【正文】 那么電磁信號(hào)將被完全反射。在特定的頻率范圍內(nèi)，反射系數(shù)為1，這個(gè)范圍對(duì)應(yīng)著能帶結(jié)構(gòu)圖中沒有模式的頻率范圍，也就是光子晶體的帶隙。當(dāng)光子晶體的周期性結(jié)構(gòu)中存在缺陷時(shí)，在光子晶體帶隙中將出現(xiàn)缺陷模式（Defected Mode），這也是光子晶體的一個(gè)很重要的特性[5,6]。點(diǎn)缺陷中產(chǎn)生的光子就會(huì)被局域在這個(gè)點(diǎn)缺陷附近，其行為就像一個(gè)微諧振腔。如果形成的是線缺陷，其行為類似于光波導(dǎo)，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)當(dāng)線缺陷90o轉(zhuǎn)折時(shí)能接近100%導(dǎo)光。如果形成的是面缺陷，則可得到理想的反射面，理論上可反射所有入射方向的光，反射率接近100%。這些性質(zhì)都具有十分重要的應(yīng)用價(jià)值，可用來制作微腔激光器、光波導(dǎo)等光學(xué)器件。167。 光子晶體中的Maxwell方程在線性、各向同性、無(wú)耗、無(wú)色散的無(wú)源媒質(zhì)中，由Maxwell方程出發(fā)，考慮時(shí)諧電磁場(chǎng)的情況，在旋度方程中分別消去磁場(chǎng)和電場(chǎng)分量，可以得到兩個(gè)主方程：()()其中是自由空間中的光速。這樣Maxwell方程就變?yōu)楸菊髦祮栴}，就是本征值?？梢宰C明，是正定的厄米算子，其本征值是非負(fù)實(shí)數(shù)，并且存在完備的正交本征函數(shù)系。而不是厄米算子。167。 Bloch－Floquet原理光子晶體的周期性可以用周期平移算子來表征，如（）所示。的本征值為：()其中是波矢量，屬于此本征值的本征函數(shù)為，其中為歸一化系數(shù)。在光子晶體中，由于具有周期性，則與互易，從而具有共同的本征函數(shù)，且這些共同本征函數(shù)組成完全系。因此，方程（）的通解可以用的本征函數(shù)的線性組合來表示：()其中為倒格矢，求和遍及整個(gè)倒易點(diǎn)陣。在作用下不變。這就是Bloch－Floquet原理的表現(xiàn)形式。由（）式可見，如果在上疊加一個(gè)倒格矢：，求和結(jié)果不變，即不同的波矢對(duì)應(yīng)于相同的本征函數(shù)。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，波矢空間可以分割為等價(jià)的類群，矢量和如果滿足，則它們對(duì)應(yīng)于相同的，就可以認(rèn)為它們是等價(jià)的。選擇一組中的某一個(gè)矢量作為這一類群的代表，稱為Bloch矢量。Bloch矢量的選擇不是唯一的，通常都是選擇其中模值最小的單元，它們的集合稱為第一布里淵區(qū)（BZ），或簡(jiǎn)約布里淵區(qū)： ()依照式（）的定義，在倒易空間中用垂直于基矢的平面并且以距原點(diǎn)的長(zhǎng)度所切割圍成的區(qū)域，稱為簡(jiǎn)約布里淵區(qū)。、二維、三維光子晶體結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)。 光子晶體的布里淵區(qū)：一維（左），二維（中），三維（右）。粗線代表基矢，灰色區(qū)域代表簡(jiǎn)約布里淵區(qū)167。 能帶結(jié)構(gòu)主方程的本征函數(shù)可以通過Bloch矢量來分類， Bloch矢量也可以用來標(biāo)記相應(yīng)的本征值，為能量譜?？紤]到周期邊界條件，則光子在介電性質(zhì)周期變化的光子晶體中的運(yùn)動(dòng)類似于電子在周期勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，從而導(dǎo)致能量譜的離散化。光子晶體中的模式將是一組連續(xù)函數(shù)，n對(duì)應(yīng)著能帶的系數(shù)。這個(gè)函數(shù)所包含的信息就是光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。相應(yīng)的，本征場(chǎng)為：()如果光子晶體除了平移對(duì)稱性外還有其它對(duì)稱性，則能譜能夠進(jìn)一步簡(jiǎn)化。例如，時(shí)間反演不變性導(dǎo)致，這意味著計(jì)算能帶結(jié)構(gòu)時(shí)，可以將布里淵區(qū)簡(jiǎn)縮為僅包含非負(fù)的Bloch矢量。