函數(shù)與方程思想總結(jié)(很好很全面)-文庫(kù)吧
2025-06-01 04:06 本頁(yè)面
【正文】 (x)＜0的解集為_(kāi)__________ 解析：以函數(shù)為中心，考查通性通法，設(shè)Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)＜0時(shí)，F(xiàn)′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x＜0時(shí)，F(xiàn)(x)為增函數(shù).因?yàn)槠婧瘮?shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同，所以x＞0時(shí)，F(xiàn)(x)也為增函數(shù). 因?yàn)镕(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3). 如上圖，是一個(gè)符合題意的圖象，觀察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３) 【例4】已知實(shí)數(shù)分別滿(mǎn)足，則=_________解答：已知的等式都是三次方程,直接通過(guò)方程解出有一定的困難,但是,題設(shè)的兩個(gè)等式的左邊的結(jié)構(gòu)相同,使我們想到用統(tǒng)一的式子來(lái)表示這兩個(gè)等式,對(duì)題設(shè)的兩個(gè)等式變形為,根據(jù)這兩個(gè)等式的特征,構(gòu)造函數(shù).函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù),又是上的增函數(shù),則有 于是, 因而得 【例5】 若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是___________解答： 圓整理為，∴圓心坐標(biāo)為(2，2)，半徑為3，要求圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，直線的傾斜角的取值范圍是【例6】如果實(shí)數(shù)滿(mǎn)足等式那么的最大值為_(kāi)__________解答：根據(jù)已知等式,畫(huà)出以為圓心,以為半徑的圓,則的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)所連直線的斜率.顯然, 的最大值是過(guò)原點(diǎn)與圓相切的直線的斜率,由可得.于是,的最大值是【例7】設(shè)是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，那么過(guò)點(diǎn)和的直線與圓的位置關(guān)系是___________解答：由題意， 因此和都在直線上，∴原點(diǎn)到該直線的距離，∴過(guò)的直線與單位圓相切．【例8】設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)，則關(guān)于的方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是__________ 解答：畫(huà)出函數(shù)的圖像,該圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng),且,令,若有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解,則方程有2個(gè)不同實(shí)數(shù)解,且為一正根,一零根.因此, 充要條件是且【例9】. 設(shè)函數(shù)＝x2－1，對(duì)任意x∈，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________．【答案】 ∪ 解析：(解法1)不等式化為f(x－1)＋4f(m)－f＋4m2f(x)≥0，即(x－1)2－1＋4m2－4－＋1＋4m2x2－4m2≥0，整理得x2－2x－3≥0，因?yàn)閤2＞0，所以1－＋4m2≥，設(shè)g(x)＝，x∈.于是題目化為1－＋4m2≥g(x)，對(duì)任意x∈恒成立的問(wèn)題．為此需求g(x)＝，x∈的最大值．設(shè)u＝，則0＜u≤.函數(shù)g(x)＝h(u)＝3u2＋2u在區(qū)間上是增函數(shù)，因而在u＝處取得最大值．h＝3＋＝，所以1－＋4m2≥g(x)max＝，整理得12m4－5m2－3≥0，即(4m2－3)(3m2＋1)≥0，所以4m2－3≥0，解得m≤－或m≥，因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈∪.(解法2)(前面同解法1)原題化為1－＋4m2≥g(x)，對(duì)任意x∈恒成立的問(wèn)題．為此需求g(x)＝，x∈的最大值．設(shè)t＝2x＋3，則t∈[6，＋∞)．g(x)＝h(t)＝＝.因?yàn)楹瘮?shù)t＋在(3，＋∞)上是增函數(shù)，所以當(dāng)t＝6時(shí)，t＋取得最小值6＋.從而h(t)有最大值＝.所以1－＋4m2≥gmax(x)＝，整理得12m4－5m2－3≥0，即(4m2－3)(3m2＋1)≥0，所以4m2－3≥0，解得m≤－或m≥
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