【正文】 ,b= . 14答案 1。1(滿足 a=b2(a≠ 0)即可 ) 解析 ∵ 方程為一元二次方程 ,且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ,∴ a≠ 0,Δ=b2a=0,∴ a=b2(a≠ 0),例如 a= 1,b= . 9.(2022河南 ,19,9分 )已知關(guān)于 x的一元二次方程 (x3)(x2)=|m|. (1)求證 :對(duì)于任意實(shí)數(shù) m,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 。 (2)若方程的一個(gè)根是 1,求 m的值及方程的另一個(gè)根 . 解析 (1)證明 :原方程可化為 x25x+6|m|=0,? (1分 ) ∴ Δ=(5)241(6|m|)=2524+4|m|=1+4|m|.? (3分 ) ∵ |m|≥ 0,∴ 1+4|m|0, ∴ 對(duì)于任意實(shí)數(shù) m,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 .? (4分 ) (2)把 x=1代入原方程 ,得 |m|=2,∴ m=177。2.? (6分 ) 把 |m|=2代入原方程 ,得 x25x+4=0,∴ x1=1,x2=4. ∴ m的值為 177。2,方程的另一個(gè)根是 4.? (9分 ) 考點(diǎn)三 一元二次方程的應(yīng)用 1.(2022甘肅蘭州 ,10,4分 )王叔叔從市場(chǎng)上買了一塊長(zhǎng) 80 cm,寬 70 cm的矩形鐵皮 ,準(zhǔn)備制作一 個(gè)工具箱 .如圖 ,他將矩形鐵皮的四個(gè)角各剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為 x cm的正方形后 ,剩余的部分剛好能 圍成一個(gè)底面積為 3 000 cm2的無(wú)蓋長(zhǎng)方體工具箱 .根據(jù)題意可列方程為 ? ( ) A.(80x)(70x)=3 000 704x2=3 000 C.(802x)(702x)=3 000 704x2(70+80)x=3 000 答案 C 長(zhǎng)方體工具箱的底面是一個(gè)長(zhǎng)為 (802x)cm,寬為 (702x)cm的矩形 ,由題意可得方程 (802x)(702x)=3 000. 思路分析 用含 x的代數(shù)式分別表示出長(zhǎng)方體底面的長(zhǎng)和寬 ,然后根據(jù)“面積 =長(zhǎng) 寬”列方程 . 解題關(guān)鍵 本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用 ,解題的關(guān)鍵是找出題目中的相等關(guān)系 ,并能用 含未知數(shù)的代數(shù)式表示相等關(guān)系中的相關(guān)量 . 2.(2022安徽 ,8,4分 )一種藥品原價(jià)每盒 25元 ,經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每盒 16元 .設(shè)兩次降價(jià)的百分率都 為 x,則 x滿足 ? ( ) (1+2x)=25 (12x)=16 (1+x)2=25 (1x)2=16 答案 D 第一次降價(jià)后的單價(jià)為 25(1x)元 ,第二次降價(jià)后的單價(jià)為 25(1x)2元 ,∴ 25(1x)2=16, 故選 D. 3.(2022浙江臺(tái)州 ,8,4分 )有 x支球隊(duì)參加籃球比賽 ,共比賽了 45場(chǎng) ,每?jī)申?duì)之間都比賽一場(chǎng) ,則下 列方程中符合題意的是 ? ( ) A.? x(x1)=45 B.? x(x+1)=45 (x1)=45 (x+1)=45 12 12答案 A 由題意 ,每隊(duì)與其他的 (x1)隊(duì)比賽一場(chǎng) ,則每隊(duì)比賽 (x1)場(chǎng) ,又任何兩隊(duì)只比賽一場(chǎng) , 故總比賽場(chǎng)數(shù)為 ? x(x1),∴ ? x(x1)= A. 12 124.(2022遼寧沈陽(yáng) ,21,8分 )某公司今年 1月份的生產(chǎn)成本是 400萬(wàn)元 ,由于改進(jìn)生產(chǎn)技術(shù) ,生產(chǎn)成本逐月下降 ,3月份的生產(chǎn)成本是 361萬(wàn)元 .假設(shè)該公司 4月每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率都相同 . (1)求每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率 。 (2)請(qǐng)你預(yù)測(cè) 4月份該公司的生產(chǎn)成本 . 解析 (1)設(shè)該公司每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為 x,根據(jù)題意 ,得 400(1x)2=361, 解得 x1=? =5%,x2=? =, ∵ 1,∴ x2= ,舍去 . 