【正文】 AC=45176。,∴∠ EAD=90176。. 在 Rt△ EAD中 ,ED2=AD2+AE2, ∴ ED2=AD2+BD2.? (6分 ) 又 ED2=EC2+CD2=2CD2, ∴ 2CD2=AD2+DB2.? (7分 ) ,E C D CA C E B C DA C B C???? ? ??? ??考點(diǎn)一 等腰三角形 教師專用題組 1.(2022河北 ,8,3分 )已知 :如圖 ,點(diǎn) P在線段 AB外 ,且 PA = :點(diǎn) P在線段 AB的垂直平分線上 . 在證明該結(jié)論時(shí) ,需添加輔助線 ,則作法 不 正確的是 ? ( ) ? ∠ APB的平分線 PC交 AB于點(diǎn) C P作 PC⊥ AB于點(diǎn) C且 AC=BC AB中點(diǎn) C,連接 PC P作 PC⊥ AB,垂足為 C 答案 B 無(wú)論作 ∠ APB的平分線 PC交 AB于點(diǎn) C,還是取 AB中點(diǎn) C,連接 PC或過(guò)點(diǎn) P作 PC⊥ AB, 垂足為 C,都可以通過(guò)等腰三角形三線合一得出結(jié)論 ,選項(xiàng) A,C,D的作法正確 .故選 B. 2.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,6,3分 )若等腰三角形的周長(zhǎng)為 10 cm,其中一邊長(zhǎng)為 2 cm,則該等腰三角形 的底邊長(zhǎng)為 ? ( ) cm cm cm cm 答案 A 當(dāng)腰長(zhǎng)為 2 cm時(shí) ,底邊長(zhǎng)為 6 cm,但是 2+2=46,即兩邊之和小于第三邊 ,不合題意 。當(dāng) 底邊長(zhǎng)為 2 cm時(shí) ,腰長(zhǎng)為 4 cm,符合題意 ,故選 A. 3.(2022河北 ,16,2分 )如圖 ,∠ AOB=120176。,OP平分 ∠ AOB,且 OP= M,N分別在 OA,OB上 ,且△ PMN為等邊三角形 ,則滿足上述條件的△ PMN有 ? ( ) ? 答案 D 如圖所示 ,過(guò)點(diǎn) P分別作 OA,OB的垂線 ,垂足分別為 C,D,連接 CD,則△ PCD為等邊三 角形 .在 OC,DB上分別取 M,N,使 CM=DN,則△ PCM≌ △ PDN,所以 ∠ CPM=∠ DPN,PM=PN,∠ MPN=60176。,則△ PMN為等邊三角形 ,因?yàn)闈M足 CM=DN的 M,N有無(wú)數(shù)個(gè) ,所以滿足題意的三角形 有無(wú)數(shù)個(gè) . ? 4.(2022吉林長(zhǎng)春 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,過(guò)點(diǎn) A作 AD∥ ∠ 1=70176。,則 ∠ BAC的大小 為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C.∵ AD∥ BC,∴∠ 1=∠ C=70176。,∴∠ B=70176。,∴∠ BAC=40176。.故選 B. 5.(2022江蘇蘇州 ,10,3分 )如圖 ,△ AOB為等腰三角形 ,頂點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (2,? ),底邊 OB在 x軸上 .將 △ AOB繞點(diǎn) B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后得△ A39。O39。B,點(diǎn) A的對(duì)應(yīng)點(diǎn) A39。在 x軸上 ,則點(diǎn) O39。的坐標(biāo) 為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 52 0 1 0,33??????1 6 4 5,33??????2 0 4 5,33??????16, 4 33??????答案 C 過(guò) A作 OB邊的垂線 AC,垂足為 C,過(guò) O39。作 BA39。邊的垂線 O39。D,垂足為 D,因?yàn)轫旤c(diǎn) A 的坐 標(biāo)為 (2,? ),所以 C點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,0),所以 OC=2,AC=? ,在 Rt△ OAC中 ,根據(jù)勾股定理得 OA=3,所 以 AB=△ AOB為等腰三角形 ,所以 C為 OB的中點(diǎn) ,所以 B點(diǎn)坐標(biāo)為 (4,0),故 BO39。=BO= Rt △ O39。BD和 Rt△ O39。A39。D中 ,O39。B2BD2=O39。A39。2A39。 BD=x,則有 42x2=32(3x)2,解得 x=? ,所以 BD=? ,所 以 O39。D=? ,又 OD=4+? =? ,故 O39。點(diǎn)的坐標(biāo)為 ? ,故選 C. ? 