【正文】 圖26 齒輪裝配圖第三章 齒輪彎曲應(yīng)力有限元分析表31 齒輪材料特性材料彈性模量E泊松比μ密度ρ齒輪40Cr206GPakg/ 齒輪彎曲強(qiáng)度理論目前的齒輪彎曲強(qiáng)度計算公式是以路易斯所提出的計算公式為基礎(chǔ)，采用各種系數(shù)修正材料強(qiáng)度和齒輪的載荷，并考慮齒輪精度的影響，以接近臨界載荷的計算法作為主要的方法[6]。路易斯的計算法是把輪齒當(dāng)作與其內(nèi)切的拋物線梁來考慮的，以這個拋物線梁的彎曲應(yīng)力作為齒根應(yīng)力。如圖31所示，垂直于齒面的載荷作用線和齒形中心線的交點A是拋物線的頂點，連接齒形的內(nèi)切拋物線和齒根過渡曲線的切點的斷面BC即是危險斷面。當(dāng)彎曲載荷作用在拋物線梁的頂端時，該梁斷面上無論那個位置的最大應(yīng)力都是相等的，因此，可以把拋物線在齒形的內(nèi)切位置作為危險斷面，而在這個危險斷面的位置上考慮彎曲應(yīng)力。在圖31中，如齒面法向載荷為；危險斷面齒厚為；從內(nèi)切拋物線梁頂端到危險斷面的高度為；齒寬為b，模數(shù)為m時，則齒根應(yīng)力如下式： (21)式中： 圖31 路易斯法 圖32 切線法 齒形系數(shù)的計算方法 在計算漸開線齒輪的齒根應(yīng)力時，不能像計算簡單的懸臂梁的彎曲應(yīng)力那樣給定梁的參數(shù)。目前計算方法有霍法(H．Hofer)提出的切線法[7]。該法如圖32所示，連接與齒形中心線成的直線在齒根圓角處的切點的平面作為危險斷面，取載荷作用線和齒形中心線的交點與危險斷面的距離作為梁的高度，利用內(nèi)切拋物線法的齒形系數(shù)計算式計算系數(shù)值。有限元法與經(jīng)典的解析法不同。在經(jīng)典的解析法中，通常都是從研究連續(xù)體中微元體的性質(zhì)著手，在分析中允許微元體無限多而它的大小趨近于零，從而得到描述彈性體性質(zhì)的偏微分方程，求解微分方程可以得到一個解析解。這種解是一個數(shù)學(xué)表達(dá)式，它給出物體內(nèi)每一點上所要求的未知量的值。然而，對于大多數(shù)工程實際問題，由于物體的幾何形狀的不規(guī)則，材料的非線性或不均勻等原因，要得到問題的解析解，往往十分困難。有限元法則從研究有限大小的單元力學(xué)特性著手，最后得到一組以節(jié)點位移為未知量的代數(shù)方程組。應(yīng)用現(xiàn)成的計算方法，總是可以得到在節(jié)點處需要求解的未知量的近似值。 齒輪彎曲應(yīng)力的有限元分析大小齒輪材料相同，接觸應(yīng)力在兩相互嚙合齒輪的齒面上大小相同，而對于沒對接觸的齒來說，小齒輪的齒根應(yīng)力均大于大齒輪的齒根應(yīng)力，所以在進(jìn)行齒根彎曲強(qiáng)度校核的時候只需對小齒輪進(jìn)行校核即可。齒輪彎曲應(yīng)力的限元分析的步驟為：1選擇材料及網(wǎng)格單元劃分； 2 約束條件和施加載荷； 3計算求解及后處理[8]。，改文件名為“Bending stress”，并將標(biāo)題名改為“Bending Anasys of a gear”；啟動PRO/E，打開gear1，.將文件保存IGES格式文件副本；；根據(jù)計算對象的具體情況(邊界變化情況、應(yīng)力變化情況等)、計算的精度要求、計算機(jī)容量大小、計算的經(jīng)濟(jì)性，以及是否有合適的程序等等因素進(jìn)行全面分析比較，選擇合適的單元形式。