【正文】 AM交 x軸于點 N1,易知 ∠ OAN1=? =30176。當(dāng)轉(zhuǎn)過的路程 為 ? 時 ,設(shè)射線 AM交 x軸于點 N2,則由對稱性可知 ∠ N1AN2=230176。=60176。,△ N1AN2是正三角形 ,又其 高是 1,所以 1=? N1N2,∴ N1N2=? ? . 13 13180 1202?? ?2332 2336.(2022寧波 ,23,10分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,AC=BC,D是 AB邊上一點 (點 D與 A,B不重 合 ),連接 CD,將線段 CD繞點 C按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90176。得到線段 CE,連接 DE交 BC于點 F,連接 BE. (1)求證 :△ ACD≌ △ BCE。 (2)當(dāng) AD=BF時 ,求 ∠ BEF的度數(shù) . ? 解析 (1)證明 :∵ 線段 CD繞點 C按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90176。得到線段 CE, ∴∠ DCE=90176。,CD=CE. 又 ∵∠ ACB=90176。. ∴∠ ACB=∠ DCE, ∴∠ ACD=∠ BCE. ∵ 在△ ACD和△ BCE中 , ? ∴ △ ACD≌ △ BCE(SAS). (2)∵∠ ACB=90176。,AC=BC, ∴∠ A=45176。. 又 ∵ △ ACD≌ △ BCE, ∴ AD=BE,∠ CBE=∠ A=45176。. 又 ∵ AD=BF,∴ BE=BF,∴∠ BEF=∠ BFE=? =176。. ,C D C EA C D B C EA C B C???? ? ?????180 452?? ?7.(2022金華 ,24,12分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,點 O為原點 ,點 A的坐標(biāo)為 (6,0).如圖 1,正方形 OBCD 的頂點 B在 x軸的負(fù)半軸上 ,點 C在第二象限 .現(xiàn)將正方形 OBCD繞點 O順時針旋轉(zhuǎn)角 α得到正方 形 OEFG. (1)如圖 2,若 α=60176。,OE=OA,求直線 EF的函數(shù)表達(dá)式 。 (2)若 α為銳角 ,tan α=? ,當(dāng) AE取得最小值時 ,求正方形 OEFG的面積 。 (3)當(dāng)正方形 OEFG的頂點 F落在 y軸上時 ,直線 AE與直線 FG相交于點 P.△ OEP的兩邊之比能否 為 ? ∶ 1?若能 ,求點 P的坐標(biāo) 。若不能 ,試說明理由 . ? 122解析 圖 1 (1)如圖 1,過點 E作 EH⊥ OA于點 H,設(shè) EF與 y軸的交點為 M. ∵ OE=OA,α=60176。,∴ △ AEO為正三角形 , ∴ OH=3,EH=? =3? . ∴ 點 E的坐標(biāo)為 (3,3? ). 2263? 33∵∠ AOM=90176。,∴∠ EOM=30176。. 在 Rt△ EOM中 , cos∠ EOM=? ,即 ? =? ,∴ OM=4? . ∴ 點 M的坐標(biāo)為 (0,4? ). 設(shè)直線 EF的函數(shù)表達(dá)式為 y=kx+4? , ∵ 該直線過點 E(3,3? ), ∴ 3k+4? =3? ,解得 k=? , ∴ 直線 EF的函數(shù)表達(dá)式為 y=? x+4? . 圖 2 OEOM 326OM 33333 333333(2)如圖 2,射線 OQ與 OA的夾角為 α? . 無論正方形 OBCD邊長為多少 ,繞點 O旋轉(zhuǎn)角 α后得到的正方形 OEFG的頂點 E均在射線 OQ上 , ∴ 當(dāng) AE⊥ OQ時 ,線段 AE的長最小 . 在 Rt△ AOE中 ,設(shè) AE=a,則 OE=2a, ∴ a2+(2a)2=62, 1,tan 2α α???????為 銳 角解得 a1=? ,a2=? (舍去 ). ∴ OE=2a=? ,∴ S正方形 OEFG=OE2=? . (3)設(shè)正方形邊長為 m. 當(dāng)點 F落在 y軸正半軸時 , 如圖 3,當(dāng) P與 F重合時 ,△ PEO是等腰直角三角形 ,有 ? =? ,? =? . ? 圖 3 在 Rt△ AOP中 ,∠ APO=45176。,OP=OA=6, ∴ 點 P1的坐標(biāo)為 (0,6). 