【正文】 C, 又因為 ∠ EAF=∠ GAC,所以 ∠ AEF=∠ C, 又因為 ∠ DAE=∠ BAC,所以△ ADE∽ △ ABC. (2)因為△ ADE∽ △ ABC,所以 ∠ ADE=∠ B, 又因為 ∠ AFD=∠ AGB=90176。,所以△ AFD∽ △ AGB, 所以 ? =? ,又因為 AD=3,AB=5,所以 ? =? . AFAG ADAB AFAG 3511.(2022湖北武漢 ,23,10分 )在△ ABC中 ,P為邊 AB上一點 . (1)如圖 1,若 ∠ ACP=∠ B,求證 :AC2=APAB。 (2)若 M為 CP的中點 ,AC=2. ①如圖 2,若 ∠ PBM=∠ ACP,AB=3,求 BP的長 。 ②如圖 3,若 ∠ ABC=45176。,∠ A=∠ BMP=60176。,直接寫出 BP的長 . 圖 1 圖 2 圖 3 解析 (1)證明 :∵∠ ACP=∠ B,∠ A=∠ A, ∴ △ ACP∽ △ ABC.? (2分 ) ∴ ? =? ,∴ AC2=APAB.? (3分 ) (2)①解法一 :延長 PB至點 D,使 BD=PB,連接 CD. ? ∵ M為 CP中點 ,∴ CD∥ MB,∴∠ D=∠ PBM,? (4分 ) ∵∠ PBM=∠ ACP, ∴∠ D=∠ PBM=∠ ACP. 由 (1)得 AC2=APAD,? (5分 ) ACAP ABAC設(shè) BP=x,則 22=(3x)(3+x). 解得 x=? (舍去負根 ),即 BP=? .? (7分 ) 解法二 :取 AP的中點 E,連接 EM. ? ∵ M為 CP中點 ,∴ ME∥ AC,EM=? AC=1.? (4分 ) ∴∠ PME=∠ ACP, ∵∠ PBM=∠ ACP,∴∠ PME=∠ PBM. 由 (1)得 EM2=EPEB,? (5分 ) 設(shè) BP=x,則 12=? ? . 解得 x=? (舍去負根 ),即 BP=? .? (7分 ) 5 5123 2 x? 33 2 x????????5 5② BP=? 1.? (10分 ) 7考點三 圖形的位似 1.(2022四川成都 ,8,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD和 A39。B39。C39。D39。是以點 O為位似中心的位似圖形 ,若 OA∶ OA39。=2∶ 3,則四邊形 ABCD與四邊形 A39。B39。C39。D39。的面積比為 ? ( ) ? ∶ 9 ∶ 5 ∶ 3 D.? ∶ ? 2 3答案 A 由位似圖形的性質(zhì)知 ? =? =? ,所以 ? =? =? .故選 A. 39。39。AB 39。OA23 39。 39。 39。 39。ABCDA B C DSS 四 邊 形四 邊 形239。39。ABAB??????492.(2022山東煙臺 ,7,3分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,正方形 ABCD與正方形 BEFG是以原點 O為 位似中心的位似圖形 ,且相似比為 ? ,點 A,B,E在 x軸上 ,若正方形 BEFG的邊長為 6,則 C點坐標為 ? ( ) ? A.(3,2) B.(3,1) C.(2,2) D.(4,2) 13答案 A 因為正方形 BEFG的邊長為 6,正方形 ABCD與正方形 BEFG的相似比為 ? ,所以正方 形 ABCD的邊長為 2,設(shè) OA=x,易知△ OBC∽ △ OEF,所以 ? =? =? ,所以 ? =? ,解得 x=1,所 以點 C的坐標為 (3,2),故選 A. 13OBOEBCEF 1328xx ?? 133.(2022甘肅蘭州 ,5,4分 )如圖 ,線段 CD兩個端點的坐標分別為 C(1,2)、 D(2,0),以原點為位似中 心 ,將線段 CD放大得到線段 AB,若點 B的坐標為 (5,0),則點 A的坐標為 ? ( ) ? A.(2,5) B.(,5) C.(3,5) D.(3,6) 答案 B 設(shè)點 A的坐標為 (x,y),由位似圖形的性質(zhì)知 ,? =? =? ,得 x=,y=5,則點 A的坐標為 (2. 5,5).故選 B. 1x 2y 524.