對原函數(shù)存在條件的探討-文庫吧
2025-06-03 12:59 本頁面
【正文】 eibniz公式將導(dǎo)數(shù)和定積分連接起來函數(shù)可積的條件導(dǎo)函數(shù)的一些性質(zhì)充分利用它們的關(guān)系導(dǎo)出原函數(shù)存在的條件并推廣和運(yùn)用得到實(shí)踐效果使復(fù)雜問題簡單化發(fā)揮數(shù)學(xué)獨(dú)到的美感1. 原函數(shù)則稱為在區(qū)間上的一個原函數(shù)注 對于原函數(shù)的說法是有針對性的必須指明在哪個區(qū)間這樣原函數(shù)才有意義 可積的概念及相關(guān)定理(這里插入 個) 來劃分區(qū)間在每一個部分區(qū)間中任取一點(diǎn)作和式 其中設(shè)為中的最大數(shù)即 當(dāng)時如果和式的極限存在即 就稱此極限值為在上的定積分和式稱為的積分和 注 在上述意義下的定積分也叫黎曼積分簡稱積分 (定積分存在的充要條件)函數(shù)在可積的充要條件是即 (其中為達(dá)布上和為達(dá)布下和)(表示在上黎曼可積)當(dāng)且僅當(dāng)其上下積分相等此時有 若則.(其中表示在上連續(xù)) 若是上的單調(diào)函數(shù)則.（Du Bois Reymond）上有界函數(shù)可積的必要條件是：對任給的存在分劃：其相應(yīng)于的子區(qū)間的長度的總和小于.(牛頓萊布尼茨公式（Newtonleibniz公式）設(shè)在上可積且在上有原函數(shù)則（下文中簡稱此公式為NL公式）定積分的值是在可積基礎(chǔ)上計算出來的而在微積分學(xué)中有些定積分往往不是太容易計算而利用newtonleibniz公式尋找被積函數(shù)的原函數(shù)從而可以把復(fù)雜問題簡單化 利用定積分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系用newtonleibniz公式把定積分和原函數(shù)聯(lián)系起來可以得到原函數(shù)利用原函數(shù)求定積分生活中也經(jīng)常出現(xiàn)這些類似的問題在我們設(shè)計鐵路公路天空中飛機(jī)的航線往往需要微積分定理的知識將定積分和原函數(shù)緊密聯(lián)系在一起將誤差降低到最小保證人們的安全具有十分重要的意義2. 原函數(shù)存在的條件(充分條件）若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且在 處連續(xù)則其變上限積分 在點(diǎn)處可微且其導(dǎo)數(shù)等于.(當(dāng)是端點(diǎn)或時是指右左導(dǎo)數(shù))證明 記且不妨討論它在處的右導(dǎo)數(shù). 首先取,因?yàn)橛? 所以其差商滿足 其次根據(jù)在點(diǎn)處的連續(xù)性可知對任給存在使得且 現(xiàn)在取就有. 從而又可得差商的估計式： . 這說明 同理可證得 綜上在上可微且其導(dǎo)函數(shù)等于注
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