655 6551 2 55 1445OPPE 2 OPOE2在圖 3的基礎(chǔ)上 ,當(dāng)正方形邊長減小時 ,點 P在邊 FG上 ,△ OEP的兩邊之比不可能為 ? ∶ 1。當(dāng)正 方形邊長增加時 ,存在 ? =? (圖 4) 圖 4 2PEOE2和 ? =? (圖 5)兩種情況 . 如圖 4,? =? , 即 ? =? ,∴ △ EFP是等腰直角三角形 , 此時有 AP∥ OF. 圖 5 OPPE 2PEOE2PEEF 2在 Rt△ AOE中 ,∠ AOE=45176。,∴ OE= OA= ? , ∴ PE=? OE=12,PA =PE+AE=18, ∴ 點 P2的坐標(biāo)為 (6,18). 如圖 5,過 P作 PR⊥ x軸于點 R,延長 PG交 x軸于點 H. 設(shè) PF=n. 在 Rt△ POG中 ,PO2=OG2+PG2=m2+(m+n)2=2m2+2mn+n2, 在 Rt△ PEF中 ,PE2=EF2+PF2=m2+n2, 當(dāng) ? =? 時 ,PO2=2PE2. ∴ 2m2+2mn+n2=2(m2+n2),得 n=2m. ∵ EO∥ PH,∴ △ AOE∽ △ AHP,∴ ? =? =? =? , ∴ AH=4OA=24,即 OH=18,∴ m=9? . 在等腰 Rt△ PRH中 ,PR=HR=? PH=? 4m=36, ∴ OR=HROH=18, ∴ 點 P3的坐標(biāo)為 (18,36). 2POPE 2OAAH OEPH 4mm 14222 22當(dāng)點 F落在 y軸負(fù)半軸時 , 如圖 6,P與 A重合時 ,在 Rt△ POG中 ,OP=? OG, 圖 6 又 ∵ 正方形 OGFE中 ,OG=OE,∴ OP=? OE. ∴ 點 P4的坐標(biāo)為 (6,0). 在圖 6的基礎(chǔ)上 ,當(dāng)正方形邊長減小時 ,△ OEP的兩邊之比不可能為 ? ∶ 1。當(dāng)正方形邊長增加 222時 ,存在 ? =? (圖 7)這一種情況 . 如圖 7,過 P作 PR⊥ x軸于點 R,記 PF與 x軸的交點為 N,設(shè) PG=n. ? 圖 7 在 Rt△ OPG中 ,PO2=OG2+PG2=m2+n2, 在 Rt△ PEF中 ,PE2=PF2+FE2=(m+n)2+m2=2m2+2mn+n2. 當(dāng) ? =? 時 ,PE2=2PO2. ∴ 2m2+2mn+n2=2n2+2m2,∴ n=2m, 由于 NG=OG=m,則 PN=NG=m, PEPO 2PEPO 2∵ OE∥ PN,∴ △ AOE∽ △ ANP.∴ ? =? =? =1, 即 AN=OA=6. 在等腰 Rt△ ONG中 ,ON=? m,∴ 12=? m,∴ m=6? , 在等腰 Rt△ PRN中 ,RN=PR=? m=6, ∴ 點 P5的坐標(biāo)為 (18,6). ∴ △ OEP的兩邊之比能為 ? ∶ 1,點 P的坐標(biāo)是 P1(0,6),P2(6,18),P3(18,36),P4(6,0),P5(18,6). ANAO PNOEmm2 2 2222思路分析 (1)設(shè) EF與 y軸的交點為 M,求出 E和 M的坐標(biāo)即可求得直線 EF的解析式 。 (2)取射線 OQ使其滿足與 OA的夾角為 α,且在第二象限 ,分析可知 AE⊥ OQ時 ,線段 AE的長最小 , 此時利用勾股定理可求得 OE的長度 ,進而求出正方形面積 。 (3)要分 F落在 y軸正半軸和負(fù)半軸兩大類討論 ,當(dāng) F落在 y軸正半軸時 ,先討論點 P與 F重合時的 情形 ,再在此基礎(chǔ)上討論正方形邊長減小和增加時的情形 。當(dāng) F落在 y軸負(fù)半軸時 ,先討論點 P與 A重合的情形 ,再在此基礎(chǔ)上討論正方形邊長減小和增加時的情形 . 8.(2022麗水、衢州 ,19,6分 )如圖 ,正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是 1,每個小正方形的 頂點叫做格點 .△ ABC的三個頂點 A,B,C都在格點上 ,將△ ABC繞點 A順時針方向旋轉(zhuǎn) 90176。得到△ AB39。C39。. (1)在正方形網(wǎng)格中 ,畫出△ AB39。C39。 (2)計算線段 AB在變換到 AB?的過程中掃過區(qū)域的面積 . 解析 (1)如圖 . ? (2)線段 AB在變換到 AB39。的過程中掃過區(qū)域的面積就是扇形 B39。AB的面積 . 因為 ∠ B39。AB=90176。,AB39。=AB=? =5, 所以線段 AB在變換到 AB39。