答 :每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為 5%. (2)361(15%)=(萬(wàn)元 ).答 :預(yù)測(cè) 4月份該公司的生產(chǎn)成本為 . 120 3920思路分析 設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為 x,則 2月份的生產(chǎn)成本 =1月份的生產(chǎn)成本 (1x),3月 份的生產(chǎn)成本 =2月份的生產(chǎn)成本 (1x),3月份的生產(chǎn)成本 =1月份的生產(chǎn)成本 (1x)2。4月份的 生產(chǎn)成本 =3月份的生產(chǎn)成本 (1x). 易錯(cuò)警示 3月份的生產(chǎn)成本 =1月份的生產(chǎn)成本 (1x)2,而不是 1月份的生產(chǎn)成本 (12x).下降 率最后要化為百分?jǐn)?shù) ,也可直接設(shè)為 x%. 5.(2022重慶 ,23,10分 )近期豬肉價(jià)格不斷走高 ,引起了民眾與政府的高度關(guān)注 .當(dāng)市場(chǎng)豬肉的平 均價(jià)格達(dá)到一定的單價(jià)時(shí) ,政府將投入儲(chǔ)備豬肉以平抑豬肉價(jià)格 . (1)從今年年初至 5月 20日 ,豬肉價(jià)格不斷走高 ,5月 20日比年初價(jià)格上漲了 60%.某市民在今年 5 月 20日購(gòu)買 100元錢 ,那么今年年初豬肉的最低價(jià)格為每千克多少元 ? (2)5月 20日豬肉價(jià)格為每千克 40元 .5月 21日 ,某市決定投入儲(chǔ)備豬肉 ,并規(guī)定其銷售價(jià)在 5月 20 日每千克 40元的基礎(chǔ)上下調(diào) a%出售 .某超市按規(guī)定價(jià)出售一批儲(chǔ)備豬肉 ,該超市在非儲(chǔ)備豬 肉的價(jià)格仍為每千克 40元的情況下 ,該天的兩種豬肉總銷量比 5月 20日增加了 a%,且儲(chǔ)備豬肉 的銷量占總銷量的 ? ,兩種豬肉銷售的總金額比 5月 20日提高了 ? a%,求 a的值 . 34 110解析 (1)設(shè)今年年初的豬肉價(jià)格為每千克 x元 . 根據(jù)題意 ,得 (1+60%)x≥ 100.? (3分 ) 解這個(gè)不等式 ,得 x≥ 25. ∴ 今年年初豬肉的最低價(jià)格為每千克 25元 .? (4分 ) (2)設(shè) 5月 20日該超市豬肉的銷售量為 1,根據(jù)題意 ,得 40? (1+a%)+40(1a%)? (1+a%)=40? . 令 a%=y, 原方程可化為 40? (1+y)+40(1y)? (1+y) =40? .? (7分 ) 整理這個(gè)方程 ,得 5y2y= ,得 y1=0,y2=. ∴ a1=0(不合題意 ,舍去 ),a2=20.? (9分 ) ∴ a的值是 20.? (10分 ) 14 3411%10 a???????14 3411 10y???????思路分析 (1)設(shè)今年年初豬肉價(jià)格為每千克 x元 ,根據(jù)題意列出一元一次不等式 ,解不等式即 可 。(2)設(shè) 5月 20日兩種豬肉總銷量為 1,根據(jù)題意列出方程 ,解方程即可 . 解題關(guān)鍵 根據(jù)題意列出不等式和方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 . C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 一元一次方程及其應(yīng)用 1.(2022湖南長(zhǎng)沙 ,11,3分 )中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載 :“三百七十八里 關(guān) ,初日健步不為難 ,次日腳痛減一半 ,六朝才得到其關(guān) .”其大意是 :有人要去某關(guān)口 ,路程為 37 8里 ,第一天健步行走 ,從第二天起 ,由于腳痛 ,每天走的路程都為前一天的一半 ,一共走了六天才 到達(dá)目的地 ,則此人第六天走的路程為 ? ( ) 答案 C 設(shè)第一天走了 x里 ,根據(jù)題意可得 x? =378,解得 x=192,故第六天 走的路程為 ? 192=6里 . 2 3 4 51 1 1 1 11 2 2 2 2 2??? ? ? ? ?????512解題關(guān)鍵 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意 ,從題中找出等量關(guān)系 ,列出方程 ,求解即可 . 2.