復(fù)變函數(shù)與積分變北京郵電大學(xué)課后的習(xí)題答案-文庫吧
2025-06-03 08:23 本頁面
【正文】 ,n,l的值.解：因為f(z)解析，從而滿足CR條件.所以.9. 試證下列函數(shù)在z平面上解析，并求其導(dǎo)數(shù).(1) f(z)=x3+3x2yi3xy2y3i證明：u(x,y)=x33xy2, v(x,y)=3x2yy3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上滿足CR方程，處處可導(dǎo)，處處解析..(2) .證明：處處可微，且所以, 所以f(z)處處可導(dǎo)，處處解析.10. 設(shè)求證：(1) f(z)在z=0處連續(xù)． (2)f(z)在z=0處滿足柯西—黎曼方程． (3)f′(0)不存在．證明.(1)∵而∵∴∴同理∴∴f(z)在z=0處連續(xù)．(2)考察極限當(dāng)z沿虛軸趨向于零時，z=iy，有．當(dāng)z沿實軸趨向于零時，z=x，有它們分別為∴∴滿足CR條件．(3)當(dāng)z沿y=x趨向于零時，有∴不存在．即f(z)在z=0處不可導(dǎo)．11. 設(shè)區(qū)域D位于上半平面，D1是D關(guān)于x軸的對稱區(qū)域，若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，求證在區(qū)域D1內(nèi)解析．證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因為f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析．所以u(x,y),v(x,y)在D內(nèi)可微且滿足CR方程，即．，得 故φ(x,y),ψ(x,y)在D1內(nèi)可微且滿足CR條件從而在D1內(nèi)解析13. 計算下列各值(1) e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1)(2)(3)(4)14. 設(shè)z沿通過原點的放射線趨于∞點，試討論f(z)=z+ez的極限．解：令z=reiθ， 對于θ，z→∞時，r→∞． 故． 所以． 15. 計算下列各值．(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16. 試討論函數(shù)f(z)=|z|+lnz的連續(xù)性與可導(dǎo)性．解：顯然g(z)=|z|在復(fù)平面上連續(xù)，lnz除負(fù)實軸及原點外處處連續(xù)．設(shè)z=x+iy，在復(fù)平面內(nèi)可微．故g(z)=|z|在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．從而f(x)=|z|+lnz在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．f(z)在復(fù)平面除原點及負(fù)實軸外處處連續(xù)．17. 計算下列各值．(1) (2)(3)18. 計算下列各值(1)(2)(3)(4) (5)(6)19. 求解下列方程(1) sinz=2．解：(2)解： 即(3)解： 即(4)解：．20. 若z=x+iy，求證(1) sinz=sinxchy+icosx?shy證明：(2)cosz=cosx?chyisinx?shy證明：(3)|sinz|2=sin2x+sh2y證明： (4)|cosz|2=cos2x+sh2y證明： 21. 證明當(dāng)y→∞時，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趨于無窮大．證明： ∴ 而 當(dāng)y→+∞時，ey→0，ey→+∞有|sinz|→∞． 當(dāng)y→∞時，ey→+∞，ey→0有|sinz|→∞．同理得所以當(dāng)y→∞時有|cosz|→∞．習(xí)題三1. 計算積分,其中C為從原點到點1+i的直線段.解 設(shè)直線段的方程為,則. 故 2. 計算積分，其中積分路徑C為(1) 從點0到點1+i的直線段。(2) 沿拋物線y=x2，從點0到點1+i的弧段.解 (1)設(shè). (2)設(shè). 3. 計算積分，其中積分路徑C為(1) 從點i到點i的直線段。(2) 沿單位圓周|z|=1的左半圓周，從點i到點i。(3) 沿單位圓周|z|=1的右半圓周，從點i到點i.解 (1)設(shè). (2)設(shè). 從到(3) 設(shè). 從到6. 計算積分,其中為.解 ∵在所圍的區(qū)域內(nèi)解析∴從而故7. 計算積分,其中積分路徑為（1） （2） （3） （4）解：（1）在所圍的區(qū)域內(nèi)，只有一個奇點.（2）（3）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含一個奇點,故（4）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含兩個奇點,故. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1)(2)(3) (4) (5) (6) 11. 計算積分,其中為(1) (2) (3) 解 (1) (2) (3) 16. 求下列積分的值,其中積分路徑C均為|z|=1. (1) (2) (3) 解 (1) (2)(3) 17. 計算積分,其中積分路徑為(1)中心位于點,半徑為的正向圓周(2) 中心位于點,半徑為的正向圓周解：(1) 內(nèi)包含了奇點∴(2) 內(nèi)包含了奇點,∴19. 驗證下列函數(shù)為調(diào)和函數(shù).解(1) 設(shè), ∴ 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).(2) 設(shè), ∴ 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù). ,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).:函數(shù),都是調(diào)和函數(shù),但不是解析函數(shù)證明: ∴,從而是調(diào)和函數(shù). ∴,從而是調(diào)和函數(shù).但∵ ∴不滿足CR方程,從而不是解析函數(shù).,求解析函數(shù)(1) (2)解 (1)因為 所以 令y=0,上式變?yōu)閺亩?2) 用線積分法，取（x0,y0）為(1,0)，有由，得C=0,其中各不相同，閉路C不通過,證明積分等于位于C內(nèi)的p(z)的零點的個數(shù).證明: 不妨設(shè)閉路C內(nèi)的零點的個數(shù)為k, 其零點分別為(無界區(qū)域的柯西積分公式): 設(shè)f(z)在閉路C及其外部區(qū)域D內(nèi)解析，且，則其中G為C所圍內(nèi)部區(qū)域.證明：在D內(nèi)任取一點Z，并取充分大的R，作圓CR: ，將C與Z包含在內(nèi)則f(z)在以C及為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，依柯西積分公式，有因為 在上解析，且所以，當(dāng)Z在C外部時，有即
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1