的過程中掃過區(qū)域的面積是 ? π25=? π. 2234?90360 2541.(2022天津 ,3,3分 )在一些美術(shù)字中 ,有的漢字是軸對稱圖形 .下面 4個漢字中 ,可以看作是軸對 稱圖形的是 ? ( ) ? B組 20222022年全國中考題組 考點一 圖形的軸對稱 答案 C 根據(jù)軸對稱圖形的概念可得 ,選項 A、 B、 D中的漢字都不是軸對稱圖形 ,只有選項 C中的漢字是軸對稱圖形 ,故選 C. 2.(2022福建龍巖 ,3,4分 )下列圖形中 ,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是 ? ( ) ? 答案 C A、 B是中心對稱圖形 ,但不是軸對稱圖形 ,C既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 ,D 是軸對稱圖形 ,但不是中心對稱圖形 ,故選 C. 3.(2022安徽 ,8,4分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,AB=9,BC=6,∠ B=90176。,將△ ABC折疊 ,使 A點與 BC的中點 D 重合 ,折痕為 MN,則線段 BN的長為 ? ( ) ? A.? B.? 53 52答案 C 設(shè) BN=x,由折疊的性質(zhì)可得 DN=AN=9x,∵ D是 BC的中點 ,∴ BD= Rt△ BND中 ,x2+ 32=(9x)2,解得 x= BN的長為 C. 評析 本題考查了折疊問題 ,利用勾股定理構(gòu)造方程求線段長 ,綜合性較強 . 4.(2022貴州貴陽 ,24,12分 )如圖 ,將一副直角三角板拼放在一起得到四邊形 ABCD,其中 ∠ BAC= 45176。,∠ ACD=30176。,點 E為 CD邊上的中點 ,連接 AE,將△ ADE沿 AE所在直線翻折得到△ AD39。E,D39。E交 AC于 F點 ,若 AB=6? cm. (1)AE的長為 cm。 (2)試在線段 AC上確定一點 P,使得 DP+EP的值最小 ,并求出這個最小值 。 (3)求點 D?到 BC的距離 . 2解析 (1)4? .? (4分 ) (2)∵ 在 Rt△ ADC中 ,∠ ACD=30176。,∴∠ ADC=60176。. ∵ E為 CD邊上的中點 ,∴ AE=DE, ∴ △ ADE為等邊三角形 , ∵ 將△ ADE沿 AE所在直線翻折得到△ AD39。E, ∴ △ AD39。E為等邊三角形 ,? (5分 ) ∴∠ AED39。=60176。, ∵∠ EAC=∠ DAC∠ EAD=30176。, ∴∠ EFA=90176。,即 AC垂直平分線段 ED39。, ∴ 點 E,D39。關(guān)于直線 AC對稱 ,? (6分 ) ? 3連接 DD39。交 AC于點 P,此時 DP+EP值最小 ,且 DP+EP=DD39。.? (7分 ) ∵ △ ADE是等邊三角形 , AD=AE=4? cm, ∴ DD39。=2? AD? =12 cm, 即 DP+EP的最小值為 12 cm.? (8分 ) (3)連接 CD39。,BD39。,過 D39。作 D39。G⊥ BC于點 G, ∵ AC垂直平分 ED39。, ∴ AE=AD39。,CE=CD39。. ∵ AE=CE, ∴ AD39。=CD39。=4? cm.? (9分 ) 又 ∵ AB=BC,BD39。=BD39。, ∴ △ ABD39?！?△ CBD39。, ∴∠ D39。BG=45176。,∴ D39。G=GB, 設(shè) D39。G長為 x cm,則 CG長為 (6? x)cm, 312332在 Rt△ GD39。C中 ,x2+(6? x)2=(4? )2,? (11分 ) ∴ x1=3? ? ,x2=3? +? (不合題意 ,舍去 ), ∴ 點 D39。到 BC邊的距離為 (3? ? )cm.? (12分 ) 2 32 6 2 62 6評析 本題考查利用軸對稱求兩條線段和的最小值 ,以及用勾股定理構(gòu)造方程求距離 ,屬中等 難度題 . 1.(2022江西 ,5,3分 )小軍同學(xué)在網(wǎng)格紙上將某些圖形進行平移操作 ,他發(fā)現(xiàn)平移前后的兩個圖 形所組成的圖形可以是軸對稱圖形 .如圖所示 ,現(xiàn)在他將正方形 ABCD從當(dāng)前位置開始進行一 次平移操作 ,平移后的正方形的頂點也在格點上 ,則使平移前后的兩個正方形組成軸對稱圖形 的平移方向有 ? ( ) ? 考點二 圖形的平移 答案 C 如圖所示 ,正方形 ABCD可以向上、向下、向右以及沿射線 AC或 BD方向平移 ,平移 后的兩個正方形組成軸對稱圖形 .故選