(2022黑龍江哈爾濱 ,7,3分 )某車間有 26名工人 ,每人每天可以生產(chǎn) 800個(gè)螺釘或 1 000個(gè)螺母 .1 個(gè)螺釘需要配 2個(gè)螺母 ,為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套 ,設(shè)安排 x名工人生產(chǎn)螺釘 ,則下面 所列方程正確的是 ? ( ) 1 000(26x)=800x 000(13x)=800x 000(26x)=2800x 000(26x)=800x 答案 C 若安排 x名工人生產(chǎn)螺釘 ,則生產(chǎn)螺母的工人為 (26x)名 .根據(jù)題意 ,可列方程為 1 000 (26x)=2800x,故選 C. 3.(2022浙江杭州 ,6,3分 )已知甲煤場(chǎng)有煤 518噸 ,乙煤場(chǎng)有煤 106噸 ,為了使甲煤場(chǎng)存煤數(shù)是乙煤 場(chǎng)的 2倍 ,需要從甲煤場(chǎng)運(yùn)煤到乙煤場(chǎng) .設(shè)從甲煤場(chǎng)運(yùn) x噸煤到乙煤場(chǎng) ,則可列方程為 ? ( ) =2(106+x) =2106 =2(106+x) +x=2(106x) 答案 C 首先表示出甲、乙煤場(chǎng)變化后煤的噸數(shù) ,再找到等量關(guān)系 :甲煤場(chǎng)現(xiàn)有煤噸數(shù) =乙煤 場(chǎng)現(xiàn)有煤噸數(shù) 2,所以列方程為 518x=2(106+x),故選 C. 評(píng)析 本題考查列一元一次方程解應(yīng)用題 ,關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系 ,可以列表來(lái)分析數(shù)量關(guān)系 . 4.(2022浙江紹興 ,8,4分 )如圖 1,天平呈平衡狀態(tài) ,其中左側(cè)秤盤(pán)中有一袋玻璃球 ,右側(cè)秤盤(pán)中也 有一袋玻璃球 ,還有 2個(gè)各 20克的砝碼 .現(xiàn)將左側(cè)袋中一顆玻璃球移至右側(cè)秤盤(pán) ,并拿走右側(cè)秤 盤(pán)的 1個(gè)砝碼后 ,天平仍呈平衡狀態(tài) ,如圖 ? ( ) ? 圖 1 圖 2 答案 A 設(shè)一個(gè)玻璃球的質(zhì)量為 x克 ,∵ 從左邊拿出一個(gè)玻璃球放在右邊 ,右邊拿去一個(gè)砝 碼 ,天平仍平衡 ,∴ 2x=20,∴ x=10,∴ 一個(gè)玻璃球的質(zhì)量是 10克 .故選 A. 5.(2022安徽 ,16,8分 )《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題 ,原文如下 : 今有百鹿入城 ,家取一鹿 ,不盡 ,又三家共一鹿 ,適盡 .問(wèn) :城中家?guī)缀?? 大意為 : 今有 100頭鹿進(jìn)城 ,每家取一頭鹿 ,沒(méi)有取完 ,剩下的鹿每 3家共取一頭 ,恰好取完 .問(wèn) :城中有多少 戶人家 ? 請(qǐng)解答上述問(wèn)題 . 解析 設(shè)城中有 x戶人家 ,根據(jù)題意得 , x+? =100, 解得 x=75. 答 :城中有 75戶人家 .? (8分 ) 3x考點(diǎn)二 一元二次方程 1.(2022河南 ,7,3分 )下列一元二次方程中 ,有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的是 ? ( ) +6x+9=0 =x +3=2x D.(x1)2+1=0 答案 B 選項(xiàng) A,Δ=0,方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 。選項(xiàng) B,Δ=10,方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 。選 項(xiàng) C,Δ=80,方程無(wú)實(shí)數(shù)根 。選項(xiàng) D,(x1)2=1無(wú)實(shí)數(shù)根 ,故選 B. 2.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,9,3分 )已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2+2x+m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ,m為正整數(shù) , 且該方程的根都是整數(shù) ,則符合條件的所有正整數(shù) m的和為 ? ( ) 答案 B ∵ 關(guān)于 x的方程 x2+2x+m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ,∴ Δ=b24ac=44(m2)≥ 0,∴ m≤ 3. ∵ m為正整數(shù) ,∴ m=1或 2或 3. 當(dāng) m=1時(shí) ,方程 x2+2x1=0的兩根不是整數(shù) ,不滿足題意 . 當(dāng) m=2或 3時(shí) ,滿足題意 ,2+3= B. 3.(2022四川綿陽(yáng) ,7,3分 )關(guān)于 x的方程 2x2+mx+n=0的兩個(gè)根是 2和 1,則 nm的值為 ? ( )