(2022安徽 ,17,8分 )如圖 ,在由邊長為 1個單位長度的小正方形組成的 1010網(wǎng)格中 ,已知 點 O,A,B均為網(wǎng)格線的交點 . (1)在給定的網(wǎng)格中 ,以點 O為位似中心 ,將線段 AB放大為原來的 2倍 ,得到線段 A1B1(點 A,B的對 應點分別為 A1,B1).畫出線段 A1B1。 (2)將線段 A1B1繞點 B1逆時針旋轉(zhuǎn) 90176。得到線段 A2B1。 (3)以 A,A1,B1,A2為頂點的四邊形 AA1B1A2的面積是 個平方單位 . ? 解析 (1)線段 A1B1如圖所示 .? (3分 ) ? (2)線段 A2B1如圖所示 .? (6分 ) (3)20.? (8分 ) 提示 :根據(jù) (1)(2)可知四邊形 AA1B1A2是正方形 ,邊長為 ? =2? ,∴ 以 A,A1,B1,A2為頂點的四 邊形 AA1B1A2的面積為 (2? )2=20(個平方單位 ). 2242? 555.(2022廣西南寧 ,21,8分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,已知△ ABC三個頂點的坐標分別是 A(2,2), B(4,0),C(4,4). (1)請畫出△ ABC向左平移 6個單位長度后得到的△ A1B1C1。 (2)以點 O為位似中心 ,將△ ABC縮小為原來的 ? ,得到△ A2B2C2,請在 y軸右側(cè)畫出△ A2B2C2,并求 出 ∠ A2C2B2的正弦值 . ? 12解析 (1)△ A1B1C1為所求作三角形 .? (3分 ,正確作出一個點給 1分 ) (2)△ A2B2C2為所求作三角形 .? (6分 ,正確作出一個點給 1分 ) ? 根據(jù)勾股定理得 :A2C2=? =? , ∴ sin∠ A2C2B2=? =? .? (8分 ) 2213? 10110 1010C組 教師專用題組 考點一 相似的有關(guān)概念 1.(2022黑龍江哈爾濱 ,9,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,D、 E分別為 AB、 AC邊上的點 ,DE∥ BC,點 F為 BC邊上一點 ,連接 AF交 DE于點 ? ( ) ? A.? =? B.? =? C.? =? D.? =? ADAB AEEC AGGF AEBD BDAD CEAE AGAF ACEC答案 C 根據(jù)平行線分線段成比例定理可知 ? =? ,? =? ,? =? ,? =? ,所以選 項 A、 B、 D錯誤 ,選項 C正確 .故選 C. ADAB AEACAGGF AEECBDAD CEAEAGAF AEAC2.(2022黑龍江牡丹江 ,6,3分 )若 x∶ y=1∶ 3,2y=3z,則 ? 的值是 ? ( ) ? C.? 2 xyzy??103 103答案 A ∵ x∶ y=1∶ 3, ∴ 設(shè) x=k,y=3k, ∵ 2y=3z,∴ z=2k, ∴ ? =? = A. 2 xyzy?? 23kk??3.(2022云南 ,5,3分 )如圖 ,已知 AB∥ CD,若 ? =? ,則 ? = . ? ABCD 14OAOC答案 ? 14解析 ∵ AB∥ CD,∴∠ A=∠ C,∠ B=∠ D, ∴ △ AOB∽ △ COD.∴ ? =? =? . OAOCABCD144.(2022吉林長春 ,11,3分 )如圖 ,直線 a∥ b∥ c,直線 l l2與這三條平行線分別交于點 A、 B、 C和 點 D、 E、 AB∶ BC=1∶ 2,DE=3,則 EF的長為 . ? 答案 6 解析 ∵ a∥ b∥ c,∴ ? =? ,∵ ? =? ,DE=3,∴ EF=6. ABBC DEEF ABBC 125.(2022江蘇南京 ,15,2分 )如圖 ,AB、 CD相交于點 O,OC=2,OD=3,AC∥ △ ODB的中位 線 ,且 EF=2,則 AC的長為 . ? 答案 ? 83解析 ∵ EF是△ ODB的中位線 ,∴ OE=? OD=? ,EF∥ BD,∵ AC∥ BD,EF∥ BD,∴ AC∥ EF,∴ ? =? ,∴ ? =? , ∴ AC=? . 12 32ACEF OCOE 2AC23283考點二 相似三角形的性質(zhì)與判定 1.