為了提高計算精度并減少計算量，選擇單元類型為8節(jié)點四面體單元So1id45；定義材料的彈性模量E，泊松比υ，密度ρ。其中彈性模量E=206GPa ，泊松比υ= ，密度ρ=kg/。對齒輪進(jìn)行網(wǎng)格單元劃分。選擇自由網(wǎng)格劃分方式。網(wǎng)格劃分結(jié)果見圖33。圖33 列表顯示節(jié)點數(shù)和單元數(shù)施加邊界約束條件是有限元分析過程中的重要一環(huán)。邊界條件是根據(jù)物理模型的實際工況在有限元分析模型邊界節(jié)點上施加的必要約束。邊界約束條件的準(zhǔn)確度直接影響有限元分析的結(jié)果。在有限元分析中確定邊界條件一般應(yīng)做到以下幾條：要施加足夠的約束，保證模型不產(chǎn)生剛體位移；施加的邊界條件必須符合物理模型的實際工況；力求簡單直觀，便于計算分析。輪齒在受載時，齒根所受的彎矩最大。根據(jù)分析，齒根所受的最大彎矩發(fā)生在輪齒嚙合點位于單對嚙合區(qū)最高點。因此，齒根彎曲強(qiáng)度也應(yīng)該按載荷作用于單對嚙合區(qū)最高點來計算。由于這種算法比較復(fù)雜，通常只用于高精度的齒輪傳動。為了便于計算和施加載荷，通常將全部載荷作用于齒頂，作用方向為齒頂圓壓力角。為了加載方便，將沿嚙合線作用在齒面上的法向載荷在節(jié)點處分解為2個相互垂直的分力，即圓周力與徑向力。載荷的大小[9]可以根據(jù)設(shè)計承載的扭矩按公式求得。 （31） （32）式中，為圓周力；為徑向力；T為扭矩；d為載荷作用點處齒輪直徑。施加位移約束：對齒輪內(nèi)孔分別對X、Y、Z三個方向上的平動和轉(zhuǎn)動進(jìn)行約束。施加載荷：對齒輪其中一個輪齒的齒頂圓上的節(jié)點施加圓周力與徑向力。每個節(jié)點上施加的力[9]按式（33）和（34）計算。其中圓周力為6496N，單個輪齒的齒頂圓上的節(jié)點數(shù)為16個，故求得=,=406N。施加約束和載荷具 體結(jié)果見圖34所示。 圖34 施加約束和載荷 （33） （34）有限元模型的求解不是目的，求解得出的數(shù)學(xué)模型的計算結(jié)果才是所關(guān)心的。ANSYS提供了2個后處理器：通用后處理器和時間歷程后處理器。本文對齒輪進(jìn)行的是靜態(tài)分析，采用通用后處理器對求解結(jié)果進(jìn)行后處理。利用ANSYS求解器對齒輪進(jìn)行求解：采用通用后處理器對齒輪分析結(jié)果進(jìn)行顯示。（1）瀏覽節(jié)點各分量的位移和應(yīng)力值。依次選擇Main MenuGeneral PostprocPlot ResultsContour PlotNodal Solu，彈出【Contour Nodal Solution Data】對話框。在【Item to be contoured】列表框中分別選擇“DOF Solution”和“stress”選項，再在“DOF Solution”和“stress” 選項中分別選擇X,Y,Z三個方向，單擊OK按鈕，生成結(jié)果如圖35~圖310所示。 圖35 齒輪1X方向位移 圖36 齒輪1X方向應(yīng)力 圖37 齒輪1Y方向位移 圖38 齒輪1Y方向應(yīng)力 圖39 齒輪1Z方向位移 圖310齒輪1Z方向應(yīng)力（2）瀏覽節(jié)點上的等效應(yīng)變和應(yīng)力值。依次選擇Main MenuGeneral PostprocPlot ResultsContour PlotNodal Solu，彈出【Contour Nodal Solution Data】對話框。