與布里淵區(qū)的內(nèi)部點(diǎn)相比，邊界點(diǎn)對(duì)應(yīng)著更高的對(duì)稱性?？梢宰C明，在高對(duì)稱性點(diǎn)處，取方向極值。因此，在實(shí)際計(jì)算中，只對(duì)簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的邊界點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，內(nèi)部點(diǎn)的解將限于邊界點(diǎn)解的曲線所確定的頻率范圍內(nèi)?；谏鲜隼碚?，采用一定的數(shù)值方法，比如平面波法，就可以計(jì)算出光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。圖中Γ、X、M三個(gè)點(diǎn)決定了一個(gè)簡(jiǎn)約布里淵區(qū)。圖中的第一部分（Γ→X），βx從0到π/a變化，也就是在陣列中表示沿x方向，相應(yīng)的βy = 0。第二部分（X→M），βx已經(jīng)變化到了π/a，βy = 0→π/a，表示從x方向開始的范圍的空間。第三部分（M→Γ），βx、βy =π/a→0，沿著對(duì)角線的方向（450）。這樣就可以描繪出光子晶體的能帶曲線并清楚地看到其頻率帶隙所在的位置。 二維光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)圖167。1. 3 微波頻段的光子晶體光子晶體最初是在光學(xué)領(lǐng)域提出的，但是由于光學(xué)波段的尺度很小，加工工藝要求高，所以人工制作光子晶體存在一定的困難。由于微波頻段和光波都屬于電磁波譜，共同遵從于Maxwell方程，所以這種周期性通過縮比關(guān)系擴(kuò)展到了微波領(lǐng)域，進(jìn)而加工上的難題不復(fù)存在。微波領(lǐng)域從理論分析、制備到實(shí)驗(yàn)測(cè)試都有相當(dāng)成熟的技術(shù)和儀器設(shè)備，所以光子晶體在微波頻段的研究快速開展起來，并且不斷獲得新的成果，微波光子晶體相關(guān)理論及應(yīng)用已經(jīng)成了一個(gè)重要的研究方向。光子晶體在微波頻段的研究涉及濾波器、混合器、諧振器、高效放大器、諧波抑制器、人身防護(hù)天線、高性能微波天線、相控陣天線等，覆蓋的范圍非常廣泛。167。關(guān)于EBG的帶隙形成機(jī)理，根據(jù)目前的理論分析，可分為兩種基本類型：第一種為Bragg散射機(jī)理，此時(shí)帶隙的產(chǎn)生主要是因Bragg散射引起，單元的周期性排列引起散射波相位的周期性分布，在特定頻率和特定方向上，各單元的散射波造成反相疊加，互相抵消，從而使得電磁波不能傳播，形成頻率帶隙。此時(shí)EBG的周期間距a需滿足Bragg條件，即：，其中是EBG帶隙頻率對(duì)應(yīng)的導(dǎo)波波長(zhǎng)。第二種為局域諧振機(jī)理，與Bragg散射機(jī)理不同，周期單元本身的諧振效應(yīng)在帶隙形成中占主要地位。這種EBG往往通過對(duì)單元結(jié)構(gòu)的特殊設(shè)計(jì)，使得其單元可等效為諧振特性比較強(qiáng)的并聯(lián)LC電路，以增加單元的諧振性能，然后利用單元諧振時(shí)電抗無(wú)窮大的特性，阻止諧振頻率附近的電磁波傳播，以形成頻率帶隙。對(duì)于各種EBG結(jié)構(gòu)，嚴(yán)格來講，上述兩種機(jī)理對(duì)其帶隙的形成都有一定的影響，但是在不同的情況下，起主體作用的將有所不同。在面心立方、體心立方、林肯棒、一維光子晶體等多種EBG結(jié)構(gòu)中，由于單元本身的諧振效應(yīng)非常的微弱，Bragg散射為產(chǎn)生帶隙的主要原因，因此這些結(jié)構(gòu)的頻率帶隙位置滿足Bragg條件，成為Bragg散射型EBG結(jié)構(gòu)。另外有一些特殊的EBG結(jié)構(gòu)，其周期單元本身的諧振特性比較強(qiáng)，此時(shí)局域諧振機(jī)理的作用將占據(jù)上風(fēng)，由它們所組成的EBG結(jié)構(gòu)的禁帶特性，主要由單元的諧振效應(yīng)決定，成為局域諧振型EBG。在該類型的EBG結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，可充分發(fā)揮單元諧振器的設(shè)計(jì)優(yōu)勢(shì)，減小單元體積，使得在緊湊的空間中集成足夠多的周期單元，以得到預(yù)期指標(biāo)的EBG結(jié)構(gòu)?？傊?