多元函數(shù)來表示。當(dāng)系統(tǒng)因受到某種微小干擾使其參數(shù)發(fā)生變化時，則函數(shù)變?yōu)椋骸Ｈ羲袇?shù)的微小增量在微小干擾消失后能趨近于零，即則系統(tǒng)可認(rèn)為是穩(wěn)定的。[[] 韋鋼．電力系統(tǒng)分析要點(diǎn)與習(xí)題．北京：中國電力出版社，2008年5月．265～267] 列出系統(tǒng)狀態(tài)變量偏移量的線性狀態(tài)方程在簡單電力系統(tǒng)中只有一個發(fā)電機(jī)元件需要列出其狀態(tài)方程。因?yàn)?，變壓器和線路的電抗可以看做發(fā)電機(jī)漏抗的一部分，無限大容量系統(tǒng)的電壓和頻率不變，狀態(tài)方程可以不用列出。由于采用了假設(shè)，發(fā)電機(jī)的狀態(tài)方程就只有轉(zhuǎn)子方程，即(21) (21)這是一組非線性的狀態(tài)方程。由于靜態(tài)穩(wěn)定是研究系統(tǒng)在某一運(yùn)動方式下受到小的干擾后的運(yùn)行狀況，故可以把系統(tǒng)的狀態(tài)變量的變化看做在原來的運(yùn)行情況上疊加了一個小的偏移。對于簡單系統(tǒng)，其狀態(tài)變量可表示為 (22)帶入狀態(tài)方程(21)后得(23) (23)在上式中，將PE在d0附近按泰勒級數(shù)展開，略去偏移量的二次及以上的高次項(xiàng)，則可近似得PE與Dd的線性關(guān)系，即(24)PE = P0 + DPE = PT + DPE (24)將(24)帶入(23)后可得(25) (25)式(25)是系統(tǒng)狀態(tài)偏移量的線性微分方程組，其矩陣形式為(26) = (26)它的一般形式是(27)D = ADX (27)式中，A為狀態(tài)方程組的系數(shù)矩陣；DX為狀態(tài)變量偏移量組成的向量；D狀態(tài)變量的偏移量的導(dǎo)數(shù)所組成的向量。 根據(jù)特征值判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性對于式(27)這樣的二階微分方程組，其特征值容易求得，從下面的特征方程(28) = 0 (28)求得特征值p為(29)P1,2 = (29)很明顯，當(dāng)小于零時，p1,2為一個正實(shí)根和一個負(fù)實(shí)根，即Dd和Dw有隨著時間不斷單調(diào)增大的趨勢，發(fā)電機(jī)相對于無限大系統(tǒng)非周期性地失去同步，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)大于零時，p1,2為一對虛根，從理論上講，Dd和Dw將不斷地作等幅振蕩。震蕩頻率為(210)f = (210)一般TJ為5~10s；~1，則f為1Hz左右，故通常稱為低頻振蕩。若系統(tǒng)中存在著正的阻尼因素，則Dd和Dw作衰減振蕩，即系統(tǒng)受到小干擾后經(jīng)過衰減的震蕩，最后恢復(fù)同步。換言之，如果特征方程式的根都位于復(fù)數(shù)平面上虛軸的左側(cè)，未受擾動的運(yùn)動是穩(wěn)定運(yùn)動，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，即使只有一個根位于虛軸的右側(cè)，未受擾動的運(yùn)動就是不穩(wěn)定運(yùn)動，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。[[] . 北京：電力工業(yè)出版社，～479]由上可見，用小干擾法對簡單系統(tǒng)的分析結(jié)果表明，其靜態(tài)穩(wěn)定的判據(jù)與（12）是一致的，即 0 。 阻尼作用對靜態(tài)穩(wěn)定的影響當(dāng)發(fā)電機(jī)與無窮大系統(tǒng)之間發(fā)生震蕩（Dd和Dw震蕩）或失去同步時，在發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子回路中，特別是在阻尼繞組中將有感應(yīng)電流而產(chǎn)生阻尼轉(zhuǎn)矩或異步轉(zhuǎn)矩?？偟淖枘峁β士山票磉_(dá)為(211)PD = DDw (211)式中，D稱為阻尼功率系數(shù)。計(jì)及阻尼功率后發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子運(yùn)動方程為(212) (212)矩陣形式為(213) (213)其系數(shù)矩陣的特征值可下列特征方程求得特征值為(214) = (214)特征值具有負(fù)實(shí)部的條件為(215)D0；SEq = 0 (215)顯然，由式(214)可知：（1）若SEq0，則不論D是正或負(fù)，p總有一正實(shí)根，系統(tǒng)均將非周期性地失去穩(wěn)定，只是在正阻尼時過程會慢一些。（2）若SEq0，則D的正、負(fù)將決定系統(tǒng)是否穩(wěn)定：1) D0,系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。由于一般D不是很大，p為負(fù)實(shí)部的共軛根，即系統(tǒng)受到小擾動后，Dd和Dw作衰減振蕩；2) D0，系統(tǒng)不穩(wěn)定。一般p為正實(shí)部的共軛根，系統(tǒng)受到小擾動后，Dd和Dw振蕩發(fā)散，即系統(tǒng)震蕩失穩(wěn)。3．多機(jī)系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定近似分析 兩機(jī)系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定分析本節(jié)僅介紹兩機(jī)系統(tǒng)靜態(tài)穩(wěn)定的近似工程分析方法，它可以方便地推廣到更復(fù)雜的系統(tǒng)。可以把發(fā)電機(jī)看作是一個有恒定暫態(tài)電動勢Eq’的電源，不再計(jì)及調(diào)節(jié)器的影響；為了計(jì)算方便，還可以近似認(rèn)為發(fā)電機(jī)暫態(tài)電抗后電動勢E’為常數(shù)，負(fù)荷以恒定阻抗來表示。(a)中表示兩機(jī)系統(tǒng)，其中包含一個用恒定阻抗表示的負(fù)荷。設(shè)發(fā)電機(jī)暫態(tài)電動勢E’為恒定，它們對于某一參考坐標(biāo)（例如負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的電壓）的角度為d1和d2（嚴(yán)格講應(yīng)為d