【正文】 測得 AB= DE,AC=DF,BF=EC. (1)求證 :△ ABC≌ △ DEF。 (2)指出圖中所有平行的線段 ,并說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ BF=EC, ∴ BF+FC=EC+CF,即 BC=EF.? (3分 ) 又 ∵ AB=DE,AC=DF, ∴ △ ABC≌ △ DEF.? (5分 ) (2)AB∥ DE,AC∥ DF.? (7分 ) 理由 :∵ △ ABC≌ △ DEF,∴∠ ABC=∠ DEF,∠ ACB=∠ DFE. ∴ AB∥ DE,AC∥ DF.? (9分 ) 評析 本題考查全等三角形的判定與性質(zhì) ,根據(jù)條件用“ SSS”判定三角形全等 ,再由全等三 角形的性質(zhì)得到對應(yīng)角相等 ,然后由角相等得到邊之間的位置關(guān)系 . 7.(2022江蘇南京 ,27,11分 ) 【問題提出】 學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法 (即“ SAS”“ ASA”“ AAS”“ SSS” )和直角三角形全等的 判定方法 (即“ HL” )后 ,我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的 情形進行研究 . 【初步思考】 我們不妨將問題用符號語言表示為 :在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ ,對 ∠ B進行分類 ,可分為“ ∠ B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究 . 【深入探究】 第一種情況 :當(dāng) ∠ B是直角時 ,△ ABC≌ △ DEF. (1)如圖 ,在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E=90176。,根據(jù) ,可以知道 Rt△ ABC ≌ Rt△ DEF. ? 第二種情況 :當(dāng) ∠ B是鈍角時 ,△ ABC≌ △ DEF. (2)如圖 ,在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E,且 ∠ B、 ∠ E都是鈍角 .求證 :△ ABC≌ △ DEF. ? 第三種情況 :當(dāng) ∠ B是銳角時 ,△ ABC和△ DEF不一定全等 . (3)在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E,且 ∠ B、 ∠ E都是銳角 ,請你用尺規(guī)在圖中作 出△ DEF,使△ DEF和△ ABC不全等 .(不寫作法 ,保留作圖痕跡 ) ? (4)∠ B還要滿足什么條件 ,就可以使△ ABC≌ △ DEF?請直接填寫結(jié)論 : 在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E,且 ∠ B、 ∠ E都是銳角 ,若 ,則△ ABC≌ △ DEF. 解析 (1)HL.? (2分 ) (2)證明 :如圖① ,分別過點 C、 F作對邊 AB、 DE上的高 CG、 FH,其中 G、 H為垂足 . ∵∠ ABC、 ∠ DEF都是鈍角 , ∴ G、 H分別在 AB、 DE的延長線上 . ∵ CG⊥ AG,FH⊥ DH, ∴∠ CGA=∠ FHD=90176。. ∵∠ CBG=180176?！?ABC,∠ FEH=180176?！?DEF,∠ ABC=∠ DEF,∴∠ CBG=∠ FEH. 在△ BCG和△ EFH中 , ∵∠ CGB=∠ FHE,∠ CBG=∠ FEH,BC=EF, ∴ △ BCG≌ △ EFH. ∴ CG=FH. 又 ∵ AC=DF, ∴ Rt△ ACG≌ Rt△ DFH. ∴∠ A=∠ D. 在△ ABC和△ DEF中 , ∵∠ ABC=∠ DEF,∠ A=∠ D,AC=DF, ∴ △ ABC≌ △ DEF.? (6分 ) ? 圖① (3)如圖② ,△ DEF就是所求作的三角形 . ? 圖② (9分 ) (4)本題答案不唯一 ,下列解法供參考 . ∠ B≥ ∠ A.? (11分 ) 考點一 三角形的相關(guān)概念 C組 教師專用題組 1.(2022福建 ,3,4分 )下列各組數(shù)中 ,能作為一個三角形三邊邊長的是 ? ( ) ,1,2 ,2,4 ,3,4 ,3,5 答案 C 三角形的三邊邊長要滿足“任意兩邊之和大于第三邊 ,任意兩邊之差小于第三 邊” ,選項 A、 B、 D均不符合 ,故選 C. 2.(2022湖南長沙 ,7,3分 )若一個三角形的兩邊長分別為 3和 7,則第三邊長可能是 ? ( ) 答案 A 設(shè)第三邊長為 x,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系 ,可得 73x7+3,即 4x10,故選 A. 3.(2022河北 ,10,3分 )如圖 ,已知鈍角△ ABC,依下列步驟尺規(guī)作圖 ,并保留作圖痕跡 . ? 步驟 1:以 C為圓心 ,CA為半徑畫?、?。 步驟 2:以 B為圓心 ,BA為半徑畫?、?,交弧①于點 D。 步驟 3:連接 AD,交 BC延長線于點 H. 