，這種諧振型EBG結(jié)構(gòu)，與Bragg散射型結(jié)構(gòu)相比，可控制參數(shù)比較多，設(shè)計(jì)的自由度大，因此在微波電路、微波器件、天線等實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域中具有更大的優(yōu)勢(shì)。167。 微波光子晶體的分析方法微波光子晶體的理論分析在光子晶體的設(shè)計(jì)中起到關(guān)鍵的作用。光子晶體最根本的特性是頻率帶隙，而頻率帶隙可以通過其能帶結(jié)構(gòu)來描述（一般用于無(wú)限大的理想光子晶體結(jié)構(gòu)），也可以通過傳輸特性來描述（一般針對(duì)于有限結(jié)構(gòu)或器件）。無(wú)論是哪一種情況，對(duì)光子晶體先期進(jìn)行理論分析，了解其帶隙特性與各種參數(shù)之間的關(guān)系，不僅可以幫助深入理解光子晶體的帶隙形成機(jī)理，而且對(duì)于光子晶體結(jié)構(gòu)以及各種微波光子晶體器件的設(shè)計(jì)也將提供理論支持。EBG為一種周期結(jié)構(gòu)，對(duì)于周期結(jié)構(gòu)的分析，往往根據(jù)Floquet原理，利用周期邊界提取一個(gè)周期單元進(jìn)行分析，其中在算法中最重要的就是要便于周期邊界條件的實(shí)現(xiàn)，這樣，以前用來分析微波周期結(jié)構(gòu)的數(shù)值方法，都可以被用來分析EBG結(jié)構(gòu)，其中包括周期矩量法[7]（Period Methods of Moment：PMM），有限元法[8]（Finite Element Methods：FEM），時(shí)域有限差分法[9,10,11]（FDTD），有限差分法，直線法（Method of Line：MoL）等，各種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。微波光子晶體從其描述上來看是一種周期結(jié)構(gòu)，而對(duì)于周期結(jié)構(gòu)的分析，一般分為兩個(gè)方面：一是研究其平面波響應(yīng)，也就是對(duì)于一個(gè)入射的平面波，計(jì)算其反射和透射信號(hào)特性，這在分析頻率選擇表面（FSS）中體現(xiàn)得尤為突出；另外一方面就是分析結(jié)構(gòu)的電磁波模式特性，比如一層介質(zhì)材料除了具有連續(xù)的輻射模式外，還支持離散的表面波模式。而相對(duì)于周期結(jié)構(gòu)來說，它只能支持離散的空間模式，它們可以是表面波，也可以是漏波。本文的研究重點(diǎn)是微波光子晶體的帶隙特性，所以這里主要分析本征模式特性。對(duì)于本征模式的數(shù)值分析，可以采用時(shí)域方法和頻域方法。時(shí)域方法最典型的比如FDTD，但是對(duì)于分析周期結(jié)構(gòu)，首先FDTD的公式變得非常復(fù)雜，同時(shí)對(duì)于一個(gè)給定的傳播常數(shù)都要進(jìn)行一次計(jì)算，因此要獲得其色散圖譜將非常耗時(shí)。而頻域方法在分析本征值問題上已經(jīng)得到了很好的應(yīng)用，比如上面提到的有限元、矩量法。尤其是矩量法，發(fā)展的比較成熟和完善，用來分析微帶結(jié)構(gòu)獲得了很好的效果。而且從上面的分析來看，矩量法在分析光子晶體特性上，其正確性和有效性都得到了驗(yàn)證。我們來分析光子晶體結(jié)構(gòu)的表面波傳輸特性。根據(jù)D. Sievenpiper提出的等效電路模型，貼片之間縫隙的耦合形成等效電容C，而貼片、過孔以及接地板構(gòu)成的回路則提供等效電感L，由此構(gòu)成了一個(gè)并聯(lián)諧振電路。等效電容C與等效電感L的估算公式可由保角變換理論以及經(jīng)典的電磁場(chǎng)理論得出，這里對(duì)其推導(dǎo)過程不再贅述，只給出其估算公式：（）（）其中a為周期長(zhǎng)度，w為正方形貼片邊長(zhǎng)，g為相鄰貼片之間的縫隙寬度，與分別為結(jié)構(gòu)表面上方覆蓋層（一般為空氣）與下方介質(zhì)基板的介電常數(shù)，t為介質(zhì)基板的厚度。后來國(guó)內(nèi)的付云起通過更準(zhǔn)確的分析對(duì)式（）進(jìn)行了修正，修正后的等效電容計(jì)算公式為：（）其中，b=g/2，c=w，K(x)為第一類完全橢圓積分。表面的阻抗Zs為：（）則諧振電路的諧振頻率f0為：（） 并聯(lián)LC電路的阻抗特性，當(dāng)激勵(lì)的頻率小于諧振頻率時(shí)，表面阻抗表現(xiàn)為感抗，表面上能支持TM模表面波的傳播；而當(dāng)激勵(lì)的頻率大于諧振頻率時(shí)