5 583 83453 83203 2 0 4 5,33??????6.(2022吉林 ,14,3分 )我們規(guī)定 :等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的 “特征值” ,記作 k=? ,則該等腰三角形的頂角為 度 . 12答案 36 解析 設(shè)等腰三角形的頂角為 x度 ,則一個(gè)底角的度數(shù)為 2x度 ,由 x+22x=180?x= 3 6度 . 7.(2022四川綿陽(yáng) ,17,3分 )將形狀、大小完全相同的兩個(gè)等腰三角形如圖所示放置 ,點(diǎn) D在 AB邊 上 ,△ DEF繞點(diǎn) D旋轉(zhuǎn) ,腰 DF和底邊 DE分別交△ CAB的兩腰 CA,CB于 M,N兩點(diǎn) .若 CA=5,AB=6, AD∶ AB=1∶ 3,則 MD+? 的最小值為 . ? 12MA DN?答案 2? 3解析 ∵∠ B+∠ BDN+∠ BND=180176。,∠ BDN+∠ FDE+∠ ADM=180176。,∠ B=∠ FDE,∴∠ BND=∠ ADM, 又 ∵∠ B=∠ A,∴ △ BDN∽ △ AMD, ∴ ? =? , ∴ DNAM=MDBD. ∵ AD∶ AB=1∶ 3, ∴ BD=? AB=4, ∴ DNAM=4MD. 設(shè) MD=x, 則 MD+? =MD+? =x+? =(? )22? ? +? +2? =? +2? , ∴ 當(dāng) ? =? ,即 x=? 時(shí) ,MD+? 取得最小值 ,為 2? . DNMDBDAM2312MA DN? 3MD 3xx x3x23x??????3 23xx???????3x3x3 12MA DN? 38.(2022江蘇揚(yáng)州 ,10,3分 )若等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為 7 cm和 14 cm,則它的周長(zhǎng)為 cm. 答案 35 解析 等腰三角形的兩腰相等 ,若第三邊長(zhǎng)為 7 cm,則 7+7=14 cm,不能構(gòu)成三角形 。若第三邊長(zhǎng) 為 14 cm,則 7+14=21 cm14 cm,符合三角形三邊關(guān)系 ,所以周長(zhǎng)為 7+14+14=35 cm. 9.(2022山西 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ BAC=30176。,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,∠ ACE=? ∠ BAC,CE交 AB于點(diǎn) E,交 AD于點(diǎn) F,若 BC=2,則 EF的長(zhǎng)為 . ? 12答案 ? 1 3解析 在 DF上取點(diǎn) G,使 DG=DC,連接 CG. ? ∵ AB=AC,AD為 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ CAD=∠ BAD=? ∠ BAC=15176。, ∵ △ CDG為等腰直角三角形 ,∴∠ DCG=45176。. ∵∠ ACE=? ∠ BAC,∴∠ ACE=∠ CAD,∴ AF=CF. ∵∠ ACE=? ∠ BAC=15176。,∠ DCG=45176。, ∠ ACB=? =75176。, ∴∠ FCG=75176。15176。45176。=15176。,∴∠ BAD=∠ FCG. 又 ∵∠ AFE=∠ CFG,AF=CF, ∴ △ AFE≌ △ CFG(ASA), 121212180 2 BAC???∴ EF=FG. ∵ AB=AC,AD為 BC邊上的中線 , ∴ CD=? BC=1. ∵∠ DCF=75176。15176。=60176。,∴ DF=? DC=? . 又 ∵ DG=DC=1,∴ EF=FG=DFDG=? 1. 123 3310.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,13,3分 )等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 36176。,則該等腰三角 形的底角的度數(shù)為 . 答案 63176?；?27176。 解析 在三角形 ABC中 ,設(shè) AB=AC,BD⊥ AC于 D. ① 若三角形是銳角三角形 ,則 ∠ A=90176。36176。=54176。, 此時(shí) ,底角 =(180176。54176。)247。2=63176。 ? ② 若三角形是鈍角三角形 ,則 ∠ BAC=36176。+90176。=126176。, 此時(shí) ,底角 =(180176。126176。)247。2=27176。. ? 綜上 ,該等腰三角形底角的度數(shù)是 63176?；?27176。. 11.(2022北京 ,19,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=36176。,BD平分 ∠ ABC交 AC于點(diǎn) D. 