下列敘述正確的是 ? ( ) AD ∠ BAD △ ABC=BCAH =AD 答案 A 由作圖可知點 B、 C到線段 AD的兩個端點的距離分別相等 ,∴ 點 B、 C都在線段 AD 的垂直平分線上 ,即直線 BC垂直平分線段 A. 4.(2022廣東廣州 ,10,3分 )已知 2是關(guān)于 x的方程 x22mx+3m=0的一個根 ,并且這個方程的兩個根 恰好是等腰三角形 ABC的兩條邊長 ,則三角形 ABC的周長為 ? ( ) 14 10 答案 B 把 2代入方程得 m=4,解方程 x28x+12=0得另外一個根是 6。根據(jù)三角形三邊之間的關(guān) 系可知 :①當(dāng) 6是腰 ,2是底邊時 ,周長是 6+6+2=14。②當(dāng) 2是腰 ,6是底邊時 ,2+26,不能構(gòu)成三角 形 ,∴ △ ABC的周長是 14,故選 B. 評析 本題考查了一元二次方程的解法 ,三角形三邊之間的關(guān)系 ,等腰三角形的性質(zhì)等知識 ,屬 于容易題 . 5.(2022江蘇連云港 ,6,3分 )如圖 ,若△ ABC和△ DEF的面積分別為 S S2,則 ? ( ) ? =? S2 =? S2 =S2 =? S2 12 7285答案 C 過點 A作 AM⊥ BC于點 M,過點 D作 DN⊥ EF交 FE的延長線于點 N,S1=? BCAM=? 8 5sin 40176。,S2=? EFDN=? 58sin 40176。,所以 S1=S2,故選 C. ? 12 1212 126.(2022河北 ,12,3分 )如圖 ,已知△ ABC(ACBC),用尺規(guī)在 BC上確定一點 P,使 PA +PC=BC,則符 合要求的作圖痕跡是 ? ( ) ? 答案 D 由選項 A可得 PB=AB,所以 BC=AB+PC。由選項 B可得 PA =PC,所以 BC=PB+PA 。由選 項 C可得 PC=AC,所以 BC=PB+AC。由選項 D可得 PB=PA ,所以 BC=PA + D. 7.(2022湖北黃岡 ,12,3分 )一個三角形的兩邊長分別為 3和 6,第三邊長是方程 x210x+21=0的根 , 則三角形的周長為 . 答案 16 解析 ∵ x210x+21=(x3)(x7)=0, ∴ x1=3,x2=7, ∵ 3+3=6,∴ 3不能作為該三角形的第三邊長 , ∴ 三角形的第三邊長為 7, ∴ 三角形的周長為 3+6+7=16. 8.(2022四川成都 ,11,4分 )等腰三角形的一個底角為 50176。,則它的頂角的度數(shù)為 . 答案 80176。 解析 ∵ 等腰三角形的兩底角相等 ,∴ 180176。50176。2=80176。, ∴ 頂角為 80176。. 9.(2022湖北武漢 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=60176。,AC=1,D是邊 AB的中點 ,E是邊 BC上一 點 .若 DE平分△ ABC的周長 ,則 DE的長是 . ? 答案 ? 32解析 延長 BC至點 F,使 CF=AC,連接 AF,∵ D是 AB的中點 ,∴ AD=DB.∵ DE平分△ ABC的周長 , ∴ AC+CE+AD=DB+BE,∴ AC+CE=BE,∴ BE=CF+CE=EF,∴ DE是△ ABF的中位線 ,∴ DE∥ AF, ∵∠ ACB=60176。,∴∠ ACF=120176。,又 AC=CF=1,∴∠ FAC=∠ AFC=30176。,作 CH⊥ AF,則 AH=? AC, ∴ AF=? AC=? ,∴ DE=? AF=? . ? 323 312 32思路分析 延長 BC至點 F,使 CF=AC,利用已知條件證明 DE為△ ABF的中位線 ,由已知條件求 得 AF的長 ,從而求得 DE的長 . 解題技巧 對于求線段長度的問題 ,若條件涉及三角形邊的中點 ,可以考慮運用中位線性質(zhì)來 解答 . 10.(2022河北 ,17,3分 )如圖 ,A,B兩點被池塘隔開 ,不能直接測量其距離 .于是 ,小明在岸邊選一點 C,連接 CA,CB,分別延長到點 M,N,使 AM=AC,BN=BC,測得 MN=200 m,則 A,B間的距離為 m. ? 答案 100 解析 ∵ AM=AC,BN=BC,∴ AB是△ CMN的中位線 ,∴ AB=? MN,∵ MN=200 m,∴ AB=100 m. 1211.(2022陜西 ,12A,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,BD和 CE是△ ABC的兩條角平分線 .若 ∠ A=52176。,則 ∠ 1+ ∠ 2的度數(shù)為 . ? 答案 64176。 解析 ∵ BD平分 ∠ ABC,CE平分 ∠ ACB,∴∠ 1=? ∠ ABC,∠ 2=? ∠ ACB,又 ∠ ABC+∠ ACB=180176。 ∠ A,∴ 2∠ 1+2∠ 2=180176?！?A=128176。,∴∠ 1+∠ 2=64176。. 12 1212.(2022江西 ,14,3分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。,有一個銳角為 60176。,BC= P在直線 AC上 (不與 點 A,C重合 ),且 ∠ ABP=30176。,則 CP的長為 . 答案 2? 或 4? 或 6 3 3解析 圖 1中 ,∠ ABC=60176。,BC=6,則 AB=3,AC=3? ,又 ∠ AB