在【Item to be contoured】列表框中分別選擇“DOF Solution”和“stress”選項”，接著分別選擇“Displacement vector sum”和“von Mises stress”選項，單擊OK按鈕，生成結(jié)果如圖311和圖312所示。圖311 Displacement vector sum(位移矢量圖)圖312 von Mises 等效應(yīng)力圖（3）列出節(jié)點的列表結(jié)果。依次選擇Main Menu General Postproc List Result Nodal Solution，彈出【List Nodal Solution】對話框。在【Item to be listed】齒輪接觸應(yīng)力有限元分析列表中選擇“Stress”選項和“von Mises stress”選項，單擊【OK】按鈕。每個單元角節(jié)點的6個應(yīng)力分量將以列表的形式顯示，如圖313所示。圖313 列表顯示節(jié)點結(jié)果 齒輪彎曲應(yīng)力的結(jié)果對比Von Mises是一種屈服準(zhǔn)則,它遵循材料力學(xué)第四強(qiáng)度理論(形狀改變比能理論)[10]。由圖310可得，變形量不大；由圖311可得。，因此符合強(qiáng)度要求。除了齒頂圓上的最大應(yīng)力，其他部分的應(yīng)力分布遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于許用應(yīng)力。由由圖311可得最大應(yīng)力分布在齒頂圓施加載荷的地方，而不是出現(xiàn)在傳統(tǒng)的齒根部分，這可能是由于在齒頂圓的線寬上出現(xiàn)了應(yīng)力集中。用傳統(tǒng)方法計算了齒根彎曲疲勞強(qiáng)度[1]，按式（35）計算可得齒根彎曲疲勞強(qiáng)度為454MPa。有限元分析的彎曲應(yīng)力的結(jié)果和傳統(tǒng)方法的結(jié)果具體見表32所示。 （35）表32 結(jié)果比較有限元法傳統(tǒng)方法整個輪齒454MP阿齒根454MPa 由上表可知，有限元法分析的是整個輪齒的應(yīng)力分布情況，而傳統(tǒng)方法只能計算齒根處的彎曲應(yīng)力，沒有將齒頂處的應(yīng)力集中考慮在內(nèi)；對于齒根處的彎曲應(yīng)力，而傳統(tǒng)方法計算為454MPa，用傳統(tǒng)方法得到的結(jié)果具有一定的裕度。第四章 齒輪接觸應(yīng)力有限元分析漸開線齒輪齒面為形狀較為復(fù)雜的曲面。然而由于接觸區(qū)寬度遠(yuǎn)小于齒面在接觸點的曲率半徑，因而可對嚙合齒面作適當(dāng)簡化。Weck等人的試驗結(jié)果表明:當(dāng)運(yùn)轉(zhuǎn)條件相同時，輪齒間的接觸狀態(tài)可用一對滾子來模擬，所以圖41中的一對輪齒之間的嚙合可以轉(zhuǎn)換為如圖42所示的兩個圓柱體沿其母線的接觸，兩圓柱體的半徑分別與嚙合點大小齒輪的齒面曲率半徑相等[11]。在法向壓力Fn作用下，由于接觸表面局部彈性變形，形成寬為2b，長為L的長方形接觸面，如圖 所示。根據(jù)赫茲公式[1]，使用公式（41）計算赫茲半寬b。 （41）式中: 、分別是兩圓柱材料的彈性模量， 、是兩圓柱材料的泊松比。接觸表面上所承受的壓力是處處不等的，此壓力向量的分布呈半橢圓柱形。最大壓力發(fā)生在初始接觸線處的各點上，并等于平均壓力的π/4 。