求證 :AD=BC. ? 證明 ∵ AB=AC,∠ A=36176。, ∴∠ ABC=∠ C=72176。. ∵ BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=36176。, ∴∠ ABD=∠ A, ∴ AD=BD. ∵∠ BDC=∠ A+∠ ABD=72176。, ∴∠ BDC=∠ C, ∴ BD=BC,∴ AD=BC. 12.(2022北京 ,20,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,BE⊥ AC于點(diǎn) E. 求證 :∠ CBE=∠ BAD. ? 證明 ∵ AB=AC,AD是 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD. ∵ BE⊥ AC, ∴∠ BEC=∠ ADC=90176。. ∴∠ CBE=90176?！?C,∠ CAD=90176?！?C. ∴∠ CBE=∠ CAD. ∴∠ CBE=∠ BAD. 13.(2022浙江杭州 ,18,8分 )在△ ABC中 ,AB=AC,點(diǎn) E,F分別在 AB,AC上 ,AE=AF,BF與 CE相交于點(diǎn) :PB=PC,并直接寫出圖中其他相等的線段 . ? 解析 在△ AFB和△ AEC中 , AF=AE,∠ A為公共角 ,AB=AC, 所以△ AFB≌ △ AEC, 所以 ∠ ABF=∠ ACE. 因?yàn)?AB=AC,所以 ∠ ABC=∠ ACB, 所以 ∠ PBC=∠ PCB, 所以 PB=PC. 其余相等的線段有 :BF=CE。PE=PF。BE=CF. 1.(2022四川綿陽(yáng) ,11,3分 )如圖 ,直角△ ABC中 ,∠ B=30176。,點(diǎn) O是△ ABC的重心 ,連接 CO并延長(zhǎng)交 AB于點(diǎn) E,過(guò)點(diǎn) E作 EF⊥ AB交 BC于點(diǎn) F,連接 AF交 CE于點(diǎn) M,則 ? 的值為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? MOMF12 54 23 33考點(diǎn)二 直角三角形 答案 D ∵ 在 Rt△ ABC中 ,點(diǎn) O是△ ABC的重心 , ∴ OC=? CE,CE=AE=EB, ∴∠ B=∠ BCE=30176。,∠ CAE=∠ ECA=60176。, ∴ △ CAE是等邊三角形 . ∵ EF⊥ AB,∴∠ FEB=90176。, ∴∠ CEF=30176。, ∴ CF=EF, ∴ AF平分 ∠ CAB, ∴ AM垂直平分 CE, ∴ CM=? CE, ∴ MO=? CE=? CM. ∵ MF=CMtan 30176。=? CM, ∴ ? =? =? ,故選 D. 231216 1333MOMF 13332.(2022北京 ,6,3分 )如圖 ,公路 AC,BC互相垂直 ,公路 AB的中點(diǎn) M與點(diǎn) C被湖隔開 ,若測(cè)得 AM的長(zhǎng) 為 km,則 M,C兩點(diǎn)間的距離為 ? ( ) ? km km km km 答案 D ∵ AC⊥ BC,M是 AB的中點(diǎn) ,∴ MC=? AB=AM= D. 123.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,∠ MAN=90176。,點(diǎn) C在邊 AM上 ,AC=4,點(diǎn) B為邊 AN上一動(dòng)點(diǎn) ,連接 BC,△ A39。BC 與△ ABC關(guān)于 BC所在直線對(duì)稱 .點(diǎn) D,E分別為 AC,BC的中點(diǎn) ,連接 DE并延長(zhǎng)交 A39。B所在直線 于點(diǎn) F,連接 A39?！?A39。EF為直角三角形時(shí) ,AB的長(zhǎng)為 . ? 答案 4或 4? 3解析 (1)當(dāng)點(diǎn) A39。在直線 DE下方時(shí) ,如圖 1,∵∠ CA39。F=90176。,∠ EA39。F∠ CA39。F,∴ △ A39。EF為鈍角三角 形 ,不符合 。(2)① 當(dāng)點(diǎn) A39。在直線 DE上方時(shí) ,如圖 ∠ A39。FE=90176。時(shí) ,∵ DE∥ AB,∴∠ EDA=90176。,∴ A 39。B∥ ABA39。C為正方形 ,∴ AB=AC=4。② 當(dāng)點(diǎn) A39。在直線 DE上方時(shí) ,如圖 ∠ A39。 EF=90176。時(shí) ,A39。E∥ AC,所以 ∠ A39。EC=∠ ACE=∠ A39。CE,∴ A39。C=A39。E.∵ A39。E=EC,∴ △ A39。CE為等邊三角 形 ,∴∠ ACB=∠ A39。CB=60176。,∴ 在 Rt△ ACB中 ,AB=ACtan 60176。=4? 。③ 當(dāng)點(diǎn) A39。在直線 DE上方時(shí) ,∠ EA39。F∠ C