(2022甘肅蘭州 ,13,4分 )如圖 ,小明為了測量一涼亭的高度 AB(頂端 A到水平地面 BD的距離 ),在 涼亭的旁邊放置一個與涼亭臺階 BC等高的平臺 DE(DE=BC= ,A,C,B三點共線 ),把一面鏡 子水平放置在平臺上的點 G處 ,測得 CG=15米 ,然后沿著直線 CG后退到點 E處 ,這時恰好在鏡子 里看到?jīng)鐾さ捻敹?A,測得 GE=3米 ,小明身高 EF= ,則涼亭的高度 AB約為 ? ( ) ? 答案 A 由光線反射可知 ∠ AGC=∠ FGE,又 ∵∠ FEG=∠ ACG=90176。,∴ △ FEG∽ △ ACG, ∴ FE∶ AC=EG∶ CG,∴ ∶ AC=3∶ 15,∴ AC=8米 .∵ BC= ,∴ AB=AC+BC= . 解題關(guān)鍵 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì) ,解答本題的關(guān)鍵是判定△ FEG與△ ACG相似 . 2.(2022重慶 ,8,4分 )△ ABC與△ DEF的相似比為 1∶ 4,則△ ABC與△ DEF的周長比為 ? ( ) ∶ 2 ∶ 3 ∶ 4 ∶ 16 答案 C 因為△ ABC與△ DEF的相似比為 1∶ 4,所以由相似三角形周長的比等于相似比 ,得 △ ABC與△ DEF的周長比為 1∶ 4,故選 C. 3.(2022黑龍江哈爾濱 ,9,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,D、 E分別為 AB、 AC邊上的點 ,DE∥ BC,BE與 CD相交于點 F,則下列結(jié)論一定正確的是 ? ( ) ? A.? =? B.? =? C.? =? D.? =? ADAB AEAC DFFC AEECADDB DEBC DFBF EFFC答案 A ∵ DE∥ BC, ∴ △ ADE∽ △ ABC, ∴ ? =? =? ,故選項 A正確 ,故選 A. ADAB AEAC DEBC4.(2022四川綿陽 ,12,3分 )如圖 ,D是等邊△ ABC邊 AB上的一點 ,且 AD∶ DB=1∶ 2,現(xiàn)將△ ABC折 疊 ,使點 C與 D重合 ,折痕為 EF,點 E、 F分別在 AC和 BC上 ,則 CE∶ CF=? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 34 45 56 67答案 B 設(shè)等邊△ ABC的邊長為 3,則 AD=1,BD=2,由折疊的性質(zhì)可知 ∠ C=∠ EDF=60176。,∴∠ EDA+∠ FDB=120176。, 在△ AED中 ,∵∠ A=60176。,∴∠ AED+∠ ADE=120176。,∴∠ AED=∠ BDF,又 ∵∠ A=∠ B,∴ △ AED∽ △ BDF,∴ ? =? =? ,又 ∵ CE=DE,CF=DF,∴ ? =? ,? =? ,可得 2CE=3CFCE CF,CF=3CECECF,∴ 2CE3CF=CF3CE,∴ ? =? .故選 B. AEBD ADBF EDDF 3 2CE? CECF 13 CF? CECFCECF455.(2022安徽 ,14,5分 )矩形 ABCD中 ,AB=6,BC= P在矩形 ABCD的內(nèi)部 ,點 E在邊 BC上 ,滿足△ PBE∽ △ △ APD是等腰三角形 ,則 PE的長為 . 答案 3或 ? 65解析 在矩形 ABCD中 ,AD=BC=8,在△ ABD中 ,由勾股定理可得 BD=? =10,∵ ABAD,∴ 根據(jù)△ PBE∽ △ DBC可知 P點在線段 BD上 ,當 AD=PD=8時 ,由相似可得 ? =? =? ?PE=? 。 當 AP=PD時 ,P點為 BD的中點 ,∴ PE=? CD=3,故答案為 3或 ? . 2268?PECD BPBD 210 6512 65思路分析 根據(jù) ABAD及已知條件先判斷 P點在線段 BD上 ,再根據(jù)等腰三角形腰的情況分兩 種情況 :① AD=PD=8。② AP=PD,再由相似三角形中對應邊的比相等求解即可 . 難點突破 判斷 P點在線段 BD上是解答本題的突破口 . 6.(2022浙江杭州 ,15,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,AB=15,AC=20,點 D在邊 AC上 ,AD=5, DE⊥ BC于點 E,連接 AE,則△ ABE的面積等于 . ? 答案 78 解析 ∵ DE⊥ BC,∴∠ BAC=∠ DEC,又 ∵∠ C=∠ C, ∴ △ ABC∽ △ EDC,∴