若接觸應(yīng)力為，則接觸面上壓力的合力為 。接觸面上的應(yīng)力應(yīng)與外力平衡，故有： （42） （43）接觸應(yīng)力的基本公式如下： （44）圖41 齒輪嚙合圖 圖42 兩圓柱體接觸 接觸分析有限元法思想彈性接觸問題屬于邊界非線性問題，其中既有接觸區(qū)變化引起的非線性，又有接觸壓力分布變化引起的非線性以及摩擦作用產(chǎn)生的非線性，求解過程是搜尋準(zhǔn)確的接觸狀態(tài)的反復(fù)迭代過程[12]。為此，需要先假定一個可能的接觸狀態(tài)，然后帶入定解條件，得到接觸點的接觸內(nèi)力和位移，判斷是否滿足接觸條件。當(dāng)不滿足接觸條件時修改接觸點的接觸狀態(tài)重新求解，直到所有接觸點都滿足接觸條件為止。接觸過程通常是依賴于時間的，并伴隨著材料非線性和幾何非線性的變化過程。特別是在接觸過程中，接觸界面的區(qū)域和形狀以及接觸界面上的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)的狀態(tài)也是未知的。這些特點決定了接觸問題通常采用增量方法求解。所謂增量解法，是首先將載荷分為若干步，……，相應(yīng)的位移也分為若干步，……。每兩步之間的增長量為增量。增量解法的一般做法是假設(shè)第m步載荷和相應(yīng)的位移己知，而后載荷增加為，再求解。如果每步載荷增量足夠小，則解的收斂性是可以保證的。同時，可以得到加載過程中各個階段的中間值數(shù)值結(jié)果，便于研究結(jié)構(gòu)位移和應(yīng)力等隨著載荷變化的情況。圖43表示了用Newton——R即hson方法求解增量方程的過程。根據(jù)接觸狀態(tài)的判定條件，接觸條件都是不等式約束，也稱之為單邊約束。此外，接觸面的范圍和接觸狀態(tài)也是未知的，所以如何將接觸面條件適當(dāng)?shù)囊肭蠼膺^程是接觸問題求解的關(guān)鍵。鑒于接觸問題的特殊性，求解過程需要采用試探一校核的迭代方法進(jìn)行，每一增量步的迭代過程[12]可一般性的表述如下：(l)根據(jù)前一增量步的結(jié)果和當(dāng)前增量步給定的載荷條件，通過接觸狀態(tài)的檢查和搜索，假設(shè)此增量步第一次迭代求解的接觸區(qū)域和接觸狀態(tài)—指兩物體的“粘著”或“滑動”狀態(tài)。(2)根據(jù)上述對接觸面區(qū)域和狀態(tài)所作的假設(shè)，對于接觸面上的每一點，將運(yùn)動學(xué)或動力學(xué)上的不等式約束改為等式約束作為定解條件引入方程并進(jìn)行求解。(3)利用接觸面上的計算結(jié)果和上述等式約束所對應(yīng)的動力學(xué)或運(yùn)動學(xué)的不等式約束條件作為校核條件對假定的接觸狀態(tài)進(jìn)行檢查。如果接觸面上的每一點都不違反校核條件，則完成本增量步的求解并轉(zhuǎn)入下一增量步的計算。否則修改接觸狀態(tài)，回到步驟。(4)再次進(jìn)行搜尋和迭代求解，直至每一點的解都滿足校核條件。然后再轉(zhuǎn)入下一增量步的求解。 圖43 用N一R法解增量方程 綜合以上的分析，給出接觸問題求解算法的一般流程圖(見圖44)，以方便理解其整個求解過程。輸入模型定義接觸體輸入增量步檢查接觸狀態(tài)定義接觸約束施加載荷裝配剛度矩陣施加接觸約束平衡方程求解應(yīng)力計算更新接觸約束是否收斂穿透是否合適是否最后增量步結(jié)束是是是否否迭代細(